Контрольная работа
Задача 1. В магазин привезли комбинезоны. Так как они плохо раскупались, то цену снизили на 10%, через некоторое время цену снизили еще на 5%. После этого цена комбинезона стала равна 1710 рублей. Определите первоначальную цену комбинезона.
Решение. Пусть x рублей – первоначальная цена комбинезона. После снижения цены на 10% новая цена стала равна 90% от первоначальной цены, то есть 0,9x рублей. После снижения цены еще на 5% новая цена комбинезона стала равна 95% от цены комбинезона после первого понижения, то есть [pic] рублей.
Так как цена комбинезона после двух понижений стала равна 1710, то можем составить следующее уравнение:
[pic] рублей первоначальная цена комбинезона.
Ответ: 2000.
Задача 2. Два мотоциклиста движутся по круговой трассе длиной 1,8 м с постоянными скоростями. При движении в разных направлениях они встречаются через каждые 18с. При движении в одном направлении один мотоциклист догоняет другого через каждые полторы минуты. Найдите скорость движения каждого мотоциклиста.
Решение. При движении мотоциклистов в разных направлениях они оба за 18с проходят длину круговой трассы, т.е. 1,8 м, так как начинают движение одновременно и встречаются через каждые 18с. Составим таблицу:
[pic]
t (с)
S (м)
1 точка
x
18
18x
2 точка
y
18
18y
Составим первое уравнение на основании того, что оба мотоциклиста за 18с прошли путь 1,8м, т.е. 18x + 18y = 1,8.
При движении мотоциклистов в одном направлении первый мотоциклист догоняет второго через каждые полторы минуты. Это означает, что за полторы минуты первый мотоциклист должен пройти полный круг 1,8м и еще столько, сколько успеет пройти за полторы минуты второй мотоциклист, (мы приняли x > y). Составим вторую таблицу:
[pic]
t (с)
S (м)
1 точка
x
90
90x
2 точка
y
90
90y
Составим второе уравнение на основании того, что первый мотоциклист за указанное время прошёл на 1,8 м больше, чем второй; 90x – 90y = 1,8.
Таким образом, мы получим систему уравнений
[pic] [pic] [pic]
[pic]
Ответ: 0,06; 0,04.
Задача 3. Из Смоленска в Рославль, расстояние между которыми 100км, одновременно выехали автомобилист и мотоциклист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 30 км больше, чем мотоциклист. Определите скорость мотоциклиста, если известно, что он прибыл в Рославль на 3 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Решение. Составим таблицу:
[pic]
t (ч)
S (км)
Автомобилист
x+30
[pic]
100
Мотоциклист
x
[pic]
100
По условию мотоциклист прибыл на 3 часа позже автомобилиста. Составим уравнение [pic] . Умножив обе части уравнения на x(x+30), получим 100x + 3x2 + 90x = 100x + 3000. Перенесем все слагаемые в левую часть, приведем подобные члены и запишем полученное квадратное уравнение x2 +30x – 1000 = 0, корнями которого являются числа 20 и -50. Корень -50 не удовлетворяет условию задачи, следовательно, 20 км/ч – скорость мотоциклиста.
Ответ: 20.
Задача 4. На изготовление 210 деталей первый токарь затрачивает на 5 часов меньше, чем второй на изготовление 250 таких же деталей. Известно, что первый токарь за час делает на 8 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй токарь.
Решение. Составим таблицу:
[pic] (дет./ч)
t (ч)
A (дет.)
I первый токарь
x+8
[pic]
210
II второй токарь
x
[pic]
250
По условию первый токарь делает в час на 8 деталей больше. Составим уравнение [pic] . Умножив обе части уравнения на x(x + 8), получим [pic] Перенесем все слагаемые в левую часть, приведем подобные члены и запишем полученное уравнение 5x2 = 2000, корнями которого являются числа 20 и -20. Корень -20 не удовлетворяет условию задачи, следовательно, 20 дет./ч – делает второй токарь. А первый токарь делает 20 + 8 = 28 (дет./ч).
Ответ: 20.
Задача 5. Смешали 30%-ный раствор серной кислоты с 20%-ным и получили 400г 25% - ого раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
Решение. Пусть x граммов взято 30%-ного раствора, а 20%-ного раствора взято y граммов, тогда из условия ясно, что x + y = 400. Так как первый раствор 30%-ный, то в x граммах этого раствора содержится 0,3x граммов кислоты. Аналогично в y граммах 10% -ного раствора содержится 0,2y граммов кислоты.
В полученной смеси по условию задачи содержится [pic] г кислоты, откуда следует 0,3x + 0,2y = 100.
Составим систему и решим ее:
[pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic] [pic]
Ответ: 200г; 200г.
