Контрольная работа по тригонометрии для 10 класса
1)Упростите: (sin4a – sin6a) : (cos5a*sina).
A)
-2
B)
2sina
C)
-2sina
D)
-2cosa
Правильный ответ:
A
Решение:
Применим в числителе формулу:
sinα - sinβ = 2sin
α - β
∙ cos
α + β
2
2
Таким образом, числитель дроби:
sin4a - sin6a = 2*sin(4a-6a)/2*cos(4a+6a)/2 = 2*sin(-a)*cos5a = -2sinacos5a.
Как видно, числитель и знаменатель сокращаются на sinacos5a.
В результате остается только -2.
2)Упростите: 4 : (ctga – tga).
A)
tg2a
B)
ctg2a
C)
2tg2a
D)
sin2a
Правильный ответ:
C
Решение:
В знаменателе применим формулы:
- tgx
=
sinx
cosx
- ctgx
=
cosx
sinx
cos2x = cos2x - sin2x
sin2x = 2sinx cosx
Таким образом, знаменатель дроби:
ctga - tga = cosa/sina - sina/cosa = (cos2a - sin2a) / (sinacosa) (привели к общему знаменателю) = cos2a / (sinacosa).
Получаем:
4 : cos2a / (sinacosa) = 4 * (sinacosa) / cos2a = 2*2sinacosa / cos2a = 2sin2a / cos2a = 2tg2a.
3)Упростите: cos3a/cosa - sin3a/sina.
A)
2
B)
2sina
C)
2cosa
D)
-2
Правильный ответ:
D
Решение:
Приведем дроби к общему знаменателю. Первую дробь умножим на sina, вторую - наcosa. Общий знаменатель получится sinacosa.
cos3a/cosa - sin3a/sina = (sinacos3a - sin3acosa) / sinacosa.
Применим формулу:
sin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ.
Получаем:
sin(a - 3a) / sinacosa = -sin2a / sinacosa.
Умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы воспользоваться формулой sin2α = 2sinα cosα:
-2sin2a / 2sinacosa = -2sin2a / sin2a.
Как видно, числитель и знаменатель сокращаются на sin2a.
В результате остается -2.
4)Упростите: 2 : (tga – ctga).
A)
cos2а
B)
ctg2a
C)
tg2a
D)
-tg2a
Правильный ответ:
D
Решение:
В знаменателе применим формулы:
- tgx
=
sinx
cosx
- ctgx
=
cosx
sinx
cos2x = cos2x - sin2x
sin2x = 2sinx cosx
Таким образом, знаменатель дроби:
tga - ctga = sina/cosa - cosa/sina.
Приводим к общему знаменателю sinacosa, умножая первую дробь на sina, вторую на cosa:
(sin2a - cos2a) / sinacosa = -cos2a / sinacosa.
Получаем:
2 : (-cos2a) / sinacosa = -2sinacosa / cos2a = -sin2a / cos2a = -tg2a.
5) В каком ответе знаки cos870°, sin(-490)° и tg670° приведены в порядке их написания?
A)
-,+,-
B)
+,-,-
C)
-,-,+
D)
-,-,-
Правильный ответ:
D
Решение:
Знак тригонометрической функции зависит от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент.
Синус угла α — это ордината (координата y) точки на тригонометрической окружности.
Косинус угла α — это абсцисса (координата x) точки на тригонометрической окружности.
Тангенс угла α — это отношение синуса к косинусу. То есть отношение координаты yк координате x.
Котангенс - это отношение косинуса к синус. То есть отношение координаты x к координате y.
На рисунке ниже:
синим цветом обозначены положительные значения оси ординат (синус);
красным цветом - положительные значения оси абсцисс (косинус)
[pic]
Как видно:
Синус в I и II четвертях положительный, в III и IV - отрицательный.
Косинус в I и IV четвертях положительный, во II и III - отрицательный.
Тангенс и котангенс в I и III четвертях положительные, во II и IV - отрицательные. Это следует из того, что тангенс является отношением синуса на косинус. В I четверти синус и косинус положительные, поэтому и тангенс положительный. Во II четверти синус положительный, но косинус отрицательный, поэтому и тангенс отрицательный (плюс на минус дает минус).
В данном случае учитываем, что каждые 360° можно отбросить, т.к. 360° составляют полный оборот. То есть через каждые 360° значения sinx, cosx, tgx, ctgx повторяются.
Кроме того, функции sin, tg, ctg являются нечетными, поэтому:
sin(-α) = -sinα,
tg(-α) = -tgα,
ctg(-α) = -ctgα.
Функция cos - четная, поэтому:
cos(-α) = cosα.
Следовательно, можно упростить расчеты:
а) cos870° = cos(870 - 360*2) = cos(870 - 720) = cos150°.
Угол 150° находится во II четверти, а так как cos во II и III четвертях отрицательный, тоcos870° имеет знак минус.
б) sin(-490)° = -sin(490)° = -sin(490 - 360) = -sin130°.
Угол 130° находится во II четверти, а так как sin во II четверти положительный, тоsin(-490)° имеет знак минус.
в) tg670° = tg(670 - 360) = tg310°.
Угол 310° находится в IV четверти, а так как tg в IV четверти отрицательный, то tg670°имеет знак минус.
Следовательно, правильный порядок знаков
минус,минус,минус.
6)Упростите выражение: - sin2a + 2cosa · cos2a
1 – sina – cos2a + sin3a
A)
2sina
B)
ctga
C)
4tga
D)
2tga
Правильный ответ:
B
Решение:
1) В числителе воспользуемся формулой:
sin2x = 2sinx cosx
Получаем:
sin2a + 2cosa*cos2a = 2sinacosa + 2cosa*cos2a.
Вынесем 2cosa за скобки:
2cosa(sina + cos2a).
2) В знаменателе воспользуемся формулами:
- sin2
x
=
1 - cosx
2
2
и
- sinα - sinβ
= 2sin
α - β
∙ cos
α + β
2
2
1 – sina – cos2a + sin3a = (1 – cos2a) + (sin3a – sina) = 2sin2a + 2sin(3a - a)/2 * cos(3a + a)/2 = 2sin2a + 2sina * cos2a.
Вынесем 2sina за скобки:
2sina(sina + cos2a).
3) Как видно, числитель и знаменатель можно сократить на (sina + cos2a).
Остается:
2cosa / 2sina = cosa / sina.
Преобразуем полученное выражение по формуле:
- ctgx
=
cosx
sinx
cosa / sina = ctga.
Решите приведенные ниже задания:
1. Вычислите функции:
a) sin(5π4) б) tg(10π3)
в) cos(−7π3)
г) ctg(−9π4)
2. Решите следующие уравнения:
a) sint=3√2 б) cost=−2√2
3.Упростите тригонометрическое выражение:
cos(−t)ctg(t)+sin(5π+t)
4.Докажите тождество:
(tg(t)+ctg(t))sin(t)tg(t)=sin−1(t)
6.Известно, что sin(t)=−23,3π2<t<2π.
Вычислите: cos(t),tg(t),ctg(t).
7. Существует ли такое число t, что выполняется равенство
sin(t)=16√−2√
