1. ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
1.1. Теоретический материал
Неравенства
Решение: значение переменной, обращающее неравенство в верное числовое неравенство.
Решить:
найти все решения или доказать, что их нет.
Равносильные:
неравенства, имеющие одно и то же множество решений.
неравенство
можно переносить слагаемое из одной части в другую с противоположным знаком
можно умножать (делить) обе части на одно и то же положительное число
можно умножать (делить) обе части на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.
Название неравенства
Общий вид
Линейное неравенство с одной переменной
1) ax>b
3) ax<b
2) ax≥b
4) ax≤b
Квадратное неравенство с одной переменной
1) ax2 + bx + c>0 (а≠0)
3) ax2 + bx + c<0 (а≠0)
2) ax2 + bx + c≥0 (а≠0)
4) ax2 + bx + c≤0 (а≠0)
Свойства числовых неравенств
если a>b, то b<a;
если a>b, b>c, то a>c;
если a>b, с – любое число, то a+c>b+c;
если a>b, c>0, то ac>bc;
если a>b, c<0, то ac<bc;
если a>b, c>d, то a+c >b+d;
если a>0, b>0, c>0, d>0, a>b и c>d, то ac>bd;
если a>b>0, n – натуральное число, то an>bn;
если a>0, b>0, a>b, то ˂.
1.2. Решение линейных неравенств
Цели и задачи блока
- обобщить, систематизировать и несколько расширить знания;
- учащихся о решении линейных неравенств;
- повторить виды числовых промежутков, их иллюстрации;
- обозначение и запись.
Таблица 1.1
Числовые промежутки
Интервал
a< x< b
Отрезок
a≤ x≤ b
Полуинтервал
a< x≤ b
Полуинтервал
а≤ x <b
Луч
x≥a
Луч
x≤b
Открытый луч
x>a
Открытый луч
x<b
1.3 Упражнения по закреплению знаний и умений
Для работы в классе, а также для индивидуальной самостоятельной работы можно предложить учащимся следующий набор упражнений, а так же контрольную работу.
1.Решите неравенства:
а) 4 + 6р < 2(5р – 4), б) 4(3 – 4q) – 6(2 - 3q) < 0,
в) -(6а +2) + 6(а – 1) > 0, г) 7 – 16с < -2(8с – 1) + 5,
д) е) ,
ж) , з)
м) , и) а (а – 2) – а2 > 5 – 3а,
к) 0,2х2 – 0,2(х – 6)(х+6) > 3,6х, л) (4q – 1)2 > (2q + 3)(8q – 1).
2.Найдите наименьшее целое решение неравенства:
а) 6(у – 2) – 8 ≥ 4(у + 3), б)
3.Решите двойные неравенства:
а) -1≤ 2х-7 ≤ 2, б) -14.
Ключевым элементом содержания в этих заданиях является решение линейных неравенств. Вспомогательный элемент: упрощение неравенств с помощью основных свойств неравенств.
2.КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
2.1.Решение квадратных неравенств
Цели и задачи блока
- продолжить формирование умений решать квадратные неравенства;
- коррекция умений и навыков, полученных на уроках;
- развитие самостоятельности, самоконтроля.
Теоретический материал.
Квадратные неравенства – это неравенства вида
ax2+bx+c>0, ax2+bx+c<0,ax2+bx+c≤0, ax2+bx+c≥0, где а0.
Если квадратное уравнение ax2+bx+c=0 имеет два различных корня, то решение соответствующих квадратных неравенств можно свести к решению системы неравенств первой степени, разложив левую часть квадратного неравенства на множители.
Например:
-3х2-5х+2>0, 3х2+5х-2<0,
3х2+5х-2=0,
x1,2 =
x1=, x2= -2;
3х2+5х-2=3(x-)(x+2);
Ответ: (-2; )
Решить квадратное неравенство можно графически. Квадратичная функция задается формулой у=ax2+bx+c, где a0.
Поэтому решение квадратного неравенства сводится к отысканию нулей квадратичной функции и промежутков, на которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.
Таблица 2.1
Графическое изображение
D<0
D=0
х1,2=
х1,2=
D>0
х1,2=
х1,2=
2.2. Упражнения по закреплению знаний и умений
Для работы в классе, а также для индивидуальной самостоятельной работы можно предложить учащимся следующий набор упражнений, а так же контрольную работу.
1. Решите квадратные неравенства двумя способами:
а) (х-1)(х+2)>0, в) x2-3x+2<0,
б) (x-6)(x+10)<0, г) 2 x2-4x-6>0.
2. Решите неравенства (любым способом):
а) х2 –3х > 0, д) 2х ≤ -х2
б) х2 > 25х, е)
в) х2 – 36 < 0, ж)
г) 3h2 + h + 2 > 0, з)
3. Найдите наименьшее целочисленное решение неравенств: 2х2 + 14х ≤-60.
4. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства: 3х – х2 > -40.
5. Установите, при каких значениях х имеют смысл выражения:
а) в)
б) г)
6. Сколько целочисленных решений имеют неравенства:
а) 15 – х2 + 10х ≥ 0, б) х2 + 5х – 8 < 0.
7. При каких значениях параметра р квадратное уравнение 3х2 – 2рх – р + 6 = 0
а) имеет два различных корня; б) имеет один корень; в) не имеет корней.
Ключевым элементом содержания в этих заданиях является решение квадратных неравенств. Вспомогательный элемент: решение квадратных уравнений, построение графика квадратичной функции.
