Построение графика квадратичной функции.
Существует два подхода к изучению данной последовательности построения графика квадратичной функции.
В первом подходе постепенно рассматриваются графики данных частных видов квадратичной функции, а затем ставится вопрос о том, почему рассматривались именно эти виды.
Недостатком такого подхода в том, что учащиеся, выполняя достаточно кропотливую работу по построению графиков частных видов квадратичных функций, не увидят общей цели – получить метод (алгоритм) построения графика квадратичной функции .
Во втором подходе, учащиеся сами придут к учебной задаче: получить метод построения графика квадратичной функции.
У учащихся уже имеется опыт построения графика функции 𝑦=𝑘𝑥; 𝑦=𝑘𝑥+𝑏 по точкам на основе определения понятия «график функции». Такая работа давала возможность узнать свойства графика функции и определить его вид, получить способ построения графика линейной функции и обосновать его.
Как построить график квадратичной функции? Поможет ли предыдущий опыт?
Отвечая на это вопрос, учащимся предлагается на конкретном примере квадратичной функции, самостоятельно составить таблицы значений функции и нанести соответствующие точки на координатную плоскость. Затем они попытаются соединить построенные точки плавной линией. окажется, что графики у учащихся получились различными, и появляется необходимость доказать, что полученная линия является графиком именно данной функции. В итоге обнаруживается, что таблица значений не дает возможность установить вид данной функции. И неясно, сколько и каких точек нужно взять, чтобы представить график данной функции. Вернее всего, нужно искать другой путь построения графика этой функции.
Предлагается обратиться к иным способам построениям графика квадратичной функции. Учащиеся уже знают, что любую квадратичную функцию можно представить в виде , где и 𝑛=𝑦(𝑚).данной функции. Рассмотрим доказательство этого факта.
Теорема. Любую квадратичную функцию можно представить в виде 𝑦=𝑎(𝑥−𝑚)2+𝑛, где и 𝑛=𝑦(𝑚).
[pic]
[pic]
[pic]
Применив данную теорему на заданной квадратичной функции. Учащиеся смогут раскрыть некоторые свойства графика этой функции и построить его. Однако остается нерешенной
«Каким же способом построить график любой квадратичной функции?».
Изучение квадратичной функции ведется поэтапно: , , ,,,
При изучение квадратичной функции существенно расширяется по сравнению с линейной функцией круг функциональных свойств. Так как областью определения квадратичной функции является множество действительных чисел, то о ней пока в явном виде не говорится. Но уже множество значений различных квадратичных функций может быть разным, но всегда числовым лучом.
Рассматриваются свойства четности и нечетности, возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, нули функции, наибольшее и наименьшее значения.
График функции
Учащиеся знакомятся с графиком функции . Сначала предлагается повторить определение функции как зависимой переменной, способы задания функции, нахождение значений функций при конкретных значении линейной функции.
Затем учащиеся вместе с учителем должны тщательно поработать над построением графика.
[pic]
[pic] [pic]
[pic]
На этом уроке по данным таблицы выполнить построение параболы на принесенной миллиметровой бумаге. После построения графика функций .
Введем понятия «ось симметрии параболы»; «вершина параболы»; «ветви параболы».
Итогом работы является сравнение свойств графиков и
Построение графика функции .
Будем в данном разделе рассматривать, что представляет из себя график функции
при других значениях a?
Выполним задание № 1 предложенное в учебнике
[pic]
[pic]
[pic]
Входе выполнения задания № 1 учащиеся строят графики функций, самостоятельно анализирую свойства этих графиков. Учащиеся знакомятся с понятием сжатия и растяжения графика.
Затем переходим к выполнению задания № 2, предлагается заполнить таблицу свойств функции. Это задание желательно проводить в паре.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Для за крепления данной темы предлагается решить задание № 3
Задание 3. Выберите из функций те, графики которых лежат в нижней полуплоскости. Постройте графики этих функций:
2) 3) 4) .
График квадратичной функции
Рассмотрим ещё один частный вид квадратичной функции: (m=0, n=0).
Попытайтесь ответить на следующие вопросы:
1. Каковы свойства функции ? Как выглядит график этой функции?
2. Есть ли что-то общее между графиками функций и и чем эти графики друг от друга отличаются?
Постарайтесь разработать метод построения графика функции .
Выполняя здание № 3 ответим на все поставленные вопросы.
Задание 1. Постройте по точкам в одной и той же системе координат графики функций и . Сравните графики.
1. Что можно сказать о связи между графиками функций и ?
2. В чём заключается особенность расположения графика функции по сравнению с графиком функции ?
3. Продолжите ряд соответствий: O(0; 0)→O(0; 3); A(1; 2)→A(1; 5); B(2; 8)→B(2; 11); . . . . . . M(x; y)→M(x; ... ).
4. Можно ли график функции получить, преобразовав график функции?
5. Можно ли утверждать, что графиком функции является парабола? Если да, то каковы её вершина и ось симметрии?
[pic]
Отсюда формулируется первый алгоритм построения графика функции, нужно совершить параллельный перенос параболы , указав координаты точки, в которую переходит вершина параболы при данном параллельном переносе, то есть указать координату вершины параболы .
Рассмотрим текст, который помогает учащимся прийти к новому алгоритму построения параболы .
Построение графика функции .
Построение графика функции
[pic]
[pic]
[pic]
1. Строим систему координат xOy.
2. Строим новую систему координат а) строим начало новой системы координат точку - вершину параболы ;
б) проводим прямуюпараллельную оси ; выбираем на этой прямой направление и единичный отрезок, такие же, как на оси;
в) в качестве прямой берем прямую ; выбираем на ней направление и единичный отрезок, такие же, как на оси .
3. Строим параболу в новой системе координат. Это и есть парабола в системе координат .
Построение графика квадратичной функции
Для получения алгоритма построения графика функции учащимся предлагается провести работу, аналогичную той, которая привела к алгоритму построения графика функции . Поэтому его изучение можно также организовать в форме лабораторной работы. Отличие заключается в том, что у учащихся продолжается самостоятельная работа по получению алгоритма построения графика функции
переносом системы координат. Необходимо обсудить, как они понимают задание 2: «Проанализируйте …аналогично…» и попросить их составить соответствующий учебный текст (приложение 1, стр. 108-109).
Умение создавать учебный текст – одно из важнейших универсальных учебных действий. Учащиеся должны отметить общность в алгоритмах построения графиков функций. Данное задание направлено на формирование когнитивной схемы процедуры построения графика квадратичной функции.
Задание. Верны ли следующие утверждения:
а) вершиной параболы является точка M(1;0), а вершиной параболы — точка P(2;0);
б) ось симметрии графика квадратичной функции имеет уравнение
;
в) график квадратичной функции симметричен графику функции относительно оси Ox;
г) наименьшее значение квадратичной функции равно 0 и ветви параболы—её графика— направлены вверх;
д) графики функций и симметричны относительно оси ординат?
Решение:
а) Найдем вершины парабол , по формулам:
[pic]
,отсюда следует точка М(1; 0 ) является вершиной параболы.
,
, значит точка Р(2; 0) является вершиной параболы.
Значит первое утверждение верно.
б) Найдем ось симметрии графика квадратичной функции ,
Ось симметрии параболы проходит через вершину, для этого будем находить вершину по формулам:
[pic]
, , отсюда следует ось симметрии графика квадратичной функции имеет уравнение
г)
Ветви этой параболы направлены вверх, так как а > 0. Поэтому существует наименьшее значение квадратичной функции.
Что бы найти наименьшее значение квадратичной функции , нужно найти вершину параболы
Наименьше значение квадратичной функции .
Задание. Установите соответствие между графиками квадратичных функций и их аналитическими заданиями:
[pic]
[pic]
Решение:
Рассмотрим первую квадратичную функцию
Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент а <0.
Найдем вершину параболы по формулам:
[pic]
Вершина параболы находится в точке с координатами (0; -2,5), отсюда следует, что графиком квадратичной функции будет график под буквой б.
Вторая квадратичная функция
Ветви этой квадратично функции направлены вверх, так как коэффициент а >0.
Найдем вершину
Вершина параболы находится в точке с координатами (0; ), отсюда следует, что графиком квадратичной функции будет график под буквой a.
Третья квадратичная функция
Ветви параболы направлены вниз, так как а <0.
Вершина функции находится в точке (0; 5), отсюда следует графиком функции является график под буквой в.
Последняя квадратичная функция
Ветви этой параболы направлены вниз, так как а равен -2.
Вершиной является точка с координатами (0; 3), следует данной квадратичной функции соответствует график под буквой г.
Построение графика квадратичной функции
Рассмотрим пример, направленный на умение строить график функции
[pic]
[pic]
Задание. На рис. изображены графики квадратичных функций. Задайте эти функции аналитически.
1) Например, рассмотрим график l1. Зададим соответствующую квадратичную функцию в виде . Вершина параболы находится в точке , значит, m = 3, n = 0; функция принимает вид . Подставив в уравнение
координаты какой-либо точки графика, определим коэффициент a. Например, возьмём точку P(1;2) графика. Подстановка её координат в уравнение приводит к равенству . Отсюда следует, что 2 = 4a, то есть a = 1 2 .
[pic]
Следовательно, соответствующая квадратичная функция задаётся формулой
2) Рассмотрим график l2. Зададим соответствующую квадратичную функцию в виде . Вершина параболы находится в точке , значит, m = 0, n = 6; функция принимает вид . Подставив в уравнение
координаты какой-либо точки графика, определим коэффициент a. Например, возьмём точку P(1;2) графика. Подстановка её координат в уравнение приводит к равенству . Отсюда следует, что 2 = a + 6, то есть a = -4.
Следовательно, соответствующая квадратичная функция задаётся формулой
3) Рассмотрим график l3. Зададим соответствующую квадратичную функцию в виде . Вершина параболы находится в точке , значит, m = 3, n = 8; функция принимает вид . Подставив в уравнение
координаты какой-либо точки графика, определим коэффициент a. Например, возьмём точку P(1;5) графика. Подстановка её координат в уравнение приводит к равенству . Отсюда следует, что -3 =4 a , то есть a = -.
Следовательно, соответствующая квадратичная функция задаётся формулой
4) Рассмотрим график l4. Зададим соответствующую квадратичную функцию в виде . Вершина параболы находится в точке , значит, m = 6, n = 2; функция принимает вид . Подставив в уравнение
координаты какой-либо точки графика, определим коэффициент a. Например, возьмём точку P(8;1) графика. Подстановка её координат в уравнение приводит к равенству . Отсюда следует, что 9 =2 a , то есть a = .
Следовательно, соответствующая квадратичная функция задаётся формулой
Построение графика квадратичной функции .
Для разработки алгоритма построения графика функции , нужно выполнить задание
[pic]
[pic]
[pic]
Алгоритм построения графика квадратичной функции общего вида реализуется на примере функции , то есть той функции, с которой при проблемном изложении учебного материала началось обсуждение способов построения. Одним из важнейших шагов алгоритма построения графика квадратичной функции является нахождение координат вершины параболы. Этому посвящено задание
[pic]
Учащимся предлагается обобщить опыт нахождения вершины параболы и составить рассказ о способах её нахождения. Данная учебная деятельность является важной с точки зрения требований ФГОС. Учащиеся должны уметь отвечать на вопросы: «Как выглядит график квадратичной функции? Как его построить?». Полезно провести эту работу в письменном виде с последующим обсуждением. К заданиям, формирующим понятие «Функция» относятся следующие: строить графики функций; описывать свойства квадратичной функции; осуществлять перевод информации с одного языка её представления на другой; устанавливать связи между понятиями «квадратное уравнение» и «квадратичная функция», «квадратичная функция» и «неравенство второй степени» (см. приложение 2). Одним из важный умений является умение осуществлять обратимый перевод информации со словесно-символического языка на язык графиков.
