Проект по математике на тему Круглый треугольник

[pic]

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
средняя школа
с углублённым изучением отдельных предметов

№ 55 города Липецка «Лингвист»

Математика

Круглый треугольник

[pic]

Елфимов Даниил Алексеевич

Класс: 6

Труханова Юлия Игоревна

Должность: учитель математики

2016

Оглавление.

1. Введение…………………………………………………………………………………3

2. Основная часть…………………………………………………………………………..4

   1. История открытия треугольника Рёло …………….………………….………...4

   2. Свойства треугольника Рёло ……………………………………………………….4

   3. Применение треугольника Рёло……………………………………………..……..5

3. Эксперимент …………………………………………………………………………….7

4. Заключение………………………………………………………………………………8

5. Библиографический список …………………………………………………………....9

6. Приложения……………………………………………………………………….... 10-16

1. Введение

Природа говорит языком математики:

буквы этого языка – круги, треугольники

и иные математические фигуры.

Галилей

Древнегреческий историк Геродот оставил описание того, как египтяне после каждого разлива Нила заново размечали плодородные участки его берегов, с которых ушла вода. По Геродоту, с этого и началась геометрия – «землемерие» (от греч. «гео» - «земля», «метрио» - «измеряю»). [1]

Древние землемеры выполняли геометрические построения, измеряли длины и площади; астрологи рассчитывали расположение небесных светил – всё это требовало весьма обширных познаний о свойствах плоских и пространственных фигур, и в первую очередь о треугольнике.

Знакомый всем треугольник по праву считается простейшей из фигур. С обычным треугольником и другими простейшими фигурами мы сталкиваемся каждый день. Люди очень любят создавать всё вокруг с помощью геометрических фигур. Это не просто красиво, но и удобно. Если вы хоть на минуту задумаетесь об этом и оглядитесь вокруг, то увидите, что геометрия всюду нас окружает. Всё, что создано человеком, имеет те или иные геометрические формы. [2]

На одном из уроков «Занимательной геометрии» мы говорили о многоугольниках и их видах, рассматривали свойства простейших из них, в частности, треугольника. Когда говорили о видах треугольника, учительница рассказала, что существует много других интересных и необычных фигур, например круглый треугольник или треугольник Рёло. Мы все недоумевали, как это треугольник может быть круглым?

Меня заинтересовал этот вопрос. Я решил более подробно изучить эту необычную фигуру. Узнать, для чего она нужна, где нашла своё применение.

Объект исследования: треугольник Рёло.

Цель проекта:

• исследовать треугольник Рёло, его свойства и историю происхождения;

• привести достаточное количество примеров применения свойств этого треугольника;

• провести эксперимент.

Задачи проекта: 

• изучить историю открытия треугольника Рёло;

• исследовать его главные свойства;

• отсмотреть видеоматериал и изучить литературу про треугольник Рёло;

• на основе изученных материалов предложить области использования треугольника Рёло;

• поэкспериментировать с использованием треугольника Рёло;

• сделать выводы.

Методами  исследования  являются  изучение   информационных  материалов,  наблюдение,  анализ,  эксперимент.

2. Основная часть.

2.1 История открытия треугольника Рёло.

Т [pic] реуголник Рёло – это область пересечения трех окружностей, построенных из вершин правильного треугольника. Они имеют радиус, равный стороне этого же треугольника. Он относится к разряду простых фигур (как круг), обладающих постоянной шириной. То есть если к нему провести две параллельные опорные прямые, то независимо от выбранного направления, расстояние между ними будет неизменным, в любой точке независимо от их длины.

Такую  фигуру  также очень  просто  построить,  используя  только  циркуль.  Для  этого  нужно  провести  две  окружности  с  одинаковым  радиусом,  но  так,  чтобы  центр  второй  совпадал  с  одной  из  точек  первой  (кроме  центра).  Проводим  третью  окружность,  так  что  бы  её  центр  совпадал  с  точкой  пересечения  первых  окружностей  (Рис. 1).  Область,  которая  принадлежит  всем  трем  кругам  и  есть  треугольник  Рёло. [4]

По мнению историков, название это «непростой» простой фигуре дал немецкий механик Франц Рёло, живший с 1829 по 1905 годы. Многие историки сходятся в том, что именно он стал первооткрывателем свойств этой геометрической фигуры. Потому как он первый широко использовал свойства и возможности треугольника Рёло в своих механизмах.
Отсюда Рёло стали считать поэтом механики. Что позволило последователям в корне пересмотреть имеющиеся в ней теории.

Иные исследователи первооткрывателем этой фигуры признают Леонарда Эйлера (18 век), который уже тогда продемонстрировал возможность его создания ее из трех окружностей.

А третьи «увидели» треугольник Рёло в рукописях гениального Леонардо Да Винчи. Манускрипты этого естествоиспытателя, с изображением этой «простой» фигуры, хранятся в Мадридском кодексе и в Институте Франции (Рис. 2).

2.2Свойства треугольника Рёло.

Треугольник  Рёло,  является  фигурой  постоянной  ширины.  Это  означает,  что  если  провести  две  параллельные  прямые  на  некотором  расстоянии,  то  фигура  при  качении  будет  касаться  обеих  прямых  постоянно.  Расстояние  между  ними   будет  постоянной  ширины.  Простейшей  такой  фигурой  будет  всем  известный  круг.  На  самом  деле  таких  фигур  не  мало.  Среди  ряда  таких  фигур  наименьшая  площадь  у  треугольника  Рёло.  К  примеру,  если  его  вписать  в  круг,  то  разница  очевидна (Рис. 3,4). [3]

Не  опровержим  тот  факт,  что  свойство  треугольника  Рёло  —  качение  по  квадрату,  позволяет  применять  его  в  интересных  областях. Треугольник  Рёло  вписан  в  квадрат  и  может  вращаться  в  нём,  постоянно  касаясь  всех  четырёх  сторон.  Каждая  вершина  треугольника  при  его  вращении  «проходит»  почти  весь  периметр  квадрата,  отклоняясь  от  этой  траектории  лишь  в  углах (Рис. 5).

2. 3. Применение треугольника Рёло.

Кто бы ни был первооткрывателем этого треугольника, он получил широкое распространение в современном мире. Изучив  научную  и  справочную  литературу  по  треугольнику  Рёло,  я  выделил  следующие   области  применения  фигуры  постоянной  ширины. 

А именно:

• Сверло Уаттса. В 1914 году английский инженер Гарри Джеймс Уаттс изобрел инструмент для сверления квадратных отверстий. Сверло Уаттса представляет собой просто-напросто треугольник Рёло, в котором прорезаны углубления для отвода стружки и заточены режущие кромки (Рис. 6,7).

• Двигатель Ванкеля. В 1957 году немецкий изобретатель Ф. Ванкель сделал  прорыв  в  машинной  индустрии,  создав  двигатель  кардинально  отличавшиеся  от  поршневого, с использованием ротора в форме треугольника Рёло(Рис. 8). Примером такого двигателя служат автомобили Mazda  RX-7  и  чуть  позже  RX-8.

• В механизме кинопроекторов. В  данном  случае  треугольник  Рёло  находится  внутри  квадрата  и  двигает  рамку,  посредством  вращения  вокруг  одного  из  своих  углов.  Зуб,  который  находиться  на  рамке,  входит  в  перфорацию  киноплёнки,  протаскивает  её  на  один  кадр  вниз  и  выходит  обратно (рис. 9).

• Основа кулачкового механизма для зигзагообразного шва в швейных машинках, а также в паровых двигателях и часовых механизмах.

• Музыкальные инструменты. Медиатор, тоже не что иное, как треугольник Рёло. Они необходимы при игре на щипковых музыкальных инструментах. (Рис. 10), например, гитара.

• Каток. Для перемещения тяжелых предметов на небольшие расстояния их кладут на плоскую платформу, установленную на катках. Для того, чтобы движение по каткам было прямолинейным, их сечение должно представлять собой фигуру постоянной ширины. Чаще всего сечением был круг, однако сечение в виде треугольника Рёло будет ничуть не хуже и позволит передвигать предметы столь же прямолинейно. Но несмотря на это, такая форма не подходит для изготовления колес, поскольку треугольник Рёло не имеет фиксированной оси вращения. (Рис. 11)

• Люки канализации. У треугольника Рёло меньше площадь, чем у круга, а значит и материала расходуется меньше на крышку люка (рис. 12). 

• Дробильные машины. Создание  и  использование  машины  для  дробления  камней  в  шахтах. Для  этого  необходимо  изготовить  два  вала,  которые  при  фронтальном  срезе  будут  в форме  треугольника  Рёло.

• В архитектуре. Форма треугольника Рёло используется в архитектурных целях. Окна в форме треугольника Рёло можно обнаружить в церкви Богоматери в Брюгге (рис. 13), а также в шотландской церкви в Аделаиде. Как элемент орнамента он встречается на оконных решетках цистерцианского аббатства в швейцарской коммуне Отрив.(Рис. 14) Например, построенная в 2006 году в Кёльне 103-метровая башня под названием «Кёльнский треугольник», в сечении представляет собой именно треугольник Рёло (рис. 15).

• В ювелирном искусстве. Очень необычным и красивым, на мой взгляд, является кольцо с использованием круглых треугольников. А главное его универсальность в применении. (Рис. 16) Это кольцо примечательно тем, что состоит их трех треугольников с круглым отверстием для пальца, которые спаяны между собой. Пустоты замощены небольшими камешками. Носить это кольцо можно как угодно, меняя цвет камня. Так же можно носить его как подвеску. Автором этого украшения является ювелир Валентин Монастырский.

• В наши дни существуют также целый класс правильных круглых многоугольников. Этот класс носит название правильных многоугольников Рёло (Рис.17). Все дуги, из которых составлен подобный многоугольник, имеют не только одинаковый радиус, но и одинаковую длину. Форма таких многоугольников используется в монетном деле: монеты ряда стран (например, 20 и 50 пенсов Великобритании) выполнены в виде правильного семиугольника Рёло (Рис. 18,19).

• Бороздя просторы интернета, я нашёл удивительное изобретение китайского офицера Гуан Байхуа из Циндао. Он создал необычный велосипед: вместо круглых колес у него треугольник Рёло сзади и пятиугольник Рёло спереди. (Рисунок 20) .Сам изобретатель уверен, что новая модель будет пользоваться популярностью, поскольку, чтобы передвигаться на таком велосипеде, требуется больше усилий, а значит, это в какой-то степени может заменить спортивную нагрузку. Добровольцы, опробовавшие новинку, были удивлены тем, насколько ровно передвигается велосипед с новыми колесами. Дело в том, что углы многоугольников сглажены. Это позволяет велосипеду не "прыгать" вверх-вниз, как можно было бы ожидать. Эта находка натолкнула меня на маленький эксперимент. [5]

3. Эксперимент.

Мною был проведен следующий эксперимент. На канале YouTube, пройдя по ссылке [link]