Примерные билеты на экзамен по геометрии за курс основной школы
Билет №1
1. Треугольник. Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника (определение). Теорема о внешнем угле треугольника.
2.. Необходимое и достаточное условие того, что в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность.
3. Задача по теме: «Метод координат».
Билет №2
1. Теорема Пифагора (доказательство) и обратная теорема.
2. Движение (параллельный перенос, поворот, центральная и осевая симметрии).
3. Задача по теме: «Площади четырехугольников».
Билет №3
Средняя линия треугольника и трапеции (определение). Теоремы о средней линии треугольника и трапеции
Задачи на построение (серединного перпендикуляра, биссектрисы угла, середины отрезка, деление отрезка на n равных частей).
Задача по теме: «Вписанная окружность».
Билет №4
1. Координаты вектора. Простейшие задачи в координатах. Задача о делении отрезка в заданном отношении.
2. Необходимое и достаточное условие возможности вписать выпуклый четырехугольник в окружность.
3. Задача по теме: « Вписанный угол».
Билет №5
Теорема о биссектрисе внутреннего и внешнего углов треугольника (вывод).
Касательная к окружности, ее свойство и признак. Теорема об отрезках пересекающихся хорд и о квадрате касательной.
Задача по теме: «Площадь и периметр четырехугольника».
Билет №6
Окружность (определение). Длина окружности, длина дуги окружности (вывод).
Обобщенная теорема Фалеса (доказательство). Деление отрезка на пропорциональные части.
Задача по теме: «Длина окружности».
Билет №7
1.Теорема синусов (доказательство).
2.Гомотетия, ее основные свойства.
3 Задача по теме: «Пропорциональные отрезки в окружности»
Билет №8
Центральные и вписанные углы. Теоремы об углах между хордами и секущими, между касательной и хордой.
Теорема косинусов.
Задача по теме : « Площадь круга и его частей».
Билет №9
Построение окружности вписанной в треугольник и описанной около него. Вывод формулы радиуса описанной и вписанной окружностей (для треугольника).
Теорема Чевы (прямая и обратная). Доказать одну из них.
Задача по теме: «Свойство биссектрисы треугольника».
Билет №10
Правильные многоугольники. Теоремы о вписанных и описанных окружностях правильных многоугольников. Построение правильных многоугольников.
Подобные треугольники, признаки подобия треугольников. Теоремы об отношении площадей и периметров подобных треугольников.
Задача по теме: «Вписанный и центральный угол».
Билет №11
Формулы площади треугольника, связанные с радиусами вписанной и описанной окружностей.
Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей.
Задача по теме: «Площадь трапеции».
Билет №12
Связь между сторонами, углами, радиусами вписанной и описанной окружностей и площадью правильного многоугольника.
2. Параллелограмм (определение). Свойства параллелограмма (не менее четырех свойств). Признаки параллелограмма.
3. Задача по теме: «Расстояние между параллельными прямыми».
Билет №13
Теоремы о замечательных точках в треугольнике. Прямая Эйлера. Окружность девяти точек (без доказательства).
2.Формулы для вычисления площади параллелограмма (вывод двух из них по выбору).
3. Задача по теме: «Внешний и внутренний углы в треугольнике».
Билет №14
Теорема о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.
2. Формула для вычисления площади трапеции.
3. Задача по теме: «Уравнение окружности».
Билет №15
1. Признаки равенства треугольников (доказательства всех признаков).
2. Теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника. Теорема о сумме внешних углов выпуклого многоугольника.
3. Задача по теме: «Средняя линия трапеции».
Билет №16
Векторы. Действия с векторами. Коллинеарные векторы. Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.
Теорема Птолемея.
Задача по теме: «Отношение площадей фигур».
Билет №17
1. Простейшие задачи в координатах.
2. Формула Герона для вычисления площади треугольника (вывод), для четырехугольника.
3. Задача по теме: «Четырехугольники».
Билет №18
Уравнение прямой и окружности в координатах (вывод).
2.Формулы для вычисления площади треугольника (вывод одной из них по выбору).
3. Задача по теме: « Уравнение окружности».
Билет №19
Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.
2. Связь между медианами и сторонами, между биссектрисами и сторонами треугольника.
3. Задача по теме: «Метод координат».
Билет №20
1. Теорема Менелая (прямая и обратная). Доказать одну из них.
2. Понятие площади многоугольника. Теоремы о площадях квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции (вывод одной из них по выбору).
3. Задача по теме: «Отношение площадей и периметров треугольников».
Билет №21
Решение прямоугольных треугольников.
Вертикальные и смежные углы (определение, свойства).
Задача по теме: «Средняя линия трапеции».
Билет №22
1.Равнобедренный треугольник (определение, свойства).
2. Окружность Аполлония.
3. Задача по теме: «Четырехугольники».
Билет №23
Прямоугольник (определение). Свойства прямоугольника (не менее двух). Признаки прямоугольника.
Круг (определение). Формула для вычисления площади круга (без вывода). Вывод форм площади кругового сектора.
Задача по теме: «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике».
Билет №24
Ромб (определение). Свойства ромба. Признаки ромба.
Теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих равные основания или равные высоты.
Задача по теме: «Теорема синусов».
Билет №25
Движение (параллельный перенос и поворот).
Построение треугольников по трем элементам.
Задача по теме: «Теорема синусов».
