Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №15»
Программа элективного курса «Решение иррациональных уравнений» 9класс
Автор: учитель математики
Власова Ирина Анатольевна
Мичуринск
Тамбовская область
2016
ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС
«Решение иррациональных уравнений»
Пояснительная записка.
Одной из центральных линий математической подготовки учащихся является линия «Уравнения», методы их решения, решение систем уравнений и задач с помощью уравнений. В школьном курсе математики рассмотрены основные методы решения уравнений (способ подстановки, по формулам, разложение на множители).
В результате работы с материалами единого государственного экзамена мы видим, что в заданиях группы В и С часто встречаются уравнения, требующие нестандартных подходов к их решению.
Программа курса «Решение иррациональных уравнений» позволяет обсудить вопросы, которые не входят в курс математики основной школы (использование монотонности функций и области допустимых значений при решении уравнений, решение уравнений с использованием определения арифметического квадратного корня).
Рассмотрение различных способов решения уравнений будет способствовать развитию математической культуры учащихся, расширению их кругозора, подготовке к обучению в классах физико-математического профиля, дифференциации обучения математике.
Цели изучения курса:
- создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности;
- развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщенных умственных умений.
Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются следующие задачи:
- приобщить учащихся к работе с математической литературой;
- выделять и способствовать осмыслению логических приемов мышления, развитию образного и ассоциативного мышления;
- обеспечить диалогичность процесса обучения математике.
Курс предназначен для учащихся 9 классов, рассчитан на 17 часов аудиторного времени.
Курс призван помочь ученику оценить как свой потенциал с точки зрения перспективы обучения в классах физико-математического профиля, так и повысить уровень его общей математической подготовки.
В результате изучения курса учащиеся должны уметь:
- свободно оперировать аппаратом алгебры при решении уравнений;
- применять различные методы решения уравнений, в том числе и нестандартные.
Тематическое планирование
Всего часов: 17.
Лекции: 5.
Практические занятия: 10.
Выходной контроль: 2.
п/п
Тема занятий
Всего
Лекции
Практич.
занятия
1
2
3
4
5
6
7
Решение иррациональных уравнений с использованием определения арифметического квадратного корня
Решение уравнений с учетом области допустимых значений
Решение уравнений с использованием монотонности функций
Решение уравнений способом подстановки
Равносильные уравнения. Уравнения – следствия
Решение уравнений
Выходной контроль
2
2
2
2
2
5
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
2
Тема: «Решение иррациональных уравнений с использованием определения арифметического квадратного корня»
(2 часа)
Занятие №1
Учебные цели:- повторить определение арифметического квадратного корня, свойства арифметического квадратного корня;
- ввести понятие иррациональных уравнений и показать способ
решения иррациональных уравнений с использованием определения арифметического квадратного корня;
- закрепить изложенный материал в ходе решения упражнений.
Тип занятия: изучение нового учебного материала.
Вид занятия: лекция с элементами практической работы.
Методы обучения: работа по алгоритму, решение упражнений.
Ход занятия
Определение. Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными.
Определение. Арифметическим квадратным корнем из числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен , т. е. равенство = означает, что = и .
Если и ,то =∙.
Если и >0, то =.
Если , то =.
= || при любом значении .
Одним из способов решения иррациональных уравнений является использование определения арифметического квадратного корня. Любое уравнение вида =g(x) равносильно системе
.
Пример 1. =.
На основании определения арифметического квадратного корня можно утверждать, что исходное уравнение равносильно системе
;
Решая уравнение системы, находим два корня: − 2 и – 13, второй корень не удовлетворяет неравенству системы, то есть не является корнем исходного уравнения.
Ответ: − 2.
Пример 2. = 1 – х.
На основании определения арифметического квадратного корня имеем
5+=1− 2х + х2
Если х≤1, то = −х + 2, значит,
5 – х + 2 – 1 + 2х − х2 = 0,
−х2 + х + 6 = 0,
х2 – х − 6 = 0,
х1= −2, х2= 3.
Корень 3 не удовлетворяет неравенству системы, то есть корень уравнения –2.
Ответ: -2.
Задания для самостоятельного решения
Решите уравнения.
1. = 2.
2. = 1.
3. = 3.
4. = 2.
5. = х+7.
6. + х = 1.
7. = х − 5.
Занятие №2
Учебные цели: закрепить умения учащихся решать иррациональные уравнения с использованием определения арифметического квадратного корня.
Тип занятия: закрепление изученного материала, формирование практических умений и навыков.
Вид занятия: практикум с элементами консультации.
Методы обучения: повторение, работа по алгоритму, решение упражнений.
Ход занятия
На примере решения уравнения = х−8 повторить способ решения иррациональных уравнений с использованием определения арифметического квадратного корня.
Задания для самостоятельного решения
Решите уравнения.
1. = 1− х.
2. 3х+5 =.
3. 2х+= 7.
4. х =.
5. = −х.
6. = х + 2.
7. − х = 3.
8.= 6 − 2х.
Тема: «Решение иррациональных уравнений с учетом области допустимых значений»
(2 часа)
Занятие №1
Учебные цели: - ввести понятие области допустимых значений уравнения и корня уравнения;
- рассмотреть различные ситуации, возникающие при решении иррациональных уравнений с учётом области допустимых значений;
- закрепить изученный материал в ходе решения упражнений.
Тип занятия: изучение нового учебного материала.
Вид занятия: лекция с элементами практической работы.
Методы обучения: работа по алгоритму, решение упражнений.
Ход занятия
Одним из методов решения иррациональных уравнений является использование области допустимых значений.
Определение. Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения f(x)= g(x) называется множество значений переменной х, при каждом из которых имеют смысл его левая и правая части.
Заметим, что часто ОДЗ называют областью определения уравнения.
Определение. Число а из ОДЗ называют корнем данного уравнения, если при его подстановке вместо х в обе части уравнения получается верное равенство.
Решить уравнение означает найти множество всех корней этого уравнения или доказать что их нет.
Иногда ОДЗ уравнения состоит из нескольких точек, и остается проверить, какие из них удовлетворяют уравнению. Если ОДЗ – пустое множество, уравнение не имеет корней.
Пример 1. + 3 = .
ОДЗ:
ОДЗ уравнения пустое множество.
Ответ: уравнение корней не имеет.
Пример 2. 3− 4−= − (2 +).
ОДЗ:
ОДЗ:
Проверкой убеждаемся, что х = 1 - корень уравнения.
Ответ: 1.
Задания для самостоятельного решения
Докажите, что уравнение не имеет корней.
1. = 0.
2. = 1.
3. 5.
Решите уравнение.
1. .
2. = 0.
Занятие №2
Учебные цели: закрепить умения учащихся решать иррациональные уравнения с учётом области допустимых значений.
Тип занятия: закрепление изученного материала, формирование практических умений и навыков.
Вид занятия: практикум с элементами консультации.
Методы обучения: повторение, работа по алгоритму, решение упражнений.
Ход занятия
На примере решения уравнения +=6 повторить способ решения иррациональных уравнений с учётом области допустимых значений.
Задания для самостоятельного решения.
Докажите, что уравнение не имеет корней.
1.+ = 2.
2.=.
Решите уравнение.
1. = 92.
2. = 0.
3. ()sin = 1+.
4.−= 1.
5. ++(х+3)(2005−х)=0.
Тема: «Решение уравнений с использованием монотонности функций»
(2 часа)
Занятие №1
Учебные цели:- рассмотреть различные виды возрастающих (убывающих) функций и их комбинации;
- показать возможность решения иррациональных уравнений с использованием монотонности функций;
- закрепить изученный материал в ходе решения упражнений.
Тип занятия: изучение нового учебного материала.
Вид занятия: лекция с элементами практической работы.
Методы обучения: наблюдение, абстрагирование, выдвижение гипотез, проблемные ситуации, работа по алгоритму, сравнение, решение упражнений.
Ход занятия
В начале занятия учащимся предлагается построить графики функций у = (у =−1) и у = (у = +2) и выяснить, какая из них является возрастающей, а какая убывающей. Вопрос о возрастании (убывании) функций вида у =+ также решается графическим путём. Чтобы построить график суммы двух функций, надо сложить ординаты кривых при тех же значениях абсцисс.
Затем полученные результаты оформляются в виде памятки.
1. Возрастающая + возрастающая = возрастающая.
2. Убывающая + убывающая = убывающая.
3. Возрастающая + const = возрастающая.
4. Убывающая + const = убывающая.
В нестандартных ситуациях решить иррациональные уравнения помогает использование монотонности функций, стоящих в левой и правой части уравнения.
Если на некотором промежутке (а;b) функции, входящие в уравнение f(x)=g(x), таковы, что f(x) непрерывна и строго возрастает, а g(x) непрерывна и строго убывает, то равенство f(x) = g(x) возможно только в одной точке. Иногда это значение можно угадать.
Пример 1. = 2.
ОДЗ:
х .
Левая часть уравнения монотонно возрастает на ОДЗ, а правая часть постоянная величина. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Найдем этот корень подбором.
Ответ: 1.
Пример 2. ,
.
ОДЗ:
х.
Левая часть уравнения монотонно возрастает на ОДЗ, а правая часть монотонно убывает. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Найдем этот корень подбором.
Ответ: -1.
Пример 3. .
ОДЗ:
х.
.
Левая часть уравнения монотонно возрастает на ОДЗ, а правая часть монотонно убывает. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Найдем этот корень подбором.
Ответ: 3.
Занятие №2
Учебные цели: закрепить умения учащихся решать иррациональные уравнения с использованием монотонности функций.
Тип занятия: закрепление изученного материала, формирование практических умений и навыков.
Вид занятия: практикум с элементами консультации.
Методы обучения: повторение изученного, работа по алгоритму, решение упражнений.
Ход занятия
В начале занятия следует повторить ранее изученный материал в ходе решения следующих уравнений:
1. = 13 − х.
2. += 5.
3. = 3х − 13.
Задания для самостоятельного решения.
Решите уравнение, используя свойство монотонности функций.
2.
.
.
2.
.
.
.
.
1+.
++= 13.
+= 5.
= 3х − 13.
Тема: «Решение уравнений способом подстановки»
(2 часа)
Занятие №1
Учебные цели: - показать возможность решения иррациональных уравнений способом подстановки;
- закрепить изложенный материал в ходе решения упражнений.
Тип занятия: изучение нового учебного материала.
Вид занятия: лекция с элементами практической работы.
Методы обучения: повторение ранее изученного материала, наблюдение, выдвижение гипотез, проблемные ситуации, решение упражнений.
Ход занятия
Многие иррациональные уравнения решаются методом введения вспомогательных переменных.
Пример 1.
ОДЗ: х ≥ 0.
Пусть ≥0, тогда t2 + t − 2 = 0,
t1 = − 2, t2 = 1.
t = −2 не удовлетворяет условию t ≥ 0, значит, ,
х = 1.
Ответ: 1.
Пример 2.
Пусть t>0, тогда
t = ,
t2 + 5t −14 = 0,
t1 = −7, t2 = 2.
t = −7 не удовлетворяет условию t>0, тогда
,
х2 – 2 х – 5 = 0,
х1= 1−, х2= 1 +.
Ответ: 1−; 1 +.
Пример 3. = 2−х
Пусть = t, t≥0, тогда t= 8 − х, t− 6 = 2 − х.
Отсюда имеем
t− t – 6 = 0,
t= −2, t= 3.
t = − 2 не удовлетворяет условию t≥0, значит,
= 3,
8 − х = 9,
х = −1.
Ответ: −1.
Задания для самостоятельного решения.
Решите уравнение, используя введение новой переменной.
х −= 30.
.
.
.
.
3х=10.
Занятие №2
Учебные цели: закрепить умения учащихся решать иррациональные уравнения способом подстановки.
Тип занятия: закрепление изученного материала, формирование практических умений и навыков.
Вид занятия: практикум с элементами консультации.
Методы обучения: повторение изученного материала, решение упражнений, выдвижение гипотез, наблюдение, сравнение.
Ход занятия
В начале занятия следует повторить основные моменты, которые могут возникнуть при решении иррациональных уравнений способом подстановки, на примере следующих уравнений.
1. +−2 = 0.
2. +=.
3. +=.
Задания для самостоятельного решения.
Решите уравнение, используя введение новой переменной.
1.3.
2..
3..
4. .
5. х2 + 4 = 5.
6. х2 + 3.
7. х2 + 2.
8. х2 +.
Тема: «Равносильные уравнения. Понятие следствия уравнения. Посторонние корни»
(2 часа)
Занятие №1
Учебные цели: - ввести понятие равносильных уравнений и понятие следствия уравнения;
- рассмотреть вопрос о посторонних корнях.
Тип занятия: изучение нового учебного материала.
Вид занятия: лекция с элементами практической работы.
Методы обучения: работа по алгоритму.
Ход занятия
Определение. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными.
Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.
Например, уравнения х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень – число 3. Равносильны и уравнения х2 + 1 = 0 и 2х2 + 5 = 0 – ни одно из них не имеет корней.
Пусть даны два уравнения
Если каждый корень уравнения (1) является одновременно и корнем уравнения (2), то уравнение (2) называется следствием уравнения (1).
Заметим, что равносильность уравнений означает, что каждое из уравнений является следствием другого.
Уравнению – следствию удовлетворяют все корни исходного уравнения, но, кроме них, уравнение – следствие может иметь и такие решения, которые не являются исходного уравнения, это так называемые посторонние корни.
При решении иррациональных уравнений, как правило, применяют преобразование, связанное с возведением обеих частей уравнения в натуральную степень. Следует помнить, что при возведении обеих частей уравнения в нечетную степень получается уравнение, равносильное исходному. Если же возводить обе части уравнения в четную степень, то получается уравнение, являющееся следствием исходного, то есть такое, которое, кроме корней исходного уравнения, может содержать и другие корни. Значит, в этом случае необходимо проверить найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение. Проверка не нужна в том случае, если обе части уравнения принимают значения одного знака. В этом случае получается уравнение, равносильное исходному.
Пример 1. и х + 2 = 4.
Уравнения являются равносильными, так как обе части первого уравнения положительны.
Пример 2. и х – 1 = 4.
Уравнения не являются равносильными, так как левая и правая части первого уравнения – числа разных знаков.
Пример 3. и 2х + 1 = х3.
Уравнения являются равносильными, так как левую и правую части первого уравнения возвели в третью степень.
Пример 4. Решить уравнение 2.
Возведем обе части уравнения во вторую степень, получим уравнение, являющееся следствием исходного:
(2)2 = (х+2)2,
4(х +5) = х2 + 4х + 4,
х2 = 16,
х1 = − 4, х2 = 4.
Проверка показывает, что х = 4 удовлетворяет исходному уравнению, а х = − 4 не удовлетворяет.
Ответ: 4.
Пример 5. Решить уравнение
Возведем обе части уравнения в третью степень.
х + 2 − 2х2 = х3,
−х3−2х2 + х + 2 = 0,
−х2(х+2)+(х+2) = 0,
(х+2)(1−х2) = 0,
х1= −2, х2= −1, х3= 1.
Ответ: −2; −1; 1.
Задания для самостоятельного решения.
Равносильны ли уравнения?
1. и х – 5 = 81.
2. и 2 – х = − 27.
3. и 2 – х = 81.
4. и х3+1=1.
Решите уравнение.
1. .
2.
3. .
4. .
Занятие №2
Учебные цели: закрепить ранее изученный материал.
Тип занятия: закрепление изученного материала, формирование практических умений и навыков.
Вид занятия: практикум с элементами консультации.
Методы обучения: работа по алгоритму, решение упражнений.
Ход занятия
Задания для самостоятельного решения
Равносильны ли уравнения?
1. = х и х= х−5.
2. = х и 2х+1= х.
3. = и х−2= х.
4. = −х и х−1= −х.
Решите уравнение.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. 1 +2.
7. .
8. .
Тема: «Решение уравнений»
(5 часов)
Учебные цели: повторить все способы решения иррациональных уравнений.
Тип занятий: формирование практических умений и навыков.
Вид занятий: практикум.
Методы обучения: работа по алгоритму, выдвижение гипотез, сравнение, наблюдение, решение упражнений.
Ход занятий
Ниже представлены задания, используя которые учитель может разрабатывать план каждого занятия.
Решите уравнение.
(3х+5).
(2х+3).
(2−х) .
(х+1).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
=.
0,3
х2 + 2 +
3
4
Выходной контроль
(2 часа)
Учебные цели: контроль знаний, умений и навыков учащихся.
Тип занятия: контроль.
Вид занятия: самостоятельная работа (выполнение тестовых заданий по изученной теме).
Методы обучения: тестирование, проверка и анализ полученных результатов.
Ход занятия
Выходной контроль можно провести в форме тестирования, где задания будут подобраны так же, как на ЕГЭ, то есть будет часть А (с вариантами ответов), часть В (с кратким ответом) и часть С (с полным ответом). После проверки работ обязательно следует провести анализ допущенных ошибок.
Карточка №1.
Часть А
1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
2. Найдите сумму корней уравнения х+1 =
1) -1; 2) 1; 3) 4; 4) 5.
3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
1) (-6; -3); 2) (-3; 0); 3) (0; 3); 4) (3; 6).
Часть В
Решите уравнение
Решите уравнение 2
Найдите корень (или произведение корней, если их несколько) уравнения
Часть С
1. Решите уравнение
Ответы и указания
Часть А
1. 1. 2. 4. 3. 1.
Часть В
1. Уравнение корней не имеет. Указание. ОДЗ уравнения пустое множество.
2. 4. Указание. Использовать монотонность функций, стоящих в левой и правой частях уравнения.
3. −21. Указание. Равенство левой и правой части уравнения возможно лишь в том случае, если они равны нулю.
Часть С
7+2х≥0,
49 + 9х
х ≥ -3,5;
9х
9х(х+4) = 28х + 4х2,
9х2+36х = 28х + 4х2,
5х2 + 8х = 0,
х(5х+8)=0,
х = 0 или х = −1,6.
Ответ: −1,6; 0.
Информационные ресурсы
М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич «Сборник задач по алгебре 8 – 9» (Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). Москва «Просвещение» 1999г.
В.В.Кочагин, М.Н.Кочагина «ЕГЭ – 2007. Математика. Репетитор» Москва «Просвещение» 2007г.
В.А.Гусев, А.Г.Мордкович «Математика. Справочные материалы» Москва «Просвещение» 1988г.
В.В.Бардушкин, И.Б.Кожухов «Письменный вступительный экзамен по математике» Москва «Лист» 1988г.
