Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Пожарская средняя общеобразовательная школа»
Исследовательская работа по математике
«Задача голодной козы»
Автор работы: Смирнова Екатерина Александровна, 5 класс;
Чумарина Валерия Евгеньевна, 5 класс.
Руководитель: Фомичева Яна Федоровна, учитель математики.
с. Пожарки
2016 г.
Оглавление.
Введение……………………………………………………стр. 3
Обоснование актуальности…………………………стр. 3
Цели и задачи………………………………………..стр. 3
Основная часть……………………………………………..стр. 3
Объект и предмет исследования……………………стр. 3
История появления задач…………………………....стр. 3
Обзор задач по теме…………………………………стр. 5
Проведение исследования…………………………..стр. 6
Заключение…………………………………………………стр. 7
Список использованной литературы……………………...стр. 9
Приложение………………………………………………..стр. 10
Введение
1.1 Обоснование актуальности.
Еще с детства все знают задачу про волка, козу и капусту, в которой крестьянину нужно на лодке перевести на другой берег реки волка, козу и капусту с условием, что в лодке могут находиться только крестьянин либо с волком, либо с козой, либо с капустой, но если волка оставить с козой, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту.
Данная задача является логической, и, чтобы ее решить, нужно попробовать различные способы перевозки.
Задачи с козами, как оказалось, очень популярны не только в логике, но и в геометрии. А геометрический материал тяжело дается для понимания как среднему звену, так и старшему. Поэтому важно представлять его опытным путем.
Козы прожорливы и съедают все, до чего могут дотянуться. Если привязать козу очень просто, веревкой к колышку, она «съест круг». А как привязать ее так, чтобы она съела эллипс, квадрат или треугольник? Просто так не скажешь. А можно ли с помощью метода голодной козы построить на местности с помощью системы веревок и колышков различные геометрические фигуры?
1.2 Цели и задачи.
Цель: исследование теории голодной козы и построение с ее помощью геометрических фигур на местности.
Задачи:
Изучить историю появления задач с козами;
Рассмотреть различные задачи, связанные с передвижением козы при помощи веревок и колышков;
Построить на местности различные геометрические фигуры при помощи колышков и веревок.
Основная часть.
2.1 Объект и предмет исследования.
Объектом исследования является изучение логических задач и построение геометрических фигур на местности.
Предмет исследования – построение геометрических фигур на местности при помощи колышков и веревок.
2.2 История появления задач.
Прежде, чем найти задачи с козами и понять, как их решить, интересным стал факт появления самой простой детской задачки: “Крестьянину нужно перевезти через реку волка, козу и капусту. Но лодка такова, что в ней может поместиться только крестьянин, а с ним или один волк, или одна коза, или одна капуста. Но если оставить волка с козой, то волк съест козу, а если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. Как перевез свой груз крестьянин?”
И как оказалось это действительно интересно.
Решение известно всем, кто хоть раз пытался решить эту логическую задачу: “Решение: Ясно, что приходится начать с козы. Крестьянин, перевезши козу, возвращается и берет волка, которого перевозит на другой берег, где его и оставляет, но зато берет и везет обратно на первый берег козу. Здесь он оставляет ее и перевозит к волку капусту. Вслед затем, возвратившись, он перевозит козу, и переправа оканчивается благополучно” (решение из книги “Книга 1” труда Е.И. Игнатьева “В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Опыт математической хрестоматии: Книга для семьи и школы” (СПб.: Тип. А.С. Суворина, 1911. — С. 75–76)[1].
Данная задача бессчетное число раз публиковалась в самых различных отечественных газетах, журналах и сборниках. При этом почти во всех работах упоминается только одно решение. А ведь есть и альтернативный путь!
Вначале крестьянин опять-таки перевозит козу. Но вторым он не обязательно должен забирать волка! Можно взять капусту, отвезти ее на другой берег, оставить там и вернуть на первый берег козу. Затем перевезти на другой берег волка, вернуться за козой и снова отвести ее на другой берег. В этом случае количество рейсов (7) точно такое же, как и в опубликованном выше варианте.
Очень интересен вопрос о времени возникновения данной головоломки и ее первоисточнике. Б.А. Кордемский в книге “Математическая смекалка”[2] говорит вскользь: “Это... старинная задача; встречается в сочинениях VIII века”.
Вначале может показаться, что мы имеем дело с опечаткой, ведь первая или одна из первых отечественных публикаций задачи “Волк, коза и капуста” датирована концом ХVIII века. В фондах Российской Исторической библиотеки сохранилась книга “Гадательная арифметика для забавы и удовольствия” (СПб., 1789)[3]. На титульном листе значится: “На ижд. изд. И. Краснопольского”, что означает “на иждивении издателя И. Краснопольского”. В раритете на 62 страницах сорок одна занимательная задача. На с. 42–43 читаем: “Некоторый мужик, везши с собою волка, козу и капусту приехал к реке, у берегу коей нашел столь малую лодку, что она кроме его и одного чего-нибудь из везомых им, поднимать не могла. И так спрашивается, каким образом переправить оных через реку так, чтобы волк не съел козы, а коза капусты?” Далее приводится один вариант решения (первый).
Интересно, что в пособии болгарских авторов “Математический фольклор” (М.: Знание, 1987. — С. 180)[4] задача о волке, козе и капусте помещена в раздел “Из математического фольклора других стран” с пометкой в скобках “Россия”.
По мнению ряда историков, задача имеет западные корни. В. Аренс указывает, что авторство хрестоматийной задачи приписывается Алкуину (Аренс В. Математические игры и развлечения. — СПб.: Физика, 1911. — С. 20)[5].
В. Литцман, предлагая читателям познакомиться с задачей о переправе в книге “Веселое и занимательное о числах и фигурах” (М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 189)[6], вскользь пишет: “У Алкуина мы находим следующий рассказ”.
Что же в наши дни известно об этой незаурядной личности? Алкуин (735–804) был ученым монахом и математиком из Ирландии, автором ряда учебников по математике. Король Карл Великий благоволил к ученым и всячески поощрял развитие наук. За королевским круглым столом нередко проводились состязания в решении хитроумных головоломок, в которых Алкуин имел возможность проявить свои незаурядные способности.
Из других головоломок Алкуина наибольшую известность получили задачи:
1) о гончей и зайце;
2) о покупке свиней;
3) о трех наследниках и 21 бочке;
4) о ста мерах пшеницы;
5) о быке.
Но только головоломка о волке, козе и капусте до сих пор поражает воображение и детей, и взрослых. Эту и некоторые другие задачи Алкуин поместил в свой трактат “Задачи для оттачивания ума юношей”, написанный, как было принято в то время, латиницей.
В латинском манускрипте под №ХVIII легендарная задача. Сразу бросается в глаза, что решение одно — то самое, которое приводится в большинстве пособий. Но сама головоломка имеет иное название: “Задача о человеке, козе и волке”! А ее условие (если переводить близко к оригиналу) таково:
“Один человек должен был перевезти через реку волка, козу и кочан капусты. И не удалось ему найти другого судна, кроме как такого, которое могло выдержать только двоих из них. Задача, таким образом, заключалась в том, как всех перевезти на другой берег целыми и невредимыми. Скажите, кто способен: каким путем они могут перебраться на другой берег невредимыми” (перевод с латинского выполнен Е.И. Сухиной).
Обзор задач по теме.
В процессе поисков истории задач с козами и самих задач, были найдены довольно интересные задачи, связанные с построением геометрических фигур на местности [10].
Привяжите козу на лугу так, чтобы она съела круг.
Какой участок съест коза, если ее привязать между двумя колышками? (Веревка привязана к двум колышкам и продернута сквозь ошейник козы.)
Родион прогуливается по лугу, держа козу на поводке длиной 1м. Его путь имеет вид прямоугольника со сторонами 3 и 5м. Какой участок луга съест коза?
Привяжите козу с помощью веревок и колышков так, чтобы она могла съесть траву только внутри участка такой формы: [pic]
Натянем на лугу веревку между двумя колышками. У второй веревки привяжем один конец к ошейнику козы, а на втором сделаем петлю, свободно скользящую по веревке. Какой участок выест коза?
Удержите козу с помощью веревок и колышков
а) в полукруге;
б) в квадрате;
в) в прямоугольнике (для прямоугольника решить двумя разными способами).
Проведение исследования.
В процессе исследования встала проблема: где и как правильно провести измерения, ведь ни поля с травой, ни, тем более, козы на привязи нет?
Решили обойтись моделью. Смоделировали поле в спортивном зале, огородили площадку необходимого размера в соответствии с условиями задачи. В качестве колышков использовали спортивный инвентарь, а в качестве козы и ее сопровождающего выступили сами.
Далее встал вопрос: какие задачи опытным путем посильно решить для нашего возраста, ведь с геометрией в 5 классе мало знакомы.
Решили начать с самой простой на наш взгляд задачи.
Привяжите козу на лугу так, чтобы она съела круг.
Наши рассуждения: коза, привязанная одной веревкой к колышку будет ходить вокруг него, то есть по кругу. Внутри круга она тоже сможет свободно передвигаться. Значит, она съест траву на участке, равном площади круга. Радиус этого круга будет равен длине взятой веревки. За пределы круга она выйти не сможет, потому что ей не хватит длины веревки.
Значит она съест участок травы площадью: , где R – радиус окружности (длина веревки).
У нас была веревка длиной 2 метра. Значит решение нашей задачи:
А что будет, если привязывать козу не одним, а двумя колышками?
Какой участок съест коза, если ее привязать между двумя колышками? (Веревка привязана к двум колышкам, натянута и продернута сквозь ошейник козы.)
Решение: Она съест ровно отрезок, концами которого являются колышки. Траву в любой точке этого отрезка она съесть сможет; если же она смогла бы съесть траву в ещё какой-нибудь точке, не лежащей на этом отрезке, то верёвка, за которую она привязана, должна была бы прогнуться, однако по условию задачи она натянута, так что больше никуда добраться коза не сможет.
Рассмотрим еще одну задачу, которая нам больше всего понравилась на первый взгляд, поскольку форма участка, который должна съесть коза, очень своеобразна.
Привяжите козу с помощью веревок и колышков так, чтобы она могла съесть траву только внутри участка такой формы: [pic]
Решение: Эта область — пересечение двух кругов. Привяжем козу как в первой задаче, чтобы она не могла выйти из первого круга, к центру первого круга на верёвке, длина которой равна радиусу этого круга. Одновременно с этим привяжем козу другой верёвкой, длина которой равна радиусу второго круга, к центру этого круга. В итоге коза не сможет выйти из первого круга, потому что привязана к его центру, и из второго круга, потому что привязана и к центру второго круга. То есть, она всегда будет находиться в пересечении этих двух кругов. [pic]
Заключение.
Таким образом, изучив данные виды задач и проведя исследования, мы пришли к выводу, что на местности можно построить практически любую геометрическую фигуру при помощи колышков и веревок. Не всегда под рукой могут оказаться приборы для измерения и построения фигур, а вот веревку и колышек всегда можно легко найти.
Теоретическая значимость исследования заключена в следующем: исследована история появления логических задач про коз и их передвижение, рассмотрены несколько задач построения геометрических фигур на местности при помощи веревок и колышков.
Практическая значимость работы состоит в том, что, имея фантазию, логическое мышление и несколько простых приспособлений, о которых говорилось выше, и без использования громоздких инструментов можно построить геометрические фигуры. Это может пригодиться каждому, кто, например, занимается благоустройством своего дома или участка. Так можно быстро, красиво и оригинально оформить клумбы около дома или соорудить песочницу для ребенка необычной формы. А самое главное, это совсем незатратно. Повторимся, для этого нужна лишь фантазия.
В качестве практического выхода нашего проекта мы создали небольшую брошюру с задачами на построение геометрических фигур при помощи колышков и веревок, которая может быть использована как на уроках математики при изучении геометрического материала, так и на кружковых занятиях.
Благодаря нашему исследованию, мы поняли и осознали необходимость самостоятельной деятельности. Благодаря ей мы развиваем наше мышление, учимся рассуждать и строить логические цепочки действий, а также овладеваем навыками работы в группе. Без помощи учителя наша работа естественно не обошлась, он нас подталкивал к действиям, подсказывал, что нужно делать в каждый момент времени, если мы были в затруднении, помогал нам высчитывать площади съеденного участка травы (ввел формулу площади круга и числа «Пи»).
Но в целом мы достигли поставленной нами цели: исследовали теорию голодной козы и построили с ее помощью геометрические фигуры на местности.
Список использованной литературы:
1. Е.И. Игнатьев “В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Опыт математической хрестоматии: Книга для семьи и школы” (СПб.: Тип. А.С. Суворина, 1911)
2. В. Литцмана “Веселое и занимательное в фигурах и числах: Математические развлечения” (М. — Пт.: Изд. Л.Д. Френкель, 1923)
3. “Гадательная арифметика для забавы и удовольствия” (СПб., 1789)
4.“Математический фольклор” (М.: Знание, 1987)
5.Аренс В. Математические игры и развлечения. — СПб.: Физика, 1911.
6.В. Литцман “Веселое и занимательное о числах и фигурах” (М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963)
7.Белов В.Н. Головоломки из близкой дали // Компьютерра. — 2000. — № 1.
8.Баврин И.И., Фрибус Е.А. Старинные задачи — М.: Просвещение, 1994.
9.Баврин И.И., Фрибус Е.А. Занимательные задачи по математике — М.: ВЛАДОС, 1999.
10. [link]
