МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Глазовский государственный педагогический институт им. В.Г. Короленко»
Кафедра математики, теории и методики обучения математике
Курсовая работа
К.А. Дмитриева
студентка 4 курса факультета информатики, физики и математики
специальность 032100.01 - «Математика» с дополнительной
специальностью «Информатика»
Методика решения уравнений с параметрами на уроках алгебры
в 7 классе
Научный руководитель: кандидат педагогических наук,
доцент И.Л. Мирошниченко
Работа защищена
«___»________________2012 г.
с оценкой __________________
Глазов 2012
Содержание:
Введение стр. 3
§1. Понятие параметра стр. 5
§2. Анализ школьных учебников по алгебре за 7 класс. стр. 7
§3. Методика решения уравнений с параметрами. стр. 11
3.1. Линейные уравнения с параметрами стр. 12
3.2. Системы линейных уравнений с параметрами. стр. 16
Заключение. стр. 20
Список литературы. стр. 21
Введение.
Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления, математической культуры учащихся, но их решения вызывают значительные затруднения. Это связано с тем, что их изучение не является отдельной составляющей школьного курса математики, и глубоко рассматривается в основном на факультативных занятиях.
Задачи с параметрами для учеников массовой школы являются непривычными, а для многих из них сложными. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, навыки анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, системность и последовательность в решении.
Актуальность выбранной темы состоит в том, что в последние годы задачи с параметрами постоянно встречаются в заданиях ЕГЭ и ГИА. Таким образом, очевидна необходимость отработки приемов решения различных задач с параметрами.
Цель данной работы заключается в разработке методики решения уравнений с параметрами в 7-м классе.
Для осуществления данной цели необходимо решить ряд задач:
рассмотреть всевозможные введения понятия «параметр» с 7-го класса, для этого необходимо провести анализ действующих учебников;
выявить основные типы уравнений с параметрами, встречающиеся в курсе школьной программы за 7 класс;
разработать более рациональный метод решения уравнений, содержащих параметр.
Структура разработки наиболее эффективной методики решения уравнений с параметрами, приведенной в данной работе, заключается в следующем: введение общего понятия «параметра», сущность решения уравнений, содержащих параметр, - все это рассмотрено в первом параграфе курсовой работы. Далее представлен анализ действующих школьных учебников по алгебре за 7 класс, таких как: Макарычев Ю.Н. и др., Мордкович А.Г, Шалимов Ш.А. и др. рассмотрено как осуществляется знакомство учеников с понятием «параметр», какие виды заданий встречаются у каждого автора. И уже в §3 представлена методика решения уравнений с параметром. Суть этой методики заключается в исследовательской работе учеников - в проведении анализа уравнений, содержащих параметр.
§1. Понятие параметра.
Впервые знакомиться с параметрами полезно в 7-м классе при изучении линейных уравнений, чтобы ученики привыкли к понятию «параметр» и не испытывали затруднений при изучении этой темы в старших классах. Кроме того, задачи с параметрами хорошо развивают логическое мышление, тренируют внимание и память.
В применении к параметрическим уравнениям можно выделить следующие исследовательские умения:
1) Умение выражать через параметр условия принадлежности данного параметрического уравнения к тому или иному классу уравнений;
2) Умение определять вид уравнения и указывать вид коэффициентов в зависимости от параметров;
3) Умение выражать через параметры, условия наличия решений параметрического уравнения;
4) В случае наличия корней уметь выражать условия наличия того или иного количества корней;
Развивающий характер уравнений с параметрами определяется их способностью реализовывать многие виды мыслительной деятельности учащихся: умение определить наличие и количество корней, выработка определенных алгоритмов мышления, выражение одной переменной через другую, повторение большого объема формул при решении, знание соответствующих методов решения, широкое применение словесной и графической аргументации, развитие графической культуры учащихся;
Все вышесказанное позволяет говорить о необходимости изучения уравнений с параметрами в школьном курсе математики.
Параметр - (от греч. parametron - отмеривающий) в математике, величина, числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент из множества элементов того же рода.
Если в уравнении наряду с неизвестной величиной входят неизвестные, но фиксированные числа, обозначаемые буквами, то они называются параметрами, а уравнение называется параметрическим.
Примеры: ах = 3; 2х – 5р = 8; (2а + 3)х2 – ах + 1 =0.
Здесь х — неизвестное, а и р — параметры.
Решить уравнение, содержащее параметр, — это значит для каждого значения параметра найти множество всех корней данного уравнения.
Вспомним, что называется линейным уравнение с одной переменной.
Определение: Уравнение вида ax = b, где x – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
К задачам с параметром можно отнести, например, поиск решения линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование уравнения на количество имеющихся корней в зависимости от значения параметра.
Решить уравнение с параметром это значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений.
Изучению задач с параметрами в школе отводится незначительное место, хотя неявно с этим понятием учащиеся сталкиваются, например, при изучении функции y=kx, для этой функции в качестве параметра выступает коэффициент k прямой пропорциональности.
Если параметру, содержащемуся в уравнении, придать некоторое числовое значение, то возможен один из двух случаев:
получится уравнение, содержащее лишь данные числа и неизвестные, и не содержащие параметров;
2)получится условие, лишенное смысла.
В первом случае значение параметра называют допустимым, во втором – недопустимым. При решении задач допустимые значения параметров определяются из конкретного смысла.
§ 2. Анализ школьных учебников по алгебре 7 класс.
Проанализируем действующие учебники курса алгебры, чтобы выяснить, насколько в них представлены задания, использующие понятие «параметр», и методы решения уравнений, содержащих параметр.
1. Макарычев Ю.Н. и др. «Алгебра. 7 класс»
При изучении уравнений представлено два задания с параметром (№№538, 546). Рассматриваются простейшие линейные уравнения, но коэффициент при х является параметром и необходимо исследовать на количество корней или принадлежность корня к целым числам.
№ 546. При каком значении b корни уравнений 5bx-2(4x+b)-x=16b и 1,6(2+x)-3,2(3x+4)=0 являются противоположными числами?
№ 538. найдите натуральные значения a, при которых является натуральным числом корень уравнения:
а) a(3x-2)+2(3+a)=18
б) 3x(a-1)-2a(x+4)=4(1-2a)
Также в данном учебнике в §15 «Линейная функция» (глава 7 «Функции») рассматривается прямая пропорциональность, где, не вводя понятие параметр, его используют. А именно, выясняется расположение графика функции в зависимости от коэффициента , который и является параметром.
Следующие задания с параметром предлагаются уже только в дополнительных заданиях к главе 8 «Системы линейных уравнений» (№№1214-1216), где необходимо найти значение параметра, если известна точка пересечения графиков.
№ 1214*. При каком значении а прямые 4х + 3у = а и 2x – 3y = 8 пересекаются в точке, принадлежащей оси у, оси x?
№ 1344 При каком значении а прямая ax + 5y = 9 проходит через точку пересечения прямых 5x + 4y = 6 и 3x – y = 7?
2. Мордкович. А. Г. «Алгебра 7 класс».
Надо отметить, что данное учебное пособие состоит из двух частей: из учебника и задачника.
При изучении линейной функции (глава 2 §7) рассматривается линейное уравнение с двумя переменными и его график, где учащихся знакомят с параметром в неявном виде, то есть при рассмотрении нахождения корня линейного уравнения с одной неизвестной ставится ограничение на переменную a. При изучении параметра, такие значения переменной и будем называть особыми, для которых будут соответствовать частные решения.
Номера 10.18-10.20 задачника содержат задания, в которых требуется нахождение коэффициента уравнения если известно решение уравнения, то есть говорится о том, чтобы найти значения параметра, если известно решение уравнения. Также содержится ряд заданий, (например, №7.25-7.29) в которых необходимо найти значения переменной, если известно, что график функции проходит через данную точку.
№10.18. Даны две возрастающие линейные функции у=k1x – m1, у=k2x – m2. Подберите такие коэффициенты k1, k2, m1, m2, чтобы их графики были параллельны.
№7.26. Найдите значения коэффициентов а в уравнении ах +8у= 20, если известно, что решением этого уравнения является пара чисел: а) (2;1); б) (-3;-2).
3. Алимов Ш.А. и др. «Алгебра 7 класс».
Уже при изучении темы «Уравнения с одним неизвестным» предлагаются задания, которые содержит задачи с параметром (№№ 99-125), где нужно решить простейшие линейные уравнения на нахождение значения параметра, при которых уравнение имеет корни или не имеет корней (№123,124).
№ 99. Решить уравнение, если a и b – заданные числа, отличные от нуля:
а) ax – 3 = b; б) 4 + bx = a; в) b = a(x – 3); г) 4 = a – (bx – 1);
№123. Подобрать число a такое, чтобы уравнение имело корни:
а) 5x – 7 = 5x – a; б) x – (2 – x) = 2x – a;
Особенно можно выделить номер 125, который предлагается в задачах повышенного уровня. Особенность заданий состоит в том, что предлагаются линейные, дробно-рациональные и квадратные уравнения с параметром при старшем коэффициенте.
№125* Решить уравнение, принимая за неизвестное х выяснить при каких значениях а это уравнение имеет корни.
a) 2х – 3(х – а) = 3 + а
б) a + 6( x – 1) = 2a + x
в) (ax – 2): 2 = (3 – ax):4
После рассмотрения различных способов решения систем уравнений с двумя неизвестными предлагаются задачи, одна из которых содержит систему с двумя параметрами, где необходимо найти эти параметры, если система имеет единственное решение; бесконечное множество решений; не имеет решений.
№732. Дана функция у = kх + b. При каких значениях k и b график функции проходит через точки (-1; 1) и (2;3). Найдите значение k, если известно, что график функции y = kx – 1 проходит через точку (-3;2).
Вывод: в рассмотренных учебниках 7 класса встречаются задания с параметрами, но внимания таким заданиям уделяется мало, так как решение уравнений с параметрами является одним из самых трудных, в особенности и для понимания учениками, разделом курса элементарной математики. Такое положение дела представляется определенным недостатком школьного обучения - хотя известно, что такие задания необходимо включать в учебники с точки зрения необходимости логического развития школьников. Содержание материала и требования к учащимся по теме: «задачи с параметрами» должны определяться, конечно, уровнем математической подготовки всего класса в целом и каждого в отдельности. По интересующим учащихся вопросам можно организовать дополнительные занятия, кружки и факультативы.
§3. Методика решения уравнений с параметрами.
В самом начале знакомства с параметром у учеников возникает некий психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой - он может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении - это неизвестная известная, переменная постоянная величина. Этот «каламбур» очень точно отражает существо тех сложностей, которые нужно преодолевать ученикам.
Прежде чем ввести понятие «параметр» ученикам необходимо напомнить роль буквы в алгебре и предложить задания в которых надо выразить одну переменную через другую.
Выразите х через другие переменные:
а) [pic] ; б) [pic] ; в) [pic]
г) [pic] ; д) [pic]
Повторив на простых примерах, что значит решить уравнение, обратим внимание учащихся на то, что мы выразили неизвестное через числа.
Исходя из возрастных особенностей учащихся, все задания с параметрами в 7 классе носят пропедевтический характер. Должны встречаться задания с параметрами на решение линейных уравнений, систем линейных уравнений, на выражение одной переменной через другую (в уравнениях с двумя переменными). Учащиеся на этом этапе еще не знакомы с понятием параметра, но в учебниках обязательно должно быть помещено примечание о том, что более подробно такие задания будут рассмотрены в 8 классе.
Основные виды уравнений, содержащих параметр, рассматриваемые в 7 классах:
линейные уравнения с одной переменной;
системы линейных уравнений;
3.1 Линейные уравнения с параметрами.
Семиклассники хорошо решают линейные уравнения с параметрами. Вспомним, что называется линейным уравнение с одной переменной.
Определение: Уравнение вида ax = b, где х – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
Алгоритм решения уравнения ax = b.
Если a ≠ 0, то x= [pic]
Если а = 0, b ≠ 0, то корней нет (0х = b)
Если a = b, то х – любое (0х = 0)
Пример 1: Решите уравнение х + 2 = а + 7 относительно х.
Решение: Переменную, которую надо найти, будем называть неизвестной, а переменную, через которую будем выражать искомую неизвестную, назовём параметром.
Решить уравнение с параметром – это значит для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению.
х + 2 = а + 7
х = 5 + а
Значение х находится по формуле х = 5 + а, подставляя в неё задаваемые значения параметра а. Заметим, что значения параметра а задаём произвольно.
В нашем примере: при а = 3 х = 8
при а = 0 х = 5
при а = - 4 х = 1
Ответ: при любом значении параметра а х = 5 + а.
Поставим задачу, обратную данной.
Пример 2: При каком значении параметра а х = 2,5 является корнем уравнения х + 2 = а + 7?
Решение: т.к. х = 2,5 корень уравнения х + 2 = а + 7, то при подстановке х = 2,5 в уравнение получим верное равенство: 2,5 + 2 = а + 7
а = -2,5
Ответ: при а = -2,5
Пример 3: Решите уравнение: ax = 1
Решение: ax = 1
если a ≠ 0 то x = [pic] ;
если а = 0, то корней нет;
Ответ: если а = 0, то корней нет, если а ≠ 0, то x = [pic] .
Пример 4: Решите уравнение ax + 8 = a (a – параметр)
Итак, коэффициент при х равен а. Возникают два возможных случая:
1) Коэффициент при х = 0 и уравнение примет вид 0х = 8 – не имеет корней уравнение;
2) Коэффициент при х ≠ 0 и мы имеем право разделить обе части уравнения на этот коэффициент:
a ≠ 0,
ax + 8 = a,
x + 8/a = 1,
x = [pic]
Ответ: при а = 0 – нет корней, при а ≠0 х = [pic]
Пример 5: Решить уравнение 2а∙(а – 2)∙х = а – 2.
Решение: Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются, а=0 и а=2. При этих значениях параметра а, невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а ≠ 0 и а ≠ 2 деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества:
A1={0}, А2={2} и А3= {а≠0, а≠2}
и решить данное нам уравнение на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а=0; 2) а=2; 3) а ≠ 0, а ≠ 2.
Рассмотрим эти случаи.
1) При а=0 уравнение принимает вид 0∙х=2. Это уравнение не имеет корней.
2) При а=2 уравнение принимает вид 0∙х=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.
3) При а ≠ 0, а ≠2 уравнение соответствует третьему типу откуда х = [pic] = [pic] .
Ответ: 1) если а=0, то корней нет;
2) если а=2, то х — любое действительное число;
3) если а ≠ 0, а ≠ 2 , то х = [pic] .
В 7 классе начинаем обращать внимание учеников на запись ответа.
при а …. х ….
если а …. , то х ….
Далее продолжаем работу по формированию умений решать линейные уравнения с параметром.
Условия для поиска значения параметра а Характеристика множества корней
1. k(a) не имеет смысла
корней нет
2. b(a) не имеет смысла
корней нет
3. [pic]
корней нет
4. [pic]
один корень [pic]
5. [pic]
х – любое число
Применим этот алгоритм к решению уравнений.
Пример 5: Решите уравнение
[pic]
Решение: [pic] , [pic]
k(a) не имеет смысла при а = 2
b(a) не имеет смысла при а = – 3
[pic] , система решений не имеет
4) [pic] , [pic] , если а – 2, а – 3, а 2, то
[pic] , [pic]
5) [pic] , система имеет единственное решение при а = – 2.
Ответ: если а = 2, а = – 3, то решений нет; если а – 2, а – 3, а 2, то [pic] ; если а = – 2, то х – любое число.
Пример 6: Решите уравнение (k2 – 1)x = k + 1
Решение:
1) k + 1 имеет смысл при любом k.
2) k2 – 1 имеет смысл при любом k.
3) [pic] , [pic] при k = 1 исходное уравнение решений не имеет
4) (k2 – 1) 0, (k – 1) (k + 1) 0; если k 1, k – 1, то
[pic] , [pic] .
5) [pic] , если k = – 1, то х – любое число.
Ответ: если k = 1, то решений нет; если k = – 1, то х – любое число; если k 1, k – 1, то [pic] .
3.2 Система линейных уравнений с параметрами.
Далее рассматриваем решение систем линейных уравнений, содержащих параметры.
[pic]
Говорят, что дана система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными x и y, если требуется найти пары чисел (x₀,y₀), являющиеся решениями одновременно первого и второго уравнения.
Системы линейных уравнений с параметрами решаются, как обычные системы, — методом подстановки или сложения. Однако нужно помнить, что коэффициенты при неизвестных могут обращаться в нуль, что влияет на количество решений системы уравнений. Система может не иметь решений, иметь одно решение, иметь бесконечно много решений.
Системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными соответствует пара прямых на плоскости. Это позволяет наглядно продемонстрировать число решений системы. Две прямые могут либо пересекаться — одно решение, либо совпадать — бесконечно много решений, либо не иметь общих точек.
Е [pic] сли [pic] [pic] [pic] , то система имеет единственное решение,
Если [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] , то система не имеет решений,
Если [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] , то система имеет бесконечно много решений.
Пример 1: При каких значениях параметра а система [pic]
а) имеет бесконечно много решений;
б) имеет единственное решение?
Решение:
а) [pic] = [pic] , а = 4.
б) [pic] , а ≠ 4.
Ответ: а) если а = 4, то система имеет бесконечно много решений;
б) если а ≠4, то решение единственное.
Пример 2: Решите систему уравнений: [pic]
Решение:
а) [pic]
[pic] [pic] , т. е. при m ≠ 1 система имеет единственное решение [pic]
1– ym – y = n – 2y
-ym + y = n – 1
[pic] , [pic]
б) [pic] [pic] [pic] , т. е. при m = 1 и n ≠1 исходная система решений не имеет.
в) [pic] [pic] [pic] , при m = 1 и n = 1 система имеет бесконечно много решений.
Ответ: если m = 1 и n ≠1, то решений нет;
если m = 1 и n = 1, то решений бесконечное множество, [pic] если m ≠1 и n – любое, то [pic] .
В учебниках за 7 класс представлены ряд заданий на пересечение графиков функции y=kx, содержащие параметр, решаемые при помощи системы уравнений.
Пример 3: Графики функций y = (4 – a)x + a и y = ax + 2 пересекаются в точке с абсциссой, равной – 2. Найдите ординату точки пересечения.
Решение: [pic] , [pic]
3a – 8 = - 2a + 2;
5a = 10
a = 2 => y = - 4 + 2 = - 2
Ответ: y = -2.
Пример 4: Графики функций y = kx – 4 и y = 2x + b симметричны относительно оси абсцисс.
а) найдите b и k
б) найдите точку пересечения этих графиков.
Решение: Графики симметричны относительно оси абсцисс, следовательно b = 4
[pic] , [pic] , [pic]
В результате y = 2x + 4 и y = - 2x – 4, точка пересечения графиков (- 2; 0).
[pic] Ответ: а) b = 4, k = - 2;
б) (- 2; 0).
Пример 5: Решите уравнение: | x + 2| = a.
Построим в одной системе координат графики функций у = | х + 2| и у = а.
у = | х + 2|,
[pic]
Если a > 0, то у = - х - 2, или
у = х + 2,
у = а у = а
- х - 2 = а
х + 2 = а
х = - а - 2
х = а - 2.
Ответ: если a < 0, то решений нет;
если а = 0, то х = - 2;
если a > 0, то х1 = а – 2, х 2 = - а – 2.
Заключение.
Уравнения и неравенства с параметрами – прекрасный материал для настоящей исследовательской работы, но школьной программой задачи с параметрами не предусмотрены как отдельная тема. Это связано с тем, что материал достаточно сложный для всех учеников класса и его освоение требует большого количества времени. Но изучение данной темы не избежать в процессе обучения, так как задания, связанные с параметрами, включены и в задания ЕГЭ, и в задания ГИА.
При выполнении данной работы были решены следующие задачи:
Проведен анализ действующих школьных учебников по алгебре с целью выявления использования параметра и методов решения уравнений с параметрами. Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы: в основном все задания, связанные с решением уравнений с параметрами, носят повышенный уровень сложности; ни в одном из учебников не дается четкого определения параметра.
Разработана методика решения уравнений с параметрами за курс 7 класса. Выделены основные виды уравнений и методы их решения. Рассмотрены все типы заданий, которые встречаются в школьных учебниках. Представлено более рациональное их решение.
Список литературы.
1. Уравнения и неравенства, содержащие параметры: Пособие для учителей / Г.А. Ястребинецкий.- М.: Просвещение, 1977.- 128 с.
2. Алгебра: Учебник для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин. Ю. В. Сидоров и др.- 2-е изд.- М.: Просвещение, 1995. - 191 с: ил.
3. Алгебра. 7 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений /А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская и др.- 4-е изд., испр.- М.: Мнемозина, 2001.- 160 с: ил.
4. Алгебра. 7 кл.: Учебник для общеобразоват. учреждений /А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская и др.- 4-е изд., испр.- М.: Мнемозина, 2001.- 160 с: ил.
21
