Математика. 9 класс. Учитель: Воробьева Елена Владимировна
Алгебра 9 класс. Учебник Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова. под редакцией С.А. Теляковского. Рекомендовано Министерством образования и науки РФ. Москва. «Просвещение». 2013. Глава 5. Параграф 11, п.31.
Структура урока определена его основной дидактической целью: введеие понятия, установление свойств изучаемых объектов, построение правил, закрепление изученного.
Перестановки
Тип урока: «открытие» нового материала.
Основная цель: сформировать представление о понятии «перестановки»;
- формировать умение вычислять число перестановок из n элементов на примере решения практических задач;
- формировать способность к развитию вероятностного мышления и коммуникативной компетенции при работе в группе;
- повысить мотивацию к изучению предмета, используя практический и содержательный потенциал предмета «математика».
Организационный момент.
Вспомним, какие события мы изучили: однозначные и неоднозначные.
Какие события называются однозначными? Как вы это понимаете? Приведите примеры.
Однозначными называются события, которые имеют заранее определённый исход, предсказуемые.
Какие события называются неоднозначными? Как вы это понимаете? Приведите примеры.
Неоднозначными называются события, которые имеют такой исход, который может произойти, т.е. похоже на определение случайного события.
Вывод: однозначные и неоднозначные события отличаются исходом – у однозначных событий он определён, а у неоднозначных – нет. Это поможет нам при изучении новой темы.
Изучение нового материала.
В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и вычислять результат, т. е. решать комбинаторные задачи.
На экране появляются герои басни Ивана Андреевича Крылова. А теперь переходим к изучению нового материала. Вспомним, как было у И.А. Крылова в басне «Квартет»:
Проказница мартышка,
Осёл,
Козёл
Да косолапый мишка
Затеяли играть квартет…
Помните, у Крылова? Начали музыканты играть – не получается.
"Стой, братцы, стой! - кричит Мартышка. -
Погодите!
Как музыке идти? Ведь вы не так сидите».
И так и эдак пересаживались – опять музыка на лад не идёт.
Тут пуще прежнего пошли у них разборы.
И споры,
Кому и как сидеть…
Вероятно, крыловские музыканты так и не перепробовали всех возможных способов перемены мест. Однако, способов (исходов, возможностей) этих не так уж и много. Сегодня на уроке, используя математические знания, посчитаем, сколькими различными способами можно рассадить (пересадить, поменять местами, переставить) четверых музыкантов на четыре различных места.
Открываем тетради, записываем тему урока. Дадим определение перестановок.
Исходы (простейшие комбинации), которые отличаются порядком расположенных элементов множества, называются перестановками. Какие слова опорные? – Исходы, порядок, перестановки.
Представим себе множество, состоящее из 2-х элементов.
Это геометрические фигуры: и
Сколькими способами можно их расположить? - Двумя (сначала , потом и наоборот).
Множество из 2-х элементов можно расположить упорядоченно 2-мя способами.
2) Возьмём множество, состоящее из 3-х букв А, Б, В.
Для А Б: А Б
А Б
А Б
Букву В можно поместить либо перед буквой А, либо после буквы А, либо после буквы Б.
В А Б
А В Б
А Б В
То же самое для комбинации букв Б А. Т. е. в 3 раза больше, чем для 2-х элементов: 2×3=6
Значит, из 3-х элементов А, Б, В можно составить шесть 6 перестановок – комбинаций, различающихся порядком расположения элементов. Множество, содержащее три элемента, можно упорядочить 6-тью различными способами. Каждое из этих расположений называют перестановкой из трёх элементов.
Определение: перестановкой из п элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке (стр. 176). Число перестановок из n элементов обозначают латинской буквой Рn, а внизу показывают цифрой сколько элементов переставляем местами (читается «число перестановок из n элементов», «Р из n»).
Р2=1×2=2=2! – число перестановок из 2-х элементов
P3=1×2×3=6=3! или P3=P2×3=2×3=6
Как ещё можно записать, расположив множители в порядке возрастания
1×2×3=3! - 3 факториал.
Факториал используют для сокращения записи. Что такое «факториал»? ! – это произведение натуральных чисел от 1 до какого-либо заданного натурального числа.
3) Возьмём множество из 4-х элементов А, Б, В и Г. Рассмотрим предыдущие перестановки А, Б, В В А Б А В Б А Б В
Рассмотрим только первую строчку В А Б. Букву Г можно подставить перед буквами В, А, Б или после Б.
Г В А Б
В Г А Б
В А Г Б
В А Б Г
Т. е. из одной строчки – получается четыре, в 4 раза больше. И так для каждой строки.
Вывод: значит, число перестановок из 4-х элементов или Р4 равно 24, т. е. в 4 раза больше, чем Р3.
Р4=Р3×4=1×2×3×4=24
Р1=1!=1
Пусть мы имеем n элементов, тогда
Pn=n!=1×2×3×…× (n-1) ×n=n! – число перестановок из n элементов, где n N
Pn= P(n-1) ×n
Из n элементов можно составить n! различных перестановок, т.е. количество комбинаций, отличающихся порядком расположения элементов.
Задание: сколькими различными способами можно рассадить (пересадить, поменять местами, переставить) четверых музыкантов на четыре различных места?
Следовательно, P4=24 – число перестановок из 4-х элементов. Значит, крыловских музыкантов можно расположить 24 различными способами.
Задание 2 (№735): сколько существует выражений, тождественно равных произведению abcde, которые получаются из него перестановкой множителей? (Р5=5!=120) Заполним вычисленные значения факториала от 1 до 5 в таблицу.
Д/з: продолжить таблицу значений факториалов, которую мы составили, до 10
Некоторые значения факториалов n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n!
1
2
6
24
120
720
5040
40320
362880
3628800
Закрепление. Перенос приобретенных знаний и их первичное применение
в стандартных или измененных условиях с целью формирования умений.
Работа в группах. Мотивация.
Классу выданы тексты задач, ориентированных на реальные жизненные ситуации. Задается вопрос: «Чем объединены тексты данных задач?»
Группа 1. Задание:
Тренер волейбольной команды решил изменить расположение игроков:
- Следующую встречу мы будем начинать по-другому, - объявил он после очередного проигрыша.
- А если опять проиграем?
- Тогда буду опять менять местами, пока не перепробую все возможные расположения, - ответил тренер.
Как известно, у волейболистов в команде 6 игроков.
Вопрос задачи:
как подсчитать, сколькими способами можно переставить 6-х волейболистов на 6 различных мест?
сколько потребуется времени, если каждый месяц пробовать 10 различных способов.
Решение: чтобы ответить на первый вопрос, надо подсчитать число перестановок из 6 элементов.
Р6=6!=120×6=720, т.е. существует 720 способов расставить спортсменов.
Чтобы ответить на второй вопрос задачи:
1). 720:10=72(мес.)
2).72:12=6 (лет)
Ответ: 6 лет.
Группа 2. Задание:
В расписании на вторник шесть уроков: русский язык, математика, история, литература, ОБЖ, биология.
Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы русский язык и литература стояли рядом для написания сочинения?
Решение: чтобы ответить вопрос, надо рассматривать русский язык и литературу как один предмет, поэтому необходимо найти число перестановок из 5-и элементов (120), однако, в каждой из получившихся комбинаций русский язык и литературу можно менять местами, т. е. находим число перестановок из двух элементов (2). Значит, искомое число способов Р5× Р2.
Р5× Р2=5! ×2!=120×2=240, т.е. существует 240 различных способов расставить уроки.
Ответ: 240 способов.
Группа 3. Задание:
Водитель покинул место ДТП. Очевидцы заметили, что в номере автомобиля присутствовали цифры 2, 4, 6 и буквы м, о, к. Цвет в период полярной ночи рассмотреть не удалось, а номер региона был известен. Сколько автомобилей предстоит проверить инспекторам ГИБДД?
Решение: чтобы ответить на вопрос, надо рассматривать отдельно комбинацию из 3-х различных цифр и комбинацию из 3-х различных букв. Сначала необходимо найти число перестановок из 3 элементов (6) для трёх известных цифр, однако, в каждой из получившихся комбинаций три буквы можно менять местами, т. е. находим число перестановок из 3-х элементов (6). Значит, искомое число способов Р3× Р3.
Р3×Р3=3!×3!=6×6=36, т.е. существует 36 различных номеров автомобилей, которые необходимо проверить инспектору ГИБДД.
Ответ: 36 способов.
Этап афиширования. Правильные решения – на доске.
Подведение итогов урока.
- что такое перестановки? Формула для вычисления перестановок?
- что представлют собой комбинаторные задачи?
- какие возникали трудности в процессе урока? Что было легко?
- как вы думаете, можно ли применить знания, полученные на этом уроке в других сферах деятельности человека? А именно? Например.
- как вы думаете, а существуют ли другие комбинаторные задачи, которые нельзя решить по формулам перестановок? (Например, задание группы 3: изменить в условии «на первом месте была буква м, присутствовали цифры 2 и 4, одна из которых повторялась»).
Этап оценивания.
Домашнее задание: дано на печатной основе, с комментарием и алгоритмом работы, позволяющими всем учащимся класса справиться. Дифференцированный подход обеспечивается разноуровневыми заданиями домашней работы, наиболее трудные помечены звёздочкой «*».
1. №733, закончить таблицу факториалов.
2.
Задание Пример решения
1
Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5?
Из цифр 0, 1, 3, 5 получится P4 перестановок – число перестановок из 4-х элементов. Однако, надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, т. к. число начинать 0 не может. Число таких перестановок P3. Значит, искомое количество четырехзначных чисел равно P4 - P3.
Решение: P4 - P3= 4! – 3!= 24-6=18.
2
Составь практическую задачу и реши её * (или №737 (б).
3*Сколько существует перестановок букв в слове «КОСИНУС», в которых «К», «О», «Н» стоят рядом в указанном порядке?
