Пластун С.В.
Методические указания и контрольные задания по дисциплине «Математическая статистика и теория вероятностей»
(для учащихся 2 курсов по специальности «1304000 Вычислительная техника и программное обеспечение »)
Костанай, 2016
Составитель:
Преподаватель математики и физики Пластун С В..
Учебное пособие содержит: программу курса Теории вероятностей и математической статистики для учащихся специальности «1304000 ВТ и ПО», обучающихся ; тематический план учебных занятий в сессионный период; задания к контрольной работе; необходимые теоретические сведения и примеры решения типовых заданий.
Содержание.
Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Общие указания по выполнению контрольной работы . . . . . . . . . . 4
Программа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Методические указания к контрольной работе . . . . . . . . . . . . . . . . .6
Задания к контрольной работе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
Введение
Математика занимает важное место в формировании специалиста высокой квалификации в сфере информационных технологий, служит теоретической основой для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин, которые включены в учебные планы.
Согласно Госстандарту информационных специальностей колледжа одним из математических курсов является «Теория вероятностей и математическая статистика».
Изучение этого курса позволит специалисту решать задачи с элементами неопределенности.
Настоящее пособие составлено на основе типовой программы этого курса, отражает требования, предъявляемые к математическому образованию специалиста информационных технологий, и предназначено для учащийся очной формы обучения.
При линейной технологии обучения оценка успеваемости учащегося по дисциплине проводится по результатам самостоятельной работы студента в межсессионный период, во время аудиторных занятий и результатам экзамена. Отчетным документом по межсессионной работе является контрольная работа, которая оценивается максимально в 5 баллов. Во время аудиторных занятий учащийся может получить максимум пять Т.о. выполнение контрольной работы является обязательным условием допуска к экзамену. Настоящее пособие предназначено в помощь учащимся при выполнении контрольной работы и подготовке к экзамену.
Общие указания по выполнению контрольной работы
При изучении курса ТВиМС учащийся выполняет одну контрольную работу. Номер варианта выбирается по остатку от деления номера зачетной книжки на 20. Если остаток равен нулю, то студент выполняет 20-ый вариант.
При выполнении контрольных работ необходимо выполнять следующие рекомендации:
1. Контрольная работа выполняется в ученической тетради.
2.На обложке учащийся указывает фамилию, имя, отчество, специальность, форму обучения, группу, номер варианта.
3. Задачи следует располагать в указанной последовательности, условие задачи должно быть записано полностью. Выполнение каждой задачи начинать с новой страницы.
4. Решения задач должны сопровождаться подробными пояснениями.
Учащийся сдает контрольную работу на кафедру (ауд. 204) до начала зачетно-экзаменационной сессии.
Программа
Теория вероятностей.
Случайные события. Основные понятия: достоверные, невозможные, случайные события; совместные и несовместные события; противоположные события; элементарные события; полная группа событий. Сумма и произведение событий.
Классическое и статистическое определение вероятностей. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Полная вероятность. Повторение испытаний. Формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона.
Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения дискретной СВ. Функция и плотность распределения вероятностей непрерывной СВ. Вероятность попадания НСВ в интервал. Числовые характеристики СВ, их свойства. Основные виды распределений: биномиальное, Пуассона, нормальное, показательное.
Элементы математической статистики.
Задачи математической статистики. Выборочный метод. Способы отбора. Репрезентативная выборка. Статистическое распределение выборки. Вариационный ряд (дискретный, интервальный). Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения.
Статистические оценки параметров распределения.. Требования несмещен-ности, эффективности и состоятельности оценки. Генеральная выборочная средняя. Групповая и общие средние. Генеральная, выборочная, групповая, общая, остаточная дисперсии. Исправленная дисперсия. Мода, медиана, размах вариации, коэффициент вариации. Точечная и интервальная оценки параметров. Оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном .
Методы расчета характеристик вариационного ряда. Условные варианты. Начальные и центральные эмпирические моменты. Условные эмпирические моменты. Метод произведений вычисления выборочных средней и дисперсии.
Элементы теории корреляции. Функциональная, статистическая и кор-реляционная зависимости. Условные средние. Выборочное уравнение прямой линии регрессии (корреляционное уравнение). Метод наименьших квадратов. Коэффициент корреляции.
Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия. Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки. Левосторонняя, правосторонняя, двусторонняя критические области. Проверка гипотезы о нормальном распре-делении. Критерий 2 Пирсона. Проверка гипотезы о равенстве групповых средних.
ЛИТЕРАТУРА:
В.Е.Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 1978.
В.Е.Гмурман. Руководство к решению задач по ТВ и МС. М., Высшая школа,1979.
А.С.Солодовников. Теория вероятностей. М., Просвещение, 1983.
Методические указания к контрольной работе.
Основные понятия.
Определение 1. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении определенного комплекса условий может произойти или не произойти.
Под комплексом условий подразумевается, что произведен опыт (испытание), результат которого можно наблюдать.
Определение 2. Элементарные события, которые могут произойти в результате опыта, называются исходами опыта.
Любое событие есть множество исходов опыта.
Определение 3. Множество событий называется полной группой, если в результате испытания произойдет хотя бы одно из них.
Определение 4. Событие А называется благоприятствующим событию В, если в результате появления А произойдет и событие В.
Определение 5. Классической вероятностью события А называется величина , где n - число равновозможных попарно несовместных исходов опыта, а m - число исходов, благоприятствующих появлению события А.
Определение 6. Относительной частотой события А называется величина , где n - число испытаний, а m - число появления события А в n испытаниях.
В статистике в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.
Определение 7. Суммой двух событий А и В называется событие С=А+В, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из них.
Определение 8. Произведением двух событий А и В называется событие Д=АВ, заключающееся в том, что произошли оба события.
Определение 9. Событие , заключающееся в том, что не произошло событие А, называется противоположным событию А.
Элементы комбинаторики.
Определение 10. Перестановками из n элементов называются комбинации по n элементов, отличающиеся друг от друга порядком расположения элементов.
Число подстановок из n элементов равно (эн факториал).
Определение 11. Сочетаниями из n элементов по m называются комбинации по m элементов, отличающиеся друг от друга составом (хотя бы одним элементом).
Число сочетаний
Определение 12. Размещениями из n элементов по m называются комбинации по m элементов, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком расположения элементов.
Число размещений .
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Теорема 1. , если А, В несовместны.
Теорема 2. - , если А, В совместны.
Теорема 3. , если А, В независимы.
Теорема 4. , если А, В зависимы, где - вероятность события В при условии, что произошло событие А.
Следствие 1.
Следствие 2. Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий равна , где =
Формула полной вероятности.
Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) , образующих полную группу несовместных событий, равна
Формула Байеса.
Вероятность гипотезы при условии, что событие А произошло, равна
, где - полная вероятность события А.
Повторение испытаний. Схема Бернулли.
Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых может появиться событие А с одинаковой вероятностью .
Вероятность того, что в n независимых испытаниях события А появится k раз, определяется по формулам:
, где - формула Бернулли (обычно применяется при небольших n);
где , - локальная формула Лапласа (применяется при больших n);
, где = , - формула Пуассона - применяется при малых р (редкие события) и при достаточно больших n .
Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А появится от до раз включительно определяется по интегральной формуле Лапласа
- , где - функция Лапласа.
Замечание 1. Формулы Лапласа и Пуассона дают приближенное значение вероятности, точность которых растет с увеличением n.
Замечание 2. Значения функций и Ф (х) приведены в таблицах, которые имеются практически во всех учебниках, задачниках, пособиях по теории вероятностей и математической статистике.
Случайные величины.
Определение 13. Случайной величиной (СВ) называется переменная величина, значения которой зависят от случайного исхода события.
Иначе говоря, случайная величина в результате испытания принимает какое-то одно значение, но заранее неизвестное, какое именно.
Определение 14. Дискретной СВ называется величина, значения которой образуют счетное множество (множество, элементы которого можно пронумеровать).
Определение 15. Непрерывной СВ называется величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного интервала.
Определение 16. Законом распределения случайной величины называется закон, устанавливающий соотношение между возможными значениями СВ и соответ-ствующими вероятностями.
Закон распределения ДСВ, как правило, задается в виде таблицы
. . .
. . .
где =1.
Закон распределения НСВ может быть задан в виде функции распределения или плотности распределения вероятностей.
Определение 17. Функцией распределения вероятностей случайной величины Х называется функция определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т.е. .
Определение 18. Плотностью распределения вероятностей называется функция .
Определение 19. Математическим ожиданием ДСВ называется сумма произведений возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности:
Для непрерывной случайной величины
Определение 20. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения величины от её математического ожидания:
= М
При вычислениях дисперсии можно пользоваться формулой
Определение 21. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется значение, равное квадратному корню из дисперсии:
Нормальное распределение.
Определение 22. Нормальным называется закон распределения непрерывной случайной величины Х с плотностью вероятностей , где а - математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение.
Вероятность того, что нормальная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу определяется по формуле
, где Ф (Х) - функция Лапласа.
Вероятность того, что нормальная СВ отклонится от её математического ожидания меньше, чем равна .
Методика решения задач.
№ 1. Предприниматель вложил свои средства в 3 контракта. Вероятность того, что 1-ый контракт не «лопнет», равна 0,7, 2-ой - 0,6, 3-ий -0,9. Какова вероятность того, что:
а) 2 контракта не «лопнут»
б) хотя бы один контракт не «лопнет»
Решение.
Обозначим: - тый контракт не «лопнул», i=1, 2, 3.
А - два контракта не «лопнули»
В - хотя бы один контракт не «лопнул».
а) А= + +
Для определения вероятности события А применим теорему сложения для несовместных событий и теорему умножения для независимых событий, а также формулу вероятности противоположного события
0,70,60,1+0,70,40,9+0,30,60,9=0,456
б) 0,30,40,1=0,988.
№ 2. В таможне N объемы зарегистрированных ГТД на таможенных постах ТП1, ТП2 , ТП3 за рассматриваемый период времени соотносятся как 3:2:1. При этом ГТД на импортные товары составляет для ТП1 - 30%, для ТП2 - 40%, ТП3 - 50%. Декларации с постов поступают в отдел таможенных платежей для контроля. Из всей совокупности деклараций наугад выбирается одна декларация.
Найти: а) вероятность того, что декларация оформлена на импортный товар;
б) вероятность того, что декларация зарегистрирована на ТП1, если она оказалась оформленной на импортный товар.
Решение.
Обозначим: А - «наугад взятая декларация оформлена на импортный товар»,
Вi - «декларация зарегистрирована на ТПi », i=1, 2, 3.
а) По формуле полной вероятности
++
Вероятности гипотез найдём из соотношения зарегистрированных на таможенных постах деклараций:
= , , .
Условные вероятности события А найдем из процентного содержания деклараций на импортные товары:
, , .
Тогда Р (А) =
б) По формуле Байеса =
№ 3. Вероятность обращения в банк клиента за возвратом депозита равна 0,3. Найти вероятность того, что из 120 клиентов, положивших деньги на депозит, потребуют возврата: а) 35 клиентов;
б) не более 35 клиентов.
Решение.
а) Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А произойдет k раз, при больших n (n>20) определяется по локальной формуле Лапласа
.
По условию задачи n = 120, k = 35, p = 0,3,
Тогда =0,199=0,1990,391=0,078
б) Вероятность того, что событие А произойдет от до раз включительно, определяется по интегральной формуле Лапласа
-
По условию задачи , т.е. .
Тогда - =
= Ф(-0,199) - Ф(-7,17) = - Ф(0,199) + Ф(7,17) = -0,0793 + 0,5 = 0,4207.
№ 4. Задан закон распределения случайной величины Х:
-
15
17
20
21
0,3
0,4
0,1
0,2
Найти:
1) математическое ожидание М(Х);
2) дисперсию D(X);
3) среднее квадратическое отклонение (Х).
Решение.
Математическое ожидание М(Х) = 150,3+170,4+200,1+210,2=17,5
Дисперсия =
= - = 1520,3 + 1720,4 + 2020,1 + 2120,2 - 306,25 = 5,05
Среднее квадратическое отклонение = = 2,25
№ 5.Размер диаметра деталей, выпускаемых цехом, распределен по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали (математическое ожидание) равна 40 мм, среднее квадратическое отклонение - 0,4мм. Найти:
вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше 39,5 мм и меньше 41 мм;
вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более чем на 0,6 мм.
Решение.
Вероятность того, что нормальная случайная величина Х примет значение в интервале () , определяется по формуле
, где Ф (Х) - функция Лапласа.
По условию а = 40, , 39,5 , = 41.
Тогда = Ф(2,5) - Ф(-1,25) =
= 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
2) Вероятность того, что нормальная СВ отклонится от её математического ожидания меньше, чем равна .
По условию задачи .
Тогда =2Ф (1,5)20,4332 = 0,8664.
Итак, вероятность того, что изготавливаемые детали по длине будут в пределах от 39,5 до 41 мм, составляет 0,8864.
Задания к контрольной работе.
Задание №1. Предприниматель вложил свои средства в n контрактов. Вероятность того, что i - тый контракт не «лопнет», равна pi. Какова вероятность того, что:
а) k контрактов не «лопнут»
б) хотя бы один не «лопнет»
Параметры n и pi выбираются согласно варианта из таблицы 1.
Таблица 1.
-
№ вари-анта
n
k
1
2
0,8
0,9
2
2
3
0,7
0,8
0,9
2
3
2
0,9
0,8
1
4
2
0,9
0,8
2
5
2
0,8
0,9
1
6
3
0,5
0,7
0,8
2
7
3
0,7
0,8
0,9
1
8
3
0,7
0,8
0,9
3
9
3
0,5
0,6
0,8
2
10
2
0,8
0,9
1
11
2
0,7
0,9
2
12
2
0,9
0,9
2
13
2
0,7
0,9
1
14
2
0,9
0,6
2
15
2
0,8
0,6
1
16
2
0,6
0,8
2
17
3
0,6
0,7
0,8
2
18
3
0,6
0,5
0,9
1
19
3
0,7
0,6
0,8
3
20
3
0,8
0,7
0,5
3
Задание №2. В таможне N объемы зарегистрированных ГТД на таможенных постах ТП1, ТП2 , ТП3 за рассматриваемый период времени соотносятся как . При этом ГТД на импортные товары составляет для ТП1 - %, для ТП2 - %, ТП3 - %. Декларации с постов поступают в отдел таможенных платежей для контроля. Из всей совокупности деклараций наугад выбирается одна декларация.
Найти: а) вероятность того, что декларация оформлена на импортный товар;
б) вероятность того, что декларация зарегистрирована на ТПi, если она оказалась оформленной на импортный товар.
Параметры , , , , i приведены в таблице 2.
Таблица 2.
№ вари-
анта
i
1
1
2
3
30
40
70
1
2
2
1
3
40
50
50
2
3
2
3
5
30
40
50
3
4
1
2
3
40
50
60
2
5
2
3
1
30
40
60
1
6
3
2
5
30
40
70
2
7
2
4
3
50
60
70
2
8
2
3
4
40
60
70
1
9
1
3
5
30
50
60
3
10
3
1
5
30
60
70
2
11
1
5
3
40
30
50
2
12
2
3
4
40
70
50
1
13
3
2
4
20
30
40
2
14
4
2
3
20
30
50
3
15
4
3
3
30
20
60
3
16
1
2
4
30
60
30
2
17
2
4
1
40
20
60
1
18
4
1
2
40
60
50
3
19
4
2
1
50
20
20
1
20
5
2
3
50
20
30
2
Задание №3. Вероятность обращения в банк клиента за возвратом депозита равна. Найти вероятность того, что из n клиентов, положивших деньги на депозит, потребуют возврата: а) клиентов;
б) не более клиентов.
Параметры , n , приведены в таблице 3.
Таблица 3.
№ вари-анта
n
№ вари-анта
n
1
0,3
100
28
11
0,1
100
15
2
0,2
100
22
12
0,2
100
18
3
0,3
150
40
13
0,15
150
24
4
0,2
150
28
14
0,25
100
23
5
0,15
100
14
15
0,3
100
32
6
0,25
150
40
16
0,4
150
62
7
0,2
200
40
17
0,35
200
65
8
0,4
200
70
18
0,4
100
38
9
0,3
200
55
19
0,1
120
10
10
0,35
100
33
20
0,2
150
31
Задание №4. Задан закон распределения случайной величины Х:
-
Найти:
1) математическое ожидание М(Х);
2) дисперсию D(X);
3) среднее квадратическое отклонение (Х).
Значения и приведены в таблице 4.
Таблица 4.
№ вари-анта
1
23
25
28
29
0,3
0,2
0,4
0,1
2
17
21
25
27
0,2
0,4
0,3
0,1
3
24
26
28
30
0,2
0,2
0,5
0,1
4
12
16
19
21
0,1
0,5
0,3
0,1
5
25
27
30
32
0,2
0,4
0,3
0,1
6
30
32
35
40
0,1
0,5
0,2
0,2
7
12
14
16
20
0,1
0,2
0,5
0,2
8
21
25
28
31
0,1
0,4
0,2
0,3
9
60
64
67
70
0,1
0,3
0,4
0,2
10
45
47
50
52
0,2
0,4
0,3
0,1
11
9
12
15
18
0,3
0,2
0,4
0,1
12
18
23
28
32
0,2
0,3
0,4
0,1
13
21
25
27
33
0,2
0,2
0,5
0,1
14
28
37
46
55
0,4
0,3
0,2
0,1
15
13
16
18
21
0,1
0,2
0,3
0,4
16
13
15
17
19
0,2
0,3
0,4
0,1
17
37
43
50
54
0,1
0,3
0,4
0,2
18
25
30
40
45
0,1
0,2
0,3
0,4
19
16
22
27
31
0,3
0,2
0,1
0,4
20
20
28
35
40
0,1
0,4
0,3
0,2
Задание №5. Размер диаметра деталей, выпускаемых цехом, распределен по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали (математическое ожидание) равна а , среднее квадратическое отклонение - .
Найти:
вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше
и меньше ;
2) вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более чем на .
Значения а, , , , приведены в таблице 5.
Таблица 5.
№ варианта
а
1
50
5
45
52
3
2
20
3
17
26
2
3
36
4
30
40
2
4
60
5
54
70
8
5
48
4
45
56
3
6
30
3
24
33
2
7
35
4
27
37
2
8
45
5
40
48
3
9
40
3
34
43
2
10
25
2
20
27
1
11
37
4
35
41
3
12
51
6
45
55
5
13
38
2
35
40
3
14
32
3
30
35
4
15
30
4
28
35
3
16
31
4
26
33
4
17
42
3
38
45
4
18
37
3
35
40
2
19
45
4
42
48
4
20
39
3
35
45
4
