ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Согласно учебному плану данная дисциплина проводится в 4 и 5 семестрах (II и III курса). По итогам изученной дисциплины сдается экзамен. На изучение данной дисциплины отводится 120 часов, из которых на практическую работу отводится 30 часов

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен уметь:

Применять стандартные методы и модели к решению вероятностных и статистических задач;

Пользоваться расчетными формулами, таблицами, графиками при решении статистических задач;

Применять современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа.

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен знать:

Основные понятия комбинаторики;

Основы теории вероятностей и математической статистики;

Основные понятия теории графов.

ОК-1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК-2. Организовывать собственную деятельность, определять методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК-3. Решать проблемы, оценивать риски и принимать решения в нестандартных ситуациях.

ОК-4. Осуществлять поиск, анализ и оценку информации, необходимой для постановки и решения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК-5. Использовать информационно-коммуникационные технологии для совершенствования профессиональной деятельности.

ОК-6. Работать в коллективе и команде, обеспечивать ее сплочение, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК-7. Ставить цели, мотивировать деятельность подчиненных, организовывать и контролировать их работу с принятием на себя ответственности за результат выполнения заданий.

ОК-8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознано планировать повышение квалификации.

ОК-9. Быть готовым к смене технологий в профессиональной деятельности.

ОК-10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

ПК-1.1. Выполнять разработку спецификаций отдельных компонент.

ПК-1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.

ПК-2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.

ПК-3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.

Перечень заданий к практической работе.

Раздел 1. «Основные понятия комбинаторики» (4 часа)

Практическая работа №1. Решение задач на расчёт количества выборок. Определение типа комбинаторного объекта (тип выборки); Применение расчетных формул для каждого типа выборки

Практическая работа №2. Решение задач на расчет сложных выборок Применение основных теорем комбинаторики. Применение стандартных методов и моделей к решению вероятностных и статистических задач;

Раздел 2. «Основы теории вероятностей» (8 часов).

Практическая работа №3. Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности. Методика вычисления вероятностей событий по классической формуле определения вероятности с использованием элементов комбинаторики.

Практическая работа №4. Вычисление вероятностей сложных событий. Методика вычисления вероятности суммы совместимых событий. Нахождение условных вероятностей. Представление сложных событий через элементарные события с помощью операций над событиями.

Практическая работа №5. Вычисление полной вероятности события. Вычисление вероятности события по формуле полной вероятности. Оценка вероятности гипотез с помощью формул Байеса.

Практическая работа №6. Вычисление вероятностей событий в схеме Бернулли. Методика вычисления вероятности событий в схеме Бернулли

Раздел 3. «Дискретные случайные величины» (4 часа).

Практическая работа №7. Решение задач на запись распределения ДСВ. Методика записи распределения функции от одной ДСВ. Методика записи распределения функции от двух независимых ДСВ.

Практическая работа №8. Вычисление характеристик ДСВ Методика вычисления характеристик ДСВ; характеристик функций от ДСВ по определению и с помощью свойств

Раздел №4. «Непрерывные случайные величины» (8 часов)

Практическая работа № 9. Использование расчетных формул, таблиц, графиков при решении статистических задач; Решение задач на формулу геометрического определения вероятности .

Практическая работы № 10. Вычисление вероятностей и нахождение характеристик для НСВ с помощью функции плотности и интегральной функции распределения.

Практическая работа № 11. Использование современных пакетов прикладных программ многомерного статистического анализа. Вычисление вероятностей и нахождение характеристик для равномерно распределенной НСВ

Практическая работа № 12. Вычисление вероятностей для нормально распределенной и показательно распределенной величин

Раздел 6. «Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределения» (6 часов).

Практическая работа №13. Построение для заданной выборки ее графической диаграммы; расчёт по заданной выборке её числовых характеристик.

Практическая работа №14. Вычисление точечных оценок. Методика расчета по заданной выборке точечные оценки для генеральной средней (математического ожидания), генеральной дисперсии и генерального среднеквадратического отклонения.

Практическая работа №15. Вычисление интервальных оценок. Методика расчета доверительного интервала с заданной надежностью для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии;

Итого 30 часов.

Раздел 1. «Основные понятия комбинаторики».

Практическая работа №1. Решение задач на расчёт количества выборок. Определение типа комбинаторного объекта (тип выборки); Применение расчетных формул для каждого типа выборки – 2 ч

ЦЕЛЬ: выработать умения решать задачи по данной теме.

Задание:

1. Студент два раза извлекает по одному варианту из 34 экзаменационных. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен, если им подготовлено 30 вариантов, и первый вытянутый вариант студент не знал?

2. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных 5 отличников.

3. В урне 3 черных и 7 белых шаров. Наугад вынимается один шар (без возвращения), а затем второй. Найти вероятность того, что шары будут разного цвета.

4. В клетке 6 белых и 4 серых мыши. Случайным образом извлекают 3 мыши. Вычислить вероятность извлечения мышей одного цвета?

5. На складе находятся 15 кинескопов, 10 из которых сделаны на Львовском заводе. Найти вероятность того, что среди 5 взятых наудачу кинескопов 3 окажутся Львовского завода.

Теоретическая часть.

Комбинаторика является разделом математики, в котором изучаются правила составления различных видов комбинаций из определенных элементов.

Теорема о числе комбинаций. Пусть имеется т групп (множеств) элементов, состоящих из n1, n2, … , nm элементов. Тогда выбрать по одному объекту из каждой группы можно n1·n2· … ·nm различными способами.

Пример. Из трех классов надо составить команду, отобрав по одному ученику из каждого класса. Сколько различных команд можно составить, если в классах имеется 16, 18 и 15 учеников соответственно.

Ответ. Согласно теореме о числе комбинаций в случае, когда т = 3, n1 = 16, n2= 18, n3= 15, можно составить 16•18•15 = 4320 различных комбинаций команд.

Определение. Множество, состоящее из п элементов, называется упорядоченным, если каждому элементу множества присвоен свой номер от 1 до п.

Бесконечное множество, т.е. если n = ¥, называется счетным.

Определение. Перестановками некоторого конечного множества называются различные упорядоченные наборы, составленные из всех элементов данного множества,.

Пример. Множество, состоящее из трех элементов {1,2,3} имеет следующие перестановки: (1,2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3,1,2), (3, 2,1). Всего имеется шесть возможных перестановок.

Теорема о числе перестановок.

Число всех перестановок для множества, состоящего из п элементов, равно Рп = n! (n-факториал), где n! = 1•2•3• .. . •п ( При n =0 по определению Р0 = 0! = 1).

Пример. Даны четыре цифры: 1, 2, 3, 4. Сколько всего различных 4-значных чисел можно составить из этих цифр?

Решение. Число различных комбинаций, составленных из 4 цифр, равно 4! . В результате количество различных 4-значных чисел будет равно 4! = 1• 2•3 •4 = 24.

Определение. Размещениями из п элементов по k называются упорядоченные наборы, состоящие из k элементов, взятых из заданных n элементов,.

Размещения отличаются друг от друга либо элементами, либо их порядком.

Теорема о числе размещений.

Число всех размещений из п элементов по k определяется по формуле

Аn ^k = n! / (n – k )! = n•(п -1) •(п - 2) • .... •(п - k + 1).

Пример. Из множества с тремя элементами {1, 2, 3} наборов по два элемента в каждом можно (с учетом их порядка в наборе) выбрать А3² = 3•2= 6 способами: (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2).

Следствие. При k = п из теоремы о числе размещений следует теорема о числе перестановок, а именно:

[pic] .

Пример. Сколько имеется различных вариантов занятия трех призовых мест 7 артистами одного уровня?

Ответ: Число различных комбинаций групп, составленных из 7 человек, по 3 человека в группе определяется формулой: [pic] = 7•6•5 = 210.

Определение. Сочетаниями из п элементов по k называются неупорядоченные наборы, состоящие из k элементов, взятых из заданных п элементов.

Сочетания (неупорядоченные наборы) отличаются друг от друга лишь своими элементами.

Пример. Для множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3}, сочетаниями по два элемента будут служить лишь три комбинации: (1,2), (1,3), (2,3).

Теорема о числе сочетаний.

Число сочетаний, взятых из n элементов по k, определяется по формуле

[pic]

 Пример. Сколькими различными способами можно выбрать 2 ампулы из упаковки, содержащей 5 ампул.

Решение. В примере множество состоит из n =5 элементов, а наборы из k = 2 элементов.

Причем наборы различаются между собой лишь разными ампулами из упаковки. Пользуясь теоремой о числе сочетаний, определяем число различных способов – сочетаний.

C5² = A5²/P2 = (5·4·3·2·1)/[(1·2) · (1·2·3)] = 5·4/2 = 10 (способов).

Пример. У 6 мальчиков и 5 девочек имеются признаки инфекционного заболевания. Чтобы проверить наличие заболевания требуется взять анализ крови отдельно у 2 мальчиков и 2 девочек, выбранных случайным образом. Сколькими различными способами можно сделать такой выборочный анализ?

Решение. Количество способов выбора двух мальчиков из группы:

n1 = C6² = 6! / [2! · 4!] = 6 · 5 / 2 = 15 .

Количество способов выбора двух девочек из группы:

n2 = C5² = 5! / [2! · 3!] = 5· 4 / 2 = 10 .

В одном способе каждая пара мальчиков может быть взята совместно с каждой парой девочек. Поэтому, применяя теорему о числе комбинаций, получаем для всех возможных способов:

N = n1· n2 = 15·10 = 150.

Размещением с повторениями из n элементов по m или упорядоченной (n, m) – выборкой с возвращениями называется любой кортеж (a 1 , a 2 , …, a m ) элементов множества М, для которого

Поскольку в кортеж (a 1 , a 2 , …, a m ) на каждое место может претендовать любой из n элементов множества М, число размещений с повторениями Р(n, m)=n*n*….*n= n ^m

Р (n, m)= n ^m

Определим отношение эквивалентности на множестве размещений с повторениями из n элементов по m: (a 1 , a 2 , …, a m ) ~ ( b 1 , b 2 , ….., b m ) ⇔ для любого с число элементов a i , равных с, совпадает с числом элементов b i , равных с.

Сочетанием с повторениями из n элементов по m или неупорядоченной (n, m) – выборкой с возвращениями называется любой класс эквивалентности по отношению ~ множества размещений с повторениями из n элементов по m. Другими словами, сочетания с повторениями суть множества М, причем один и тот же элемент допускается выбирать повторно.

Число сочетаний с повторениями из n элементов по m обозначается через C(n, m) и вычисляется по формуле:

Пусть М – множество мощности n, - разбиение множества М на k подмножеств, Кортеж (М 1 ,…, М к ) называется упорядоченным разбиением множества М.

Число разбиений R(m 1 , m 2) вычисляется по формуле:

В общем случае число R(m 1 , m 2 , ….m k ) упорядоченных разбиений ( М 1 , М 2 , ….М к ), для которых , равно , а число R(n, k) упорядоченных на k подмножеств вычисляется по формуле

Число

Примеры решения задач.

Пример №1

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4?

Решение: P(4, 3)=4 ³ = 64.

Ответ: 64.

Пример №2

Сколько существует вариантов бросания двух одинаковых кубиков?

Решение: Это число равно числу сочетаний с повторениями из 2 элементов по 6:

Ответ: 21.

Пример №3 .

В студенческой группе, состоящей из 25 человек, при выборе старосты за выдвинутую кандидатуру проголосовали 12 человек, против – 10, воздержались – 3. Сколькими способами могло быть проведено такое голосование?

Решение: Пусть М – множество студентов в группе, М 1 – множество студентов, проголосовавших за данную кандидатуру, М 2 – множество студентов, проголосовавших против, М 3 – множество студентов, воздержавшихся от голосования. Тогда ( M 1 , M 2 , M 3 ) – упорядоченное разбиение множества М. искомое число R(12, 10, 3) =.

Ответ: .

Пример №4.

Сколькими способами из группы в 25 человек можно составить 5 коалиций по 5 человек?

Решение: пусть Х – множество людей в группе, m i – число коалиций по i человек, где i – 1,…, 25. Тогда по условиям задачи /, и, следовательно, искомое число будет равно

Критерии оценки:

• «5» - если решено 5 заданий верно;

• «4» - если решено 5 заданий с некоторыми недочетами, которые студент может устранить самостоятельно;

• «3» - если решено 4 задания с некоторыми недочетами, которые студент не может устранить самостоятельно;

• «2» - если задание не выполнено.

Контроль и оценка осуществляется преподавателем за выполненную работу

Рекомендуемая литература:

1. Данные методические указания, в котором представлены некоторые теоретические вопросы, рассмотрены примеры решения задач.

2. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. М: Форум: ИНФРА-М, 2006. 240 с.

Практическая работа №2. Решение задач на расчет сложных выборок Применение основных теорем комбинаторики. Применение стандартных методов и моделей к решению вероятностных и статистических задач;- 2 ч

ЦЕЛЬ: выработать умения решать задачи по данной теме.

Задание:

1. В клетке 6 серых и 4 белых мыши. Наугад выбирают 3-х мышей. Найти вероятность того, что хотя бы одна серая.

2. В лабораторной клетке содержат 8 белых и 6 коричневых мышей. Наугад выбирают пять мышей из клетки. Найти вероятность того, что:

1)      три из них белые, а две коричневые;

2)      все одного цвета.
В группе из 10 человек четверо мужчин. Случайным образом выбирают трёх человек.

Какова вероятность того, что это:

1) все мужчины;

2) одна женщина и двое мужчин;

3) один мужчина и две женщины.

4. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника четыре партии из пяти или семь из девяти?

5. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 книг, причем 5 из них по теории вероятностей. Библиотекарь берет наугад 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы 1 учебник окажется по теории вероятностей.

Теоретическая часть.

Основные правила комбинаторики

При вычислении количества различных комбинаций используются правила сложения и умножения. Сложение используется, когда множества не совместны. Умножение - когда для каждой комбинации первого множества имеются все комбинации (или одинаковое число комбинаций) второго множества.

Пример. Из 28 костей домино берутся 2 кости. В каком числе комбинаций вторая кость будет приложима к первой?

На первом шаге имеется два варианта: выбрать дубль (7 комбинаций) или не дубль (21 комбинация). В первом случае имеется 6 вариантов продолжения, во втором - 12.

Общее число благоприятных комбинаций равно: .

А всего вариантов выбора 2 костей из 28 равно 378; т. е. при большом числе экспериментов в 7 случаях из 9 (294/378 = 7/9) при выборе 2 костей одна кость окажется приложимой к другой.

Размещения с повторениями

Размещение с повторением также в комбинаторике называется кортежем.

Рассмотрим задачу: сколько разных числовых последовательностей, длины 5, можно составить из 10 цифр?

Перенумеруем разряды:

2

3

4

5

В первый разряд можно поставить одну из 10 цифр. Независимо от того, какая цифра поставлена, во второй разряд можно также поставить одну из 10 цифр и т. д. Всего получается 10⁵ различных чисел.

Для двоичной системы счисления (используются только две цифры: 0 или 1) получаем 2⁵ различных числовых последовательностей. Для системы с основанием к и числом разрядов п соответственно получаем:

(1)

n -число позиций (разрядов); k-число элементов в каждой позиции (цифр).

В общем виде задача ставится следующим образом: имеется k типов предметов (количество предметов каждого типа неограниченно) и п позиций (ящиков, кучек, разрядов). Требуется определить, сколько разных комбинаций можно составить, если в позициях предметы могут повторяться? Ответ дается формулой (1).

Пример. Сколько разных числовых последовательностей может содержать 10-разрядное слово в троичной системе счисления? В первый разряд можно поставить один из трех символов (0, 1 или 2), во второй разряд - также один из трех символов и т. д. Всего получаем З¹⁰ чисел.

В некоторых случаях имеются ограничения на количество разных предметов, которые можно помещать на позиции. Пусть, например, имеется п позиций и на каждую i-ю позицию можно поставить ki предметов. Сколько в этом случае существует разных расстановок предметов по позициям?

Легко обосновывается формула:

(2)

Пример. В эстафете 100+200+400+800 метров на первую позицию тренер может выставить одного из 3 бегунов, на вторую - одного из 5, на третью - одного из 6, на четвертую - единственного бегуна (на каждую позицию выставляются разные бегуны). Сколько вариантов расстановки участников эстафетного забега может составить тренер?

В соответствии с формулой (2) получаем, что число вариантов равно: .

Размещения без повторений

Рассмотрим задачу: Сколько разных числовых последовательностей, длины 5, можно записать с помощью десяти цифр при условии, что в числовых последовательностях не используются одинаковые цифры?

Перенумеруем разряды:

2

3

4

5

В первый разряд можно поставить одну из 10 цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Независимо от того, какая цифра помещена в первый разряд, во втором можно поставить только одну из 9 цифр, в третий - одну из 8 цифр и т. д. Всего существует различных числовых последовательностей, в каждой из которых нет двух одинаковых цифр.

В общем случае, если имеется k позиций и п разных предметов, причем каждый представлен в единственном экземпляре, то количество разных расстановок:

( 3)

В формуле (3) s означает факториал числа s, т. е. произведение всех чисел от 1 до s. Таким образом, s=s.

Пример 1. Из группы в 25 человек требуется выбрать старосту, заместителя старосты и профорга. Сколько вариантов выбора руководящего состава группы? Старосту выбрать можно одним из 25 способов. Поскольку выбранный староста не может быть своим заместителем, то для выбора заместителя старосты остается 24 варианта. Профорга выбирают одним из 23 способов. Всего вариантов: .

Пример 2. На дискотеку пришло 12 девушек и 15 юношей. Объявлен "белый" танец. Все девушки выбрали для танцев юношей (и никто из них не отказался). Сколько могло образоваться танцующих пар?

Таким образом, размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений.

Перестановки без повторений

В предыдущих параграфах комбинации отличались как составом предметов, так и их порядком. Однако если в последней задаче юношей было бы тоже 12, то все комбинации отличались бы только порядком. Рассмотрим, сколько различных комбинаций можно получить, переставляя п предметов.

Положим в (3) , тогда получим

(4)

Пример. К кассе кинотеатра подходит 6 человек. Сколько существует различных вариантов установки их в очередь друг за другом? Расставим 6 человек произвольным образом и начнем их переставлять всеми возможными способами. Число полученных перестановок в соответствии с формулой (4) будет равно 6! = 720.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Pn = n!,

где .

Заметим, что удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0! = 1.

Перестановки с повторениями

Иногда требуется переставлять предметы, некоторые из которых неотличимы друг от друга. Рассмотрим такой вариант перестановок, который называется перестановками с повторениями.

Пусть имеется п1 предметов 1-го типа, n2 предмета 2-го, пк предметов -го типа и при этом п1+ п2+...+ пк = п. Количество разных перестановок предметов

(5)

Для обоснования (5) сначала будем переставлять п предметов в предположении, что они все различны. Число таких перестановок равно п! Затем заметим, что в любой выбранной расстановке перестановка n1 одинаковых предметов не меняет комбинации, аналогично перестановка n2 одинаковых предметов также не меняет комбинации и т. д. Поэтому получаем выражение (5).

Пример. Найдем количество перестановок букв слова КОМБИНАТОРИКА. В этом слове 2 буквы «к», 2 буквы «о», 1 буква «м», 1 буква «б», 2 буквы «и», 1 буква «н», 2 буквы «а», 1 буква «т» и 1 буква «р».

Таким образом, число перестановок букв этого слова равно:

Р(2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1) = 13!/(2! 2! 2! 2!)= 13!/16.

Сочетания без повторений

Если требуется выбрать к предметов из п, и при этом порядок выбираемых предметов безразличен, то имеем

. (6)

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по k элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Формула (6) может быть получена следующим образом. Выберем по очереди к предметов из п. Число вариантов будет равно . В этих расстановках к выбранных предмета имеют свои определенные позиции. Однако нас не интересуют в данном случае позиции выбранных предметов. От перестановки этих предметов интересующий нас выбор не меняется. Поэтому полученное выражение нужно разделить на

Пример 1. Из группы в 25 человек нужно выбрать троих для работы в колхозе. Если выбирать их последовательно, сначала первого, потом второго, потом третьего, то получим варианта. Но так как нас не интересует порядок выбора, а только состав выбранной бригады, поэтому полученный результат нужно разделить еще на 3!

Пример 2. В середине 60-х годов в России появились две лотереи, которые были названы "Спортлото": лотерея 5/36 и 6/49. Рассмотрим одну из них, например, 6/49. Играющий покупает билет, на котором имеется 49 клеточек. Каждая клеточка соответствует какому-либо виду спорта. Нужно выделить (зачеркнуть) 6 из этих клеточек и отправить организаторам лотереи. После розыгрыша лотереи объявляются шесть выигравших номеров. Награждается угадавший все шесть номеров, пять номеров, четыре номера и даже угадавший три номера. Соответственно, чем меньше угадано номеров (видов спорта), тем меньше выигрыш.

Подсчитаем, сколько существует разных способов заполнения карточек "Спортлото" при условии, что используется лотерея 6/49. Казалось бы, заполняя последовательно номер за номером, получим: . Но ведь порядок заполнения не имеет значения, тогда получаем:

Эту же задачу можно решить и другим способом. Выпишем все номера подряд и под выбираемыми номерами поставим 1, а под остальными - 0. Тогда различные варианты заполнения карточек будут отличаться перестановками. При этом переставляются 6 предметов одного вида (единицы) и 49 - 6 = 43 предмета другого вида (нули), т. е. опять

Если все участники заполняют карточки по-разному, то в среднем один из примерно 14 миллионов угадает все 6 номеров. А сколько человек в среднем угадают 5 номеров?

Выберем один из угаданных номеров () и заменим его на один

из не угаданных (). Итого: человек из 14 миллионов

угадают 5 номеров. А сколько угадают 4 номера? Выберем из 6 угаданных два и затем из 43 не угаданных тоже два и перемножим число вариантов выбора. Тогда получим: человек.

Аналогично найдем, что 3 номера угадают 246820 человек, т. е. примерно 1,77% от всех играющих.

Типовые задания

Задача № 1. Из 25 вопросов по алгебре и 25 вопросов по геометрии произвольным образом составлены экзаменационные билеты, каждый из которых состоит из одного вопроса по алгебре и одного - по геометрии. Коля выучил 20 вопросов по алгебре и 15 вопросов по геометрии. Найти вероятность того, что он получит хорошую оценку (четверку или пятерку), т.е. ответит на оба вопроса.

Решение. Проводим рассуждения в форме беседы с учащимися.

Сколько равновозможных исходов существует при произвольном (т.е. случайном) составлении билетов из двух вопросов?

Каждый из 25 вопросов по алгебре может оказаться в паре с любым из 25 вопросов по геометрии. Поэтому для нахождения всех способов нужно воспользоваться основным правилом комбинаторики – правилом умножения: 25x25 = 625. Вывод: число всех равновозможных исходов n = 625.

Вероятность какого события надо определить и сколько исходов ему благоприятствуют?

Надо определить вероятность события, состоящего в том, что Коле достанется билет, в котором он знает и вопрос по алгебре и вопрос по геометрии. Т.к. Коля выучил 20 вопросов по алгебре и 15 вопросов по геометрии, по основной теореме комбинаторики находим, что число исходов, благоприятных для этого события, есть 20x15 = 300. Вывод: число благоприятных исходов m = 300.

Используя определение вероятности события, находим

H=m/n=300/625=0,48

Ответ. 0,48.

Задача № 2. Ответ на экзамене оценивается тройкой, если ученик отвечает на один (любой) вопрос. Какова вероятность того, что Коля получит тройку?

Решение. Число всех равновозможных исходов при составлении билетов то же самое, что и в предыдущей задаче: n = 625.

Для интересующего нас события благоприятны такие исходы:

1. Коля получит билет, в котором он знает ответ на первый вопрос и не знает ответа на второй.

2. Коля получит билет, в котором он знает ответ на второй вопрос, но не знает ответа на первый.

Подсчитаем число элементарных исходов первого типа. Поскольку Коля знает ответы на 20 вопросов по алгебре и не знает ответов на 10 вопросов по геометрии, согласно основной теореме комбинаторики таких исходов будет m1 = 20x10 = 200.

Аналогично находим число благоприятных исходов второго типа m2 = 15?5 = 75 (Коля знает ответы на 15 вопросов по геометрии и не знает ответов на 5 вопросов по алгебре). Таким образом, общее число благоприятных исходов

m = m1 + m2 = 200 + 75 = 275.

По определению вероятности события получаем

P=m/n=275/625=0,44

Ответ. 0,44.

Наконец найдем вероятность того, что Коле совсем не повезет.

Задача № 4. Определить вероятность того, что Коле достанется билет, в котором он не знает ответ ни на один вопрос и, конечно, получит двойку.

Решение. Число всех равновозможных исходов при составлении билетов то же самое, что и в предыдущих задачах: n = 625. Число благоприятных исходов для интересующего нас события (но не для Коли!) m = 5x10 = 50, а его вероятность

P=m/n=50/625=0,08

Ответ. 0,08.

Критерии оценки:

• «5» - если решено 5 заданий верно;

• «4» - если решено 5 заданий с некоторыми недочетами, которые студент может устранить самостоятельно;

• «3» - если решено 4 задания с некоторыми недочетами, которые студент не может устранить самостоятельно;

• «2» - если задание не выполнено.

Контроль и оценка осуществляется преподавателем за выполненную работу

Рекомендуемая литература:

1. Данные методические указания к практической работе №1, в котором представлены некоторые теоретические вопросы, рассмотрены примеры решения задач.

2. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. М: Форум: ИНФРА-М, 2006. 240 с.

Раздел 2. «Основы теории вероятностей».

Практическая работа №3. Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности. Методика вычисления вероятностей событий по классической формуле определения вероятности с использованием элементов комбинаторики. – 2 ч

ЦЕЛЬ: выработать умения решать задачи по данной теме.

Задание: изучить теоретический материал по данной теме и решить следующие задачи.

1. В учебнике №1 решить задачи №10,12,13,14,15,16,18,20,21 на странице 10-11.

Алгоритм действий:

1. Рассмотреть примеры решения задач в данном пособии, записать их.

2. Оформить решения задач в соответствии с примерами.

Теоретическая часть

В теории вероятности под вероятностью случайного события понимают меру возможности осуществления события в конкретных условиях эксперимента (испытания).

Вероятность Р(А) случайного события А определяется отношением количества m элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему количеству элементарных событий п:

P(A) = m / n. (1)

 Это определение называется классическим определением вероятности случайного события.

Поскольку в общем случае 0 £ т £ п, то из формулы (1) следует, что вероятность произвольного случайного события определяется в интервале [0,1], т.е. 0 £ P(A) £ 1 .

Пример. Определить вероятность того, что при извлечении одного шара из корзины, в которой находятся 1 белый, 5 зеленых и 4 красных шаров, извлеченный шар окажется зеленым.

Решение. Общее количество возможных элементарных событий при извлечении одного шара из корзины определяется общим количеством шаров в корзине, т.е. n = 1 + 5 + 4 = 10. Из них т = 5 элементарных событий (определяется количеством имеющихся зеленых шаров) являются благоприятствующими для нашей задачи. Обозначив это событие через А, по формуле (1) получим:

P(A) = 5 / 10 = 1/2 = 0,5.

 4. Основные свойства вероятности случайного события

1. Вероятность наступления невозможного события равна нулю.

Невозможное событие не может появиться в испытаниях, поэтому m = 0 и по формуле (1) получаем:

P(A) = 0 / n = 0.

2. Вероятность наступления достоверного события равна единице.

Количество появлений в испытаниях достоверного события равно общему числу событий, т.е. m = n, поэтому согласно формуле (1) получаем:

P(A) = n / n = 1.

5. Теоремы сложения и умножения вероятностей случайных событий

Теорема 1. Вероятность наступления случайного события А или несовместного с ним события В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А или В) = Р(А) + Р(В).

Пример 1.2. В коробке находятся 4 таблетки аспирина, 6 — анальгина и 5 - цитрамона. Наугад извлекается одна таблетка. Найти вероятность того, что будет извлечена таблетка аспирина или анальгина.

Решение. Обозначим событием А – извлечение таблетки аспирина, событием В – извлечение таблетки анальгина.

Общее число событий равно 15 – числу таблеток.

Вероятность наступления события А в соответствии с формулой классической вероятности будет равна:

P(A) = 4 / 15 .

Вероятность наступления события В равна:

P(B) = 6 / 15 .

Данные события являются несовместными. Поэтому для нахождения искомой вероятности в соответствии с теоремой (1) следует сложить найденные вероятности:

Р(А или В) = Р(А ) + Р( В) = 4/15 + 6/15 = 10/15 = 2/3.

Случайное событие `A, состоящее в том, что случайное событие А не произошло, называется событием, противоположным событию А.

Теорема 2. Сумма вероятностей наступления случайного события А и противоположного ему события `A равна единице:

Р(A) + Р(`А) = 1.

К примеру, при однократном подбрасывании монеты вероятности выпадения герба или цифры будут одинаковы и равны 0,5. Выпадение цифры является событием, противоположным выпадению герба. Поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице.

Определение. Случайные события А и В называются независимыми, если вероятность осуществления какого-либо одного из них не зависит от осуществления другого события.

Так при одновременном подбрасывании двух монет случайное событие А, состоящее в выпадении герба у одной монеты, и событие В, состоящее в выпадении герба у другой монеты, будут независимыми, поскольку не зависят друг от друга.

Пример 1. Опыт состоит в бросании двух монет. Найти вероятность того, что появится хотя бы один герб.

Решение. Случайное событие А - появление хотя бы одного герба.

Пространство элементарных событий в данном эксперименте определяется следующими исходами: Е = {ГГ, ГР, РГ, РР}, которые соответственно обозначаются e1, e2, e3, e4. Таким образом,

E=e1, e2, e3, e4; n=4.

Необходимо определить число исходов из Е, которые благоприятствуют появлению А. Это e1, e2, e3; их число m=3.

Используя классическую формулу определения вероятности события А, имеем

[pic] .

Пример 2. В урне 3 белых и 4 черных шара. Из урны вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение. Случайное событие А - появление белого шара. Пространство элементарных событий Е включает исходы e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, где ei - появление одного шара (белого или черного);

E={e1, e2, e3, e4, 5, e6, e7}, n=7.

Случайному событию А в пространстве Е благоприятствует 3 исхода; m=3. Следовательно, [pic] .

Пример 3. В урне 3 белых и 4 черных шара. Из урны вынимается два шара. Найти вероятность того, что оба будут белыми.

Решение. Случайное событие А - оба шара будут белыми.

Пример 3 отличается от примера 2 тем, что в примере 3 исходами, составляющими пространство элементарных исходов Е, будут не отдельные шары, а комбинации из 7 шаров по 2. То есть, чтобы определить размерность Е, необходимо определить число комбинаций из 7 по 2. Для этого необходимо использовать формулы комбинаторики, которые приводятся в разделе "Комбинаторный метод". В данном случае для определения числа комбинаций из 7 по 2 используется формула для определения числа сочетаний

[pic] ,

так как выбор производится без возвращения и порядок появления шаров неважен. Таким образом,

[pic] .

Число комбинаций, благоприятных для появления события А, определяется в виде

[pic] .

Следовательно, [pic] .

Критерии оценки:

• «5» - если выполнены 8-9 заданий верно;

• «4» - если выполнены 6-7 заданий с некоторыми недочетами, которые студент может устранить самостоятельно;

• «3» - если выполнены 4-5 задания с некоторыми недочетами, которые студент не может устранить самостоятельно;

• «2» - если выполнено менее 4 заданий.

Контроль и оценка осуществляется преподавателем за выполненную работу

Рекомендуемая литература:

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2005. 479 с.

Практическая работа №4. Вычисление вероятностей сложных событий. Методика вычисления вероятности суммы совместимых событий. Нахождение условных вероятностей. Представление сложных событий через элементарные события с помощью операций над событиями. – 2 ч

ЦЕЛЬ: выработать умения решать задачи по данной теме.

Задание:

В учебнике №2 решить задачи №1.37-1.46 на странице 48-54./они представлены с

готовым решением/

В учебнике №1 решить задачи №10-15 с.48

Теоретическая часть

Пример 1.

В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.

Решение. Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет 
[pic] . 
Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет 
[pic] .

Пример 2. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность  [pic] .

Этот же результат можно получить по формуле
[pic] .

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании
[pic] .

Найдем вероятность  [pic]  того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором — белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений  [pic] . Из этого числа исходов событию  [pic]  благоприятствуют  [pic]  исходов. Следовательно,  [pic] .

Искомая условная вероятность 
[pic]

Результаты совпали.

Пример 3. В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и 10 трамваев маршрута №2. Какова вероятность того, что вторым по счету на линию выйдет трамвай маршрута №1?

Решение. Пусть А - событие, состоящее в том, что на линию вышел трамвай маршрута №1, В- маршрута №2.

Рассмотрим все события, которые могут при этом быть (в условиях нашей задачи):  [pic] . Из них нас будут интересовать только первое и третье, когда вторым выйдет трамвай маршрута №1.

Так как все эти события совместны, то:

[pic] ;

[pic] ;

отсюда искомая вероятность
[pic]

Пример 4. Какова вероятность того, что 2 карты, вынутые из колоды в 36 карт, окажутся одной масти?

Решение. Сначала подсчитаем вероятность того, что две карты окажутся одной определенной масти (например «пики»). Пусть А - появление первой карты такой масти, В - появление второй карты той же масти. Событие В зависит от события А, т.к. его вероятность меняется от того, произошло или нет событие А. Поэтому придется воспользоваться теоремой умножения в ее общей форме:

[pic] , 
где  [pic]  (после вынимания первой карты осталось 35 карт, из них той же масти, что и первая - 8).

Получаем 
[pic] .

События, состоящие в том, что будут вынуты две карты масти «пики», масти «треф» и т.д., несовместны друг с другом. Следовательно, для нахождения вероятности их объединения воспользуемся теоремой сложения:
[pic] .

Критерии оценки:

• «5» - если выполнены 5-6 заданий.

• «4» - если выполнены 4 задания.

• «3» - если выполнены 3 задания.

• «2» - если выполнено менее 3 заданий.

Контроль и оценка осуществляется преподавателем за выполненную работу

Рекомендуемая литература:

1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. М: Форум: ИНФРА-М, 2006. 240 с.

2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике - М.: Высшая школа, 2005. 479 с.

Практическая работа №5. Вычисление полной вероятности события. Вычисление вероятности события по формуле полной вероятности. Оценка вероятности гипотез с помощью формул Байеса. – 2 ч

ЦЕЛЬ: выработать умения решать задачи по данной теме.

Задание: В учебнике №1 с.53-54 решить задачи №1-6

Алгоритм действий:

1. В учебнике №1 с.50 рассмотреть примеры решения задач в данном пособии, записать их.

2. Оформить решения задач в соответствии с примерами.

Теоретическая часть

Пусть событие А может наступить только с одним из n попарно несовместных событий Н1, Н2, …, Нn, которые по отношению к А называются гипотезами. Тогда вероятность события А можно вычислить по формуле полной вероятности:

.

Если стало известно, что событие А произошло, то вероятность р(Hi) (i = 1,2,…,n) можно переоценить, т.е. найти условные вероятности p(Hi / A).

Эта задача решается по формуле Байеса:

, (12)

где р(А) вычисляется по формуле полной вероятности.

Пример. В первой урне 2 белых и 6 черных шаров, во второй – 4 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу достали один шар.

а) Какова вероятность того, что этот шар белый?

б) Шар, взятый из второй урны, оказался белым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую были переложены 2 белых шара?

[link] (дата посещения 27.09.2013)