В первой строчке геометрическая прогрессия. (g=2)
Во всех столбцах – арифметическая прогрессия. (d= -2)
Определения арифметической и геометрической прогрессий
Арифметическая прогрессия — числовая последовательность, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего увеличением его на определённое число.
Имеет вид: a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, …, a1+(n-1)d,…
Число d называют разностью арифметической прогрессии.
d = an+1 - an
Геометрическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число.
Имеет вид: b1, b1q, b1q2, b1q3,… ,b1qn-1,…
q – знаменатель прогрессии
[pic]
Учащимся предлагается привести свои примеры .
2.Анализ содержания темы в различных школьных учебниках:
Анализируемые учебники:
(1) Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г: учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений. Издание: 21-е изд. - М.: Просвещение, 2011
(2) Мордкович А.Г. Алгебра. 9 кл. учебник. для общеобразоват. учеб. заведений – 2-е изд., - М.: Мнемозина, 2012г.
(3) Муравин К.С. и др. Алгебра 9 кл.: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений. — М.: Дрофа, 2011 г.
Последовательность изучения темы в (1), (2) аналогична: сначала изучаются последовательности, затем арифметическая прогрессия, формулы n-го члена арифметической прогрессии, суммы n-первых членов арифметической прогрессии, после чего приступают к изучению геометрической прогрессии в том же порядке. Но есть различия в способах изложения, введения понятий, формулировках определений, методах доказательства.
В перечисленных учебниках параграф «Последовательности» изучается с различной степенью подробности. В учебнике (1) дается понятие числовой последовательности, ее номера и рассмотрено рекуррентное задание последовательности. А в (2),(3) рассмотрены также свойства последовательностей (ограниченность, монотонность). Также в учебнике (3) выделяется несколько способов задания последовательности: словесный, рекуррентный, аналитический, вводятся свойства арифметической прогрессии.
Четкое определение последовательности вводится в учебниках (3). В остальных учебниках дается лишь ее описание. Вывод:( учащ-ся)
Учитель: На уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень точная и возникла она из практических нужд человека. Прогрессии играют большую роль в повседневной жизни, кроме того, они описывают различные процессы в живой природе. Действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни человека? (Посмотрим сценку)
3. Сценка «Мужик и купец»
Действующие лица:
ведущий-старшеклассник
купец, жена, мужик – роли исполняют ученики
На сцене стол, на столе самовар, лавка, у окна сидят купчиха и её дочь, входит купец
Купец. Послушай, жена, на базаре я встретил глупого мужика и заключил с ним выгодную сделку.
Жена. Какую?
Купец. Он каждый день будет приносить мне по 100000 рублей, а я ему в 1-ый день отдам копейку. Ты слышишь, копейку за 100000 рублей! Во второй день за 100 000– две копейки, в третий– 4 копейки и так целый месяц. А он мне целый месяц будет носить каждый день по 100 000 рублей!
Жена. Откуда у этого глупца столько денег?
Купец. Это не наше дело. Об одном жалею, что заключил договор только на один месяц. Боюсь, что этот чудак поймёт, что его обманывают, и не принесёт свои деньги.
раздаётся стук в дверь. Жена выглядывает в окно.
Жена. Там кто-то пришёл.
Купец. (Выглядывает в окно) Это он!
Входит мужик.
Мужик. Получай, купец, свои деньги и отдай мою копейку!
Взяв свою копейку уходит.
Купец. Как я боялся, что он не придёт. А вдруг завтра он не придёт? Или придёт и заберёт свои деньги?
Жена. Успокойся! Если он сегодня не понял, что его обманывают, не думаю, что поймёт завтра. Говорят же: «Если дурак, то надолго»
Купец. Так-то оно так, да всё равно боязно.
Ведущий. Каждый день мужик приносил по 100000 рублей и забирал свои копейки. Вначале купец радовался и не задумывался над тем, сколько он отдаёт мужику. На 24-ый день он отдал 83000, а на 25-ый 166000, а на 27-й день 671000 рублей.
Учащиеся считают .
“Мужик” заплатил: 100 000• 30 = 3 000 000(рублей).
“Купец” заплатил:
1; 2; 4;…
q=2/1=2.
S30 =1• (230 – 1):(2-1)= 2 30 -1=1 073 741 824 -1 =10 737 418 руб.23коп.
Купец. О горе мне, горе! Мужик оказался не так глуп. Ведь он отдал мне всего 3 миллиона, а получил от меня 10 миллионов рублей! Какой я глупец! Разве можно было заключать сделки на базаре!
Как неожиданны, бывают результаты, когда не знаешь математику.
Учитель: Мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя. Давайте окунемся в историю возникновения математики, и в частности - прогрессий.
4.История прогрессий
Слово «прогрессия» (от латинского progression) означает «движение вперед» (как слово «прогресс»). Этот термин впервые был введен римским автором Боэцием, жившим в 6 веке.
Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. В Древней Греции в V в до н.э. греки знали прогрессии и их суммы:
1+2+3+…+n = 2+4+6+…+2n = n·(n+1). Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым еще V в.
В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. В развитии теории прогрессий большой вклад внесли многие известные ученые.
Знакомство с историческим материалом. (За столом сидят Архимед, Гаусс, Магницкий).
Архимед: Кто формулу суммы квадратов нашел? И верной дорогой к прогрессу пришел? Математик и физик,я – Архимед. О жизни моей ходит много легенд.
Магницкий: Господа! Имею честь представиться. Я – Леонтий Филиппович Магницкий – создатель первого учебника «Арифметика»
Гаусс: О! Я – Карл Гаусс! Нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи учеником начальной школы.
1+2+3+……….+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+……=101х50=5050
сумма чисел от 1 до n = n * (n+1): 2.
5.Прогрессии в окружающей нас жизни
Прогрессии в биологии.
Самым показательным примером прогрессий может служить природа.
Для решения некоторых задач даже по биологии используются формулы арифметической и геометрической прогрессий. Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии. Примеры этих организмов:
ИНФУЗОРИИ… Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам. Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?
Решение: b15 = 2·214 = 32 768
Какие выводы можно сделать, анализируя данную последовательность?
Вывод: (геометрическая прогрессия)
Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.
5.2Прогрессии в банковских расчетах (экономике).
Стихотворение:
Знать прогрессии нам всем необходимо,
для увеличения вкладов в банке оно незаменимо.
Простые проценты - прогрессия арифметическая,
Сложные проценты - прогрессия геометрическая.
Каждому в жизни приходится решать задачи, связанные с денежными вкладами. В городе Минеральные Воды несколько акционерных банков, предлагающих населению разнообразные вклады. Давайте проанализируем процентные ставки предлагаемых вкладов нескольких банков для определения наиболее выгодного для населения. И для сравнения взяла 2 банка оказывающих услуги населению. Решая 2 задачи, сделайте вывод в каком банке Вы будете хранить деньги в будущем.
Сбербанк.
1. Банк даёт своим вкладчикам 6% годовых. Чему станет равным вклад в 100000 рублей через 1год, 2 года? (ответ: 112360 рублей)
1) 100000 (1 + 0,06) = 106000 (р) – через год
2) 106000 (1 + 0,06) = 112360(р) – через 2 года
ВТБ24
2. Клиент банка внес 100000 р. на вклад с годовым доходом 5%. Если никакие суммы со счета не снимаются и никаких дополнительных вложений не делается, то сколько денег будет на счете через 1 год, 2 года?
Решение:
(5х100000):100=5000(р)-5% от100000
100000+5000=105000(р)-через год
(105000х5):100=5250(р)-5% от 10500
105000+5250=110250(р)-через 2 года
Вывод:
5.3.Прогрессии в ЖКХ
Счетчик за электричество семьи Нагога М. показывает 600кВт.(предыдущие показания 450кВт).1) Сколько рублей заплатит семья, за последний месяц, если один кВт стоит 5рублей.
2)За каждый просроченный день взимается пеня в размере 0,5% с оплачиваемой суммы. Сколько платят за электроэнергию, если они просрочат оплату за 5 дней?
Решение:
1)150х5=750(р)-за последний месяц
2)По формуле сложных процентов Кn= Н(1+ [pic] )n получим
К5= 750(1+ [pic] )5= 750· 1.0055 = 750 · 1.025 = 768,75(рублей) - заплатят Нагога за электроэнергию, если они просрочат 5 дней.
Ответ:768,75(р).
5.3.Прогрессии в медицине.
Математика всем нужна. И медикам тоже. Хотя бы для того, чтобы грамотно прочитать обычную кардиограмму. Без знания азов математики нельзя разобраться в компьютерной технике, использовать возможности компьютерной томографии. Ведь современная медицина не может обходиться без сложнейшей техники.
В настоящее время широко применяются математические методы в биофизике, биохимии, генетике, физиологии, медицинском приборостроении, создании биотехнических систем
(Решаем задачу у доски)
Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?
Найдя сумму п первых членов арифметической прогрессии, найдете, что вам надо купить 180 капель. Т.е. 2 пузырька лекарства.
Решение. Составим математическую модель задачи:
5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5
ап=а1+d(n-1),
40=5+5(п-1),
п=8,
Sп=(a1+aп)n)/2, S8 =(5+40)·8:2=180,180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.
6.Проверка знания формул
Учитель: Итак, проверим знание формул по теме “Арифметическая и геометрическая прогрессии”. Зная эти формулы, можно решить много интересных задач, и если вы, умники и умницы 9-го класса, справитесь с их решениями, то узнаете любимое изречение одного из Мудрецов. Каждому из учеников дается следующее задание: Заполнить таблицу№2
Данная стадия дает целостное осмысление, обобщение полученной информации.
п/п Прогрессии
Арифметическая ( an )
Геометрическая ( bn )
1
Определение
2
Формула для нахождения n-го члена
3
Сумма n-первых членов прогрессии
4
Свойства
(Ученики заполняют таблицу, затем на экране появляется таблица, ученики проверяют правильность заполнения таблиц друг у друга с таблицей на экране).
п/п Прогрессии
Арифметическая (an )
Геометрическая ( bn )
1
Определение
[pic]
[pic]
2
Формула для нахождения n-го члена
[pic]
[pic]
3
Сумма n-первых членов прогрессии
[pic]
[pic]
4
Свойства
[pic]
[pic]
[pic] бесконечно
убывающая
“Математика – царица наук, арифметика – царица математики”
7.Рефлексия. Выводы:
Установили, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл.
Убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни.
Мы выяснили, какие ученые (Архимед, Карл Гаусс и его ученики, Магницкий. и т.д.) внесли свой вклад в развитие теории прогрессий и как теоретические знания применяются на практике в современной жизни.
Нашли и решили много задач на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых и в современных учебниках по математике. Заметили, что арифметическая прогрессия в практических задачах встречается чаще геометрической.
8.Итог
Учитель: Сегодняшний урок дает вам возможность развивать умение находить закономерности, применять полученные знания при решении нестандартных задач. Исследуя различные отрасли человеческой деятельности, а также окружающий нас мир, мы пришли к выводу, что мы живем среди прогрессий.
Урок сегодня завершен,
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд.
К прогрессу в жизни приведут
13
