9 класс 17.10.16
Степенная функция
Цели урока:
Обучающая:
познакомить учащихся со степенными функциями и их свойствами,
учить навыку применения свойств функций в решении уравнений графическим способом и в сравнении чисел.
Развивающая:
Воспитательная:
Формы работы на уроке:
коллективная,
устная,
письменная.
Структура урока:
Организационный момент
Самостоятельная работа
Проверка домашнего задания
Изучение нового материала
Применение изученного материала
Подведение итогов урока
Ход урока
Самостоятельная работа
Вариант №1
1. Постройте график функции y=2x3−2.
По графику найдите:
а) Значение функции при значении аргумента равном -3.
б) Значение аргумента, если значение функции равно -1.
в) Решите неравенство y>0.
[pic]
Вариант №2
1. Постройте график функции y=−2x3+2.
По графику найдите:
а) Значение функции при значении аргумента равном 3.
б) Значение аргумента, если значение функции равно 1.
в) Решите неравенство y<0.
[pic]
Работа в группах
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Функцию у = хn (где х - независимая переменная, n - натуральное число) называют степенной функцией с натуральным показателем. Частные случаи такой функции для n = 1, 2, 3 (т. е. у = х, у = х2, у = х3) мы уже рассматривали. Известны свойства и графики этих функций. Теперь необходимо обсудить свойства и график степенной функции при любом натуральном n. Эти характеристики существенно различаются в зависимости от четности или нечетности числа n.
Приведем свойства функции у = хn при четном n (они аналогичны свойствам функции у = х2):
1. Область определения функции - промежуток (-∞; ∞).
2. Если х = 0, то у = 0. Поэтому график функции проходит через начало координат.
3. Если х ≠ 0, то у > 0. Следовательно, график функции расположен в первой и второй координатных четвертях.
4. Функция четная: у(-х) = у(х). Поэтому график функции симметричен относительно оси ординат.
5. Функция возрастает в промежутке [0; +∞) и убывает в промежутке (-∞; 0]. Наименьшее значение у = 0 функция принимает при х = 0, наибольшего значения функция не имеет.
6. Функция ограничена снизу, у ≥ 0.
7. Область значений функции - промежуток [0; +∞).
8. График функции представлен на рис. а.
Рассмотрим также свойства функции у = хn при нечетном n (они аналогичны свойствам функции у = x3):
1. Область определения функции - промежуток (-∞; +∞).
2. Если х = 0, то у = 0. Поэтому график функции проходит через начало координат.
3. Если x < 0, то y < 0 и если х > 0, то у > 0. Следовательно, график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.
4. Функция нечетная, у(-х) = -у(х). Поэтому график функции симметричен относительно начала координат.
5. Функция возрастает на всей области определения.
6. Функция неограниченная.
7. Область значений функции - промежуток (-∞; +∞).
8. График функции представлен на рис. б.
[pic]
Пример 1
Дана функция f(х) = x3. Вычислим выражение f(3) – 4f(2) + 7f(1).
Чтобы найти значение функции при данном значении аргумента, надо подставить этот аргумент в формулу, задающую функцию, и выполнить действия.
Получаем: f(3) – 4f(2) + 7f(1) = 33 - 4 · 23 + 7 · 13 = 27 - 4 · 8 + 7 · 1 = 27 - 32 + 7 = 2.
Пример 2
Сравните числа.
а) (-3,2)4 и (-1,8)4; б) 2,44 и 2,74; в) (-6,5)3 и (-4,8)3; г) 2,83 и 4,13.
При решении подобных задач учитывают монотонность соответствующей функции.
Рассмотрим функцию f(x) = х4. Эта функция убывает на промежутке (-∞; 0].
Так как -3,2 < -1,8, то f(-3,2) > f(-1,8), или (-3,2)4 > (-1,8)4. На промежутке [0; +∞) эта функция возрастает. Так как 2,4 < 2,7, то и f(2,4) < f(2,7), или 2,44 < 2,74.
Теперь рассмотрим функцию g(x) = x3. Такая функция возрастает на всей области определения.
Так как -6,5 < -4,8 и 2,8 < 4,1, то и g(-6,5) < g(-4,8) и g(2,8) <g(4,1), или (-6,5)3 < (-4,8)3 и 2,83 < 4,13.
Пример 3
Построим график функции у = (x - 1)3 + 1.
Учтем ранее изученные способы преобразования графиков. График функции у = (x - 1)3 + 1 получается сдвигом графика функции у = х3 на одну единицу вправо и на одну единицу вверх.
[pic]
