Задачи по теме Углы при подготовке к ОГЭ

Структурирование геометрических задач по теме "Углы"при подготовке выпускников к ОГЭ

Мухаметьянова И.М.

МКОУ "СОШ №2" г.Ревды Свердловской области

Задания подготовлены для обучающихся 9 классов из «группы риска» с целью подготовки к ОГЭ по теме «Углы».

Задачи, включенные в этот раздел, направлены на отработку следующих умений:

• Распознавать геометрические фигуры (углы, медианы треугольника, биссектрисы треугольника, высоты треугольника); различать их. взаимное расположение, изображать их, выполнять чертежи по условию задачи.

• Вычислять значения, используя определения и свойства.

• Проводить необходимые доказательные рассуждения при решении задач.

Теоретический материал

Сумма углов треугольника

Теорема 1. Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°.

Проведем через вершину В прямую а, параллельную стороне АС.

Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 — накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому 
∠ 4 = ∠ 1, ∠ 5 = ∠ 3. (1)

Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т. е. ∠ 4 + ∠ 2 + ∠ 5 = 180°.

Отсюда, учитывая равенства (1), получаем: 
∠ l + ∠ 2 + ∠ 3 = 180°, или ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°.

Теорема доказана.

Следствие 1. 

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Следствие 2. 

В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°.

Следствие 3. 

В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.

Следствие 4. 

В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

Следствие 5. 

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство. Из равенств ∠ 4 + ∠ 3 = 180° и ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180° получаем, что ∠ 4 = ∠ 1 + ∠ 2.

Виды треугольников

• если c² < a² + b², то треугольник — остроугольный

• если c² = a² + b², то треугольник — прямоугольный

• если c² > a² + b², то треугольник — тупоугольный

Практическая часть

Тренажер № 1 по теме:

«Сумма углов треугольника. Внешний угол».

1. В треугольнике ABC AC=BC. Внешний угол при вершине B равен 146˚. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

2. Один острый угол прямоугольного треугольника на 79˚ больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

3. В треугольнике ABC AC=BC. Внешний угол при вершине B равен 125˚. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

4. Один острый угол прямоугольного треугольника в 9 раз больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

5. В [pic] [pic] [pic] треугольнике ABC AC=BC. Внешний угол при вершине B равен 134˚. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах. [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

6. В треугольнике АВС AD – биссектриса, угол С равен 66˚, угол CAD равен 150˚. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

7. В треугольнике АВС угол А равен 40˚, внешний угол при вершине В равен 102˚. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.

8. В треугольнике ABC угол A равен 52˚, угол С равен 34˚. Найдите угол CBD. Ответ дайте в градусах.

9. В треугольнике АВС AD - биссектриса, угол С равен 50˚, угол CAD равен 28˚. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

10. В треугольнике ABC АВ=ВС. Внешний угол при вершине B равен 126˚. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Тренажер № 2 по теме:

«Сумма углов треугольника. Внешний угол».

1. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 138˚, угол ABC равен 131˚. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

2. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 138˚, угол ACВ равен 31˚. Найдите угол ABС. Ответ дайте в градусах.

3. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 58˚, угол ABC равен 31˚. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

4. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 78˚, угол ABC равен 52˚. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

5. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 109˚, угол ABC равен 81˚. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

6. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол LAC равен 24 ˚, угол ABC равен 91˚. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Самостоятельная работа по теме:

«Сумма углов треугольника. Внешний угол».

1. В треугольнике [pic] стороны [pic] и [pic] равны. Внешний угол при вершине [pic] равен 130˚. Найдите угол [pic] . Ответ дайте в градусах.

2. В треугольнике ABC угол A равен 33˚, угол С равен 57˚. Найдите угол CBD. Ответ дайте в градусах. [pic]

3. В треугольнике ABC АВ=ВС. Внешний угол при вершине B равен 138˚. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах

4. Один острый угол прямоугольного треугольника на 54˚ меньше другого. Найти больший угол. Ответ дайте в градусах. [pic]

5. В треугольнике АВС AD – биссектриса, угол С равен 68⁰, угол CAD равен 14⁰. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах. [pic]

Тренажер № 3 по теме:

«Смежные и вертикальные углы»

1

Р [pic] ис.1

На рисунке 1 изображёны углы. Поставьте в соответствие углы и их названия:

а прямой

б тупой

в острый

г развёрнутый

22

Продолжите предложения:

1. Два угла называются вертикальными, если…

а) у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми;

б) стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого;

в) они равны;

г) их сумма равна 180.

33

Продолжите предложения:

1. Два угла называются смежными, если…

а) у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми;

б) стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого;

в) они равны;

г) их сумма равна 180.

44

Сумма углов равна 180, если они…

а) являются смежными; б) являются вертикальными;

в) равны смежным углам; г) являются развернутыми.

5

5

Рис. 2

[pic]

66

На рисунке 2 вертикальные углы изображены под буквой:

1) а 2) б 3) в 4) г

7

7

На рисунке №2 смежные углы изображены под буквой:

1) а 2) б 3) в 4) г

88

Дорисуйте угол, который будет вертикальным углу АВС

[pic]

99

Д [pic] орисуйте угол, который будет смежным с углом МРК

110

Начертите две пересекающиеся прямые. Обозначьте номерами 1,2,3,4 четыре получившихся неразвёрнутых угла. Назовите все пары смежных и все пары вертикальных углов.

111

Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, - прямой. Тогда остальные углы будут

а) острые;

б) тупые;

в) прямые;

г) острый, тупой и прямой.

112

Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, - острый. Тогда остальные углы будут

а) острые;

б) тупые;

в) прямые;

г) острый, тупой и прямой.

113

П [pic] рямые а и с пересекаются. Выберите верные утверждения:

а) углы 1 и 3 – вертикальные;

б) углы 4 и 1 – вертикальные и их сумма равна 180^о;

в) углы 2 и 4 равны, так как они вертикальные;

г) углы 2 и 3 – смежные и их сумма равна 180^о.

114

Начертите две пересекающиеся прямые AB и CD в точке О.

1. AOC и … вертикальные углы.

а) COB; б) BOD; в) DOA; г) нет правильного ответа.

2. AOC и … смежные углы.

а) COB; б) BOD; в) DOA; г) нет правильного ответа.

3. AOC и … равны.

а) COB; б) BOD; в) DOA; г) нет правильного ответа.

4. Сумма AOC и … равна 180.

а) COB; б) BOD; в) DOA; г) нет правильного ответа.

115

Углы MNK и KNP являются смежными. Угол MNK равен 127^о. Чему равен смежный с ним угол?

116

Один из смежных углов больше другого на 20^о. Тогда больший из этих углов будет равен _______________

117

Углы АОВ и СОК являются вертикальными. Угол АОВ равен 38^о. Тогда угол СОК равен_________.

118

Из четырёх углов, образованных при пересечении двух прямых, меньший угол равен 40^о. Тогда остальные углы равны:

а) 40^о, 140^о и 140^о

б) 40^о, 60^о и 60^о.

в) 40^о, 120^о и 120^о

Тренажер № 4 по теме:

"Углы"

1. Один из смежных углов на 57⁰ больше другого. Найдите эти углы.

2. Один из смежных углов в 5 раз больше другого. Найдите эти углы.

3. Найдите угол АОЕ, если ОЕ- биссектриса угла АОС, ОD- биссектриса угла СОВ.

4. Найдите угол АВС, если биссектрисы углов АВD и DBC образуют между собой угол 35⁰ .

5. В треугольнике АВС АВ=ВС, угол АВС равен 148⁰ . Найдите угол ВСА.

6. В треугольнике АВС АВ=ВС, угол АВС равен 102⁰ . Найдите угол ВСА.

7. В треугольнике два угла равны 47⁰ и 64⁰. Найдите его третий угол.

8. В треугольнике два угла равны 27⁰ и 79⁰. Найдите его третий угол.

9. В треугольнике два угла равны 37⁰ и 74⁰. Найдите его третий угол.

10. В прямоугольном треугольнике острый угол равен 47⁰. Найдите другой острый угол.

11. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 53⁰. Найдите его другой острый угол.

12. В треугольнике АВС АС=32, медиана ВМ=23. Найдите АМ.

Точки М и N - середины сторон АВ и ВС треугольника АВС, АВ=31, ВС=27, АС=46. Найдите МN.

13. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС внешний угол при вершине С равен 123⁰. Найдите величину угла ВАС. Ответ дайте в градусах.

14. Известно, что в треугольнике ADС AD =АС, угол АСВ равен 166⁰. Найдите угол DСВ.