Часть урока алгебры в 10 классе на тему: « Решение тригонометрических уравнений»
Цель урока: 1) закрепить умения решать простейшие тригонометрические уравнения;
методом сведения к квадратному;
методом разложения на множители;
однородные тригонометрические уравнения;
применением основных тригонометрических формул;
2) научить отбирать корни уравнения методом подбора;
3) научить проверять и оценивать свои работы.
Тип урока: комбинированный .
Ход урока.
Устная работа. 1.1 Решить уравнения:
Sin x = 1; cos x = 5; 2cos x - = 0; 2tg x = 6; 2sin x = -1.
1.2 Среди уравнений, данных на доске выбрать те, которые решаются а) как простейшие тригонометрические уравнения;
б) приведением к квадратному;
в) методом разложения на множители;
г) как однородные;
д) с использованием тригонометрических формул.
1. cos (x+π/3) =0 ( 2 балла)
2. sin 4x =1 (2 балла)
3. tg2x -3tgx +2=0 (2 балла)
4. sinx +cosx =0 (2 балла)
5. 2cos2x + 5sinx -4 =0 (3 балла)
6. sin2(x+π/2) – sin(x+π/2) =0 (2 балла)
7. sin4x –sin2x =0 (3 балла)
8. sin2x + sin2x = 3cos2x (3 балла)
2. Самостоятельная работа в двух уровнях с последующей самопроверкой и оценки работ. (ученики сами выбирают уровень)
Базовый уровень: 1,2,3,4 задания из доски.
Средний уровень: 5,6,7,8 задания из доски.
Решения уравнений. 1. Cos(x+π/3) =0; x+π/3= π/2+πn,nZ; x= π/6 +πn,nZ.
Sin4x=1; 4x=π/2 +2πk,kZ; x=π/8 + πk/2,kZ; Ответ: x=π/8 +πk/2,kZ.
tg2x – 3tgx +2=0; пусть tgx=y, тогда у2 – 3у +2=0; у1=1; у2=2; получаем tgx=1, x=π/4+πn; tgx=2, x=arctg2+πk, n,kZ. Ответ:π/4+πn; arctg2+πk; n,kZ.
Sinx+cosx=0; однородное уравнение. Делим все члены уравнения на cosx, получаем tgx+1=0; tgx=-1; x= -π/4+πn, nZ/ Ответ: -π/4+πn,nZ.
2cos2x+5sinx-4=0; используя, что cos2x=1-sin2x , и преобразуя левую часть уравнения, получим 2sin2x-5sinx+2=0. Пусть sinx=y, тогда 2y2-5y+2=0; y1=1/2; y2=2. Значит , sinx=1/2; x=(-1)kπ/6+πk; и sinx=2; x= Ответ: (-1)kπ/6+πk, kZ.
Sin2(x+π/2) – sin(x+π/2)=0; sin(x+π/2)(sin(x+π/2) – 1)=0; sin(x+π/2)=0 или sin(x+π/2) – 1=0; x= -π/2+πn, x=2πk, n,kZ. Ответ: -π/2+πn, 2πk,n,kZ.
Sin4x - sin2x=0 ; cos3xsinx=0; cos3x=0 или sinx=0; из первого уравнения x=π/6+πk/3; из второго получаем x=πn,nZ. Ответ: π/6+πk/3; πn; k,nZ.
Sin2x+2sinxcosx-3cos2x=0; делим все члены уравнения на cos2x получаем tg2x+2tgx-3=0, пусть tgx=y, тогда y2+2y-3=0; y1=1, y2=-3; значит tgx=1 и tgx=-3; x=π/4+πk, kZ, x=-arctg3+πn, nZ.
3. Оценка работ. >8 баллов оценка «5»
8 баллов оценка «4»
6 баллов оценка «3»
4. Формирование новых умений и навыков.
1) Решить уравнение cosxsin2x+1= - 2sin3x и указать корни принадлежащие отрезку [0;2π].
Решение. Преобразуем уравнение к виду 2cos2xsinx+2sin3x= -1; 2sinx(cos2x+sin2x)=-1
Отсюда 2sinx=-1; sinx=-1/2; x=(-1)k+1π/6+πk, kZ.
Отберем корни, принадлежащие отрезку [0;π].
При к=0; х1=-π/6 не входит в отрезок;
При к=1; х2=π/6+π =7π/6 входит;
При к=2; х3=-π/6+2π =11π/6 входит;
При к=3; х4=π/6+3π =19π/6 не входит.
Ответ: (-1)k+1 π/6+πк, кZ; 7π/6; 11π/6.
