Урок на тему:
КОНУС
Цели: проверить уровень сформулированности навыка решения задач по нахождению элементов цилиндра; ввести понятия конуса, элементов конуса.
Ход урока
I. Самостоятельная работа (15 мин).
Вариант I
1. Сечением цилиндра плоскостью, параллельной оси, служит квадрат, площадь которого равна 20 дм2. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, если его диагональ равна 10 дм.
2. Боковая поверхность цилиндра развертывается в квадрат с диагональю, равной [pic] см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Вариант II
1. Высота цилиндра 16 см, радиус основания 10 см. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от оси цилиндра до этого сечения.
2. Разверткой боковой поверхности цилиндра служит прямоугольник, диагональ которого, равная 12π, составляет с одной из сторон угол 30°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если его высота равна меньшей стороне развертки.
II. Объяснение нового материала построить по плану:
1. Понятия конуса, его элементов (вершина, ось, образующие, основание, боковая поверхность конуса). Изображение конуса.
На рисунке проведем касательные из точки S к эллипсу, изображающему основание конуса. Обозначим через K1 и K2 точки касания. Распространенная ошибка заключается в том, что учащиеся принимают треугольник SK1K2 за изображение осевого сечения конуса. Однако хорда K1K2 не проходит через центр О основания конуса. Для построения изображения осевого сечения, проходящего через образующую SK1 достаточно построить изображение диаметра K1М и соединить полученную точку М с вершиной S конуса. SK1 и SK2 – изображения крайних образующих, то есть они отделяют видимые образующие (их изображения получаются, если соединить произвольную точку дуги K1МK2 эллипса с вершиной S от невидимых.
2. Рассмотреть сечение конуса различными плоскостями, выделяя два случая:
1) Секущая плоскость через вершину конуса;
2) Секущая плоскость параллельна основанию конуса.
В первом случае следует рассмотреть пересечение секущей плоскости с окружностью основания конуса.
1 (а). Если они пресекаются в двух точках, то в сечении конуса получаем равнобедренный треугольник, основание которого – отрезок с концами в этих точках. Из всех таких следует особо выделить осевое сечение. Оно получается, если рассматриваемые точки пересечения – концы диаметра основания конуса. Среди конусов выделяется равносторонний (осевое сечение его – равносторонний треугольник). Если R – радиус его основания, то образующая равностороннего конуса равна 2R .
1 (б). Если они имеют только одну общую точку, то рассматриваемая плоскость – касательная к конусу.
Касательная плоскость к конусу может быть определена по-разному.
Определение 1. Плоскость, проходящая через образующую конуса перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую.
Определение 2. Плоскость, имеющая с конусом только одну общую образующую.
Трактовка плоскости, касательной к конусу и плоскости, касательной к цилиндру, должна быть одна и та же в одном учебнике. Следует отметить, что, приняв одно из предложений 1 или 2 в качестве определения, необходимо ознакомить учащихся с другим как свойством касательной плоскости к конусу.
1 (в). Продолжая рассмотрение плоскости, проходящей через вершину конуса, проходим к случаю: если плоскость и окружность основания не имеют общих точек, то рассматриваемая плоскость с конусом имеют только одну общую точку – вершину конуса.
2. При доказательстве теоремы о сечении конуса плоскостью, параллельной его основанию (№ 556) целесообразно получить следующие выводы:
1. Рассматриваемое сечение – круг.
2. Обозначив через R и r – соответственно радиус конуса и рассматриваемого сечения и через H и h высоту данного и отсеченного конуса, получаем, что [pic] = k, где k – коэффициент подобия данного и отсеченного конусов. Доказать, что [pic] = k2. Обобщить, решая задачу № 557.
Рассмотрение сечения, перпендикулярного оси конуса, позволяет эффективно применять метод гомотетии по аналогии с сечением пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Установив форму и расположение сечения, вводят понятие усеченного конуса.
Изображая усеченный конус, удобно сначала нарисовать тот конус, из которого получается усеченный конус.
III. Решение задач: №№ 548 (а), 549.
Домашнее задание: теория (п. 61), №№ 547, 548 (б, в), 550.
