Олимпиада по математике
для студентов 2 курса учреждений СПО
Олимпиада по математике проводится среди студентов 2 курса специальностей технического и социально-экономического профилей.
Задания олимпиады составлены в соответствии с государственными образовательными стандартами среднего (полного) общего образования по математике и Примерной программой учебной дисциплины «Математика».
Целью олимпиады по математике является выявление одаренных студентов, умеющих находить оптимальные и верные решения, способных к индивидуальному соревнованию.
Задачи олимпиады:
- проверить наличие у участников необходимого понятийного аппарата и инструментария для решения проблем математики;
- развивать у обучающихся логическое мышление, умения интегрировать знания и применять их для решения нестандартных задач;
- вовлечь студентов в самостоятельную работу по углублению и совершенствованию знаний по математике;
- выявить кандидатуры для участия в областной предметной олимпиаде по математике.
Олимпиада состоит из 6 заданий разной степени сложности (от 2 до 6 баллов). Максимальная сумма баллов за всю работу – 20. Победителем и призерами олимпиады признаются студенты, набравшие наибольшее количество баллов.
Продолжительность олимпиады 1час 20 минут.
Задания олимпиады по математике.
(2 балла) Решите ребус: АX*УХ=2001.
(2 балла) Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 1000, у которых первая и последняя цифры чётны?
(3 балла) М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?
(3 балла) Решите уравнение [pic] .
(4 балла) От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
6. (6 баллов) В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
-в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину долга на июль предыдущего года.
На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил 1,8 млн рублей?
Решения и критерии оценивания заданий.
Решите ребус: АX*УХ=2001.
Решение.
Имеем 2001 = 3 . 23 . 29. Поэтому число 2001 можно представить в виде произведения двузначных чисел лишь следующими способами: 69 . 29 или 23 . 87. Подходит только первый вариант.
Ответ. 69 и 29.
Содержание критерия Баллы
Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Все шаги обоснованы и верны.
2
Приведен правильный ответ без обоснования.
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
0
Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 1000, у которых первая и последняя цифры чётны?
Решение. Первая цифра числа может быть любой из четырёх (2,4,6 или 8), вторая и третья – любой из десяти каждая, а четвёртая, если отказаться от условия « не делящихся на тысячу», - любой из пяти (0,2, 4,6 или 8). Следовательно, четырёхзначных чисел, в записи которых первая и последняя цифры чётны, всего имеется 4·10·10·5= 2000; так как среди них четыре числа (2000, 4000, 6000, 8000) делятся на 1000, то чисел, удовлетворяющих условию задачи, окажется 2000 – 4 = 1996.
Ответ. 1996.
Содержание критерия Баллы
Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Все шаги обоснованы и верны.
2
Приведено правильное решение, но допущена одна вычислительная ошибка, которая привела к не правильному ответу. Шаги решения приведены.
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
0
М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?
Решение. Пусть первоначально квас стоил х% от денежки, а хлеб – (100-х)%.
После подорожания цен на 20%, получим следующий баланс [pic] . Отсюда [pic] . При двукратном подорожании цен эта величина увеличится в 1,44 раза и достигнет величины 96%, что меньше стоимости денежки.
Ответ. Хватит.
Содержание критерия Баллы
Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Все шаги обоснованы и верны.
3
Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Один из шагов решение пропущен или не обоснован.
2
Получен правильный ответ. Приведено правильное решение, но не полное. Пропущено несколько шагов решения, или обоснование приведенного решение не точно (с описками, недочетами).
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
0
Решить уравнение [pic] .
Ответ: х=-6.
Содержание критерия Баллы
Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Все шаги обоснованы и верны.
3
Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Один из шагов решение пропущен или не обоснован.
2
Получен правильный ответ. Приведено правильное решение, но не полное. Пропущено несколько шагов решения, или обоснование приведенного решение не точно (с описками, недочетами).
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
0
5. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
Решение:
Объем исходной пирамиды , где − основание исходной пирамиды, а её высота. У отсеченной пирамиды высота равна а в основании пирамиды лежит треугольник подобный исходному с коэффициентом подобия 2. Следовательно, Т. е . Тогда и
[pic]
Ответ: 3
Содержание критерия Баллы
Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Все шаги обоснованы и верны.
4
Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Один из шагов решение пропущен или не обоснован.
3
Получен правильный ответ. Приведено правильное решение, но не полное. Пропущено несколько шагов решения, или обоснование приведенного решение не точно (с описками, недочетами).
2
Приведен правильный ответ, без обоснования, или рассмотрен частный случай
или
Приведено правильное решение, но допущена одна вычислительная ошибка, которая привела к не правильному ответу. Шаги решения приведены
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
0
6. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
-в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину долга на июль предыдущего года.
На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил 1,8 млн рублей?
Решение.
Так как мы ищем минимальный срок кредита, то первый платеж должен быть максимальным, т.е. составлять 1,8 млн. рублей.
1 год:
В январе сумма долга станет равной 1,2 * 6 = 7,2 млн. руб.
После 1 платежа сумма долга будет равна 7,2 - 1,8 = 5,4 млн. руб.
6 - 5,4 = 0,6 - разница между долгом в июле одного года и в июле следующего года.
Так как в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то каждый год долг в июле должен быть на 0,6 млн руб. меньше, чем в июле предыдущего года.
В таком случае пусть осталось выплатить n платежей. Тогда
5,4 - 0,6n = 0,
n = 9.
Учитывая, что 1 платеж уже был сделан, то минимальный срок крелита составит 10 лет.
Окончательно получаем, что кредит будет выплачен за 10 лет.
Ответ: 10 лет.
Содержание критерия Баллы
Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Все шаги обоснованы и верны.
6
Получен правильный ответ. Приведено полное, правильное решение. Один из шагов решение пропущен или не обоснован.
5
Получен правильный ответ. Приведено правильное решение, но не полное. Пропущено несколько шагов решения, или обоснование приведенного решение не точно (с описками, недочетами).
4
Приведено правильное решение, но допущена одна вычислительная ошибка, которая привела к не правильному ответу. Шаги решения приведены
3
Приведен правильный ответ, без обоснования, или рассмотрен частный случай
2
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
0
Список источников
1. Ершова, А. П. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10 – 11 кл. [Текст] / А.П. Ершова, В. В. Голобородько. - М. : Илекса, 2010. – 176 с.
2. Зив, Б. Г. Геометрия. Дидактические материалы. 10 класс: базовый и профильный уровни [Текст] / Б. Г. Зив. – М. : Просвещение, 2011. - 159 с.
3. Коликов, А. Ф. Изобретательность в вычислениях / А. Ф. Коликов, А. В. Коликов. - 2-е изд., стер. - Москва : Дрофа, 2009. - 78, [1] с. : ил.; 21 см. - (Познавательно! Занимательно!).
4. Научно-популярный физико-математический журнал для школьников и студентов «Квант» [Электронный ресурс]. – Режим доступа: [link]
