10 класс.
Разработал:
учитель математики МБОУ «Краснооктябрьская СОШ»
п. Десятуха Стародубского района Брянской области
Хандус Татьяна Елисеевна.
Найдите производную функции в заданной точке x0.
а) y = (-5x+11)4, x0 = 2.
б) y = 6x - tg x, x0 = 0.
в) y = , x0 =.
г) y = 2x + ctg x, x0 = .
д) y = - √x.
е) y = 2x ³√x + cos²x.
ж) y = -cos² 2x - sin²2x.
з) y = cos 5x cos 3x + sin 5x sin 3x.
и) y = ctg x + , x0 = .
к) y = , x0 = .
л) y = 6(2x – 1)².
м) y = .
н) y = √x (2x -4).
о) y = 17.
2.Геометрический смысл производной.
а) Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой x0 = , если
f (x) = 2x + ctg x.
б) Угловой коэффициент касательной к графику функции y = f (x) в точке (-2;7), равен 4. Найдите f`(-2).
в) Найдите абсциссу точки графика функции y = x² - 5x +6 , в которой угловой коэффициент касательной равен -4.
г) Найдите тангенс угла наклона касательной, проведённой к графику данной функции через точку с абсциссой x0 = 2, если f (x) =x³ - ½ x.
д) Касательная в точке М графика функции y= 3x² + 15x +2 параллельна оси абсцисс.
Найдите абсциссу точки М.
е) Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции y = f (x) в точке
C(-6; 12). Найдите f`(-6).
3.Физический смысл производной.
1. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = 2t³+ 3t+1. Найдите её ускорение в момент времени t = 3с.
2. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = t³- 3t. Найдите её скорость и ускорение в момент времени
t = 1с.
3. Тело движется по закону x(t) = t⁵ + t. Определите x( t ) в момент, когда её скорость 65 м/с.
4. Тело движется по закону x(t) = 3 cos 2t. При каких значениях t ускорение точки положительно?
5. Тело движется по закону x(t) = 3t³- 6t. Найдите ускорение точки в момент, когда её скорость 30 м/с.
6. Тело движется по закону x(t) = 7t + 5t² + t³. Определите скорость точки в момент, когда её ускорение 70 м/с².
7. Тело движется по закону x(t) = -t⁴ - 4t³+ 6t². Определите скорость точки в момент, когда её ускорение максимально.
4.Касательная к графику функции.
1. Прямая y = -3x + 5 параллельна касательной к графику функции y = x² + 6x + 8. Найдите абсциссу точки касания.
2. Прямая y = 5x + 14 параллельна касательной к графику функции y = x³ - 4x² + 9x +14. Найдите абсциссу точки касания.
3. Составьте уравнение касательной к графику функции y = x³ - 2x +1 в точке с абсциссой x0 =2.
4. Дана кривая y = -x² + 1. Найдите точку её графика, в которой касательная параллельна прямой y = 2x + 3. Написать уравнение касательной.
5. Найдите координаты точки, в которой касательная к графику функции y = x² + √3x -10 образует угол 60° с Оx.
6. Найдите угол между прямой x = 2 и параболой y = x² + 2.
7. Составьте уравнение касательной к графику функции y = в точке пересечения с осью ординат.
8. Составьте уравнение касательной к графику функции y = в точке пересечения с осью абсцисс.
9. На графике функции y = x(x – 4)³. Найти точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс.
10. Под каким углом кривая y = sin3x пересекает ось абсцисс в начале координат?
11. В каких точках касательные к кривой y = - x² - x +1 параллельны прямой y = 2x – 1.
12. . Под каким углом к оси Оx наклонена касательная, проведённая к кривой y = x³ - x² - 7x + 6 в точке М0(2;-4)?
13. Известно, что прямая y = - x - является касательной к линии, заданной уравнением y = 0,5x⁴ - x. Найдите координаты точек касания.
14) Составьте уравнения касательных к кривым y = 2x² - 5 и y = x² -3x + 5, проведённых через точки их пересечения.
15) Найти угол, который образует с осью ординат касательная к кривой y = x⁵ - x³, проведённая в точку с абсциссой x = 1.
5. Применение производной к исследованию функций
5.1. На рисунке изображен график функции [pic] , определенной на интервале (−6; 8).
Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
[pic]
5.2. [pic] На рисунке изображен график функции [pic] , определенной на интервале (−5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции [pic] отрицательна.
5.3. [pic] На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямойy = 6 или совпадает с ней.
5.4. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
[pic]
5.5. На рисунке изображен график производной функции [pic] , определенной на интервале [pic] . В какой точке отрезка [pic] функция [pic] принимает наибольшее значение?
[pic]
5.6. [pic] На рисунке изображен график производной функции [pic] , определенной на интервале [pic] . В какой точке отрезка [pic] [pic] принимает наименьшее значение?
5.7.На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].
[pic]
5.8. На рисунке изображен график производной функции [pic] , определенной на интервале [pic] . Найдите количество точек минимума функции [pic] на отрезке [pic] .
[pic]
5.9. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].
[pic]
5.10. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
[pic]
5.11. [pic] На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
5.12. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
[pic]
5.13. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
[pic]
5.14.На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x−11 или совпадает с ней.
[pic]
5.15. [pic] На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функцииf(x) на отрезке [−2; 6].
5.16. [pic] На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
5.17.На рисунке изображён график [pic] производной функции [pic] и восемь точек на оси абсцисс: [pic] [pic] [pic] [pic] , [pic] . В скольких из этих точек функция [pic] возрастает?
[pic]
5.18.На рисунке изображён график [pic] производной функции [pic] и восемь точек на оси абсцисс: [pic] [pic] [pic] [pic] , [pic] . В скольких из этих точек функция [pic] убывает?
[pic]
5.19. На рисунке изображен график функции [pic] и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
5.20.
[pic]
5.21. На рисунке изображен график функции [pic] и отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
[pic]
