Что такое квадратное уравнение?
Уравнение вида ax2+bx+c=0 , где a ≠ 0, b и c – произвольные числа, называется квадратным уравнением. Если а =1, то уравнение называется приведённым квадратным уравнением.
Корни квадратного уравнения находятся по формулам:
Выражение D = b2 – 4ac называют дискриминантом.
1. Если D> 0 — уравнение имеет два различных корня.
2. Если D < 0 — уравнение не имеет корней.
3. Если D = 0 — уравнение имеет два равных корня.
[pic]
Что такое параметр?
[link] - математическая величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая своё постоянное значение лишь в условиях данной задачи. При решении таких задач необходимо привести ответ для каждого значения параметра. Принято обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита (х, у, z…), параметры – первыми буквами ( а, в, с…). Задачи с параметрами решаются теми же приемами, что и аналогичные задачи без параметра. При решении используются аналитические и графические способы. Задачи с параметрами входят в экзаменационную работу за 9 класс, поэтому мы решили поближе познакомиться с данными задачами.
Определение. Квадратным уравнением с параметром а называется уравнение вида A(a)x2 + B(a)x + +C(a)=0 (1) где A(a), B(a), C(a) – данные функции от параметра а, рассматриваемые на пересечении их областей определения.
В частности, некоторые из коэффициентов или свободный член могут быть числами.
Примеры:
(a + 1)x² + 3x − 7 = 0 , (1)
ax² + x + a² − 1 = 0
(a² − 4)x² + 2ax + 4a = 0
(a−1)x² + √a ◦ x − a = 0
x2 – 2ax + 3 = 0
Вот несколько простых примеров решения квадратных уравнений с параметром:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Пример. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение х2 – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0.
Решение.
D = 4(а – 1)2 – 4(2а + 10 = 4а2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а2 – 16а
4а2 – 16 [pic] 0
4а(а – 4) [pic] 0
а(а – 4)) [pic] 0
а(а – 4) = 0
а = 0 или а – 4 = 0
Ответ: а = 4.
[pic]
[pic]
