Факультативный курс с использованием ИКТ по теме: «Квадратные уравнения»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ КУЙБЫШЕВСКОГО РАЙОНА

НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ

«КАМИНСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»

Факультативный курс с использованием ИКТ

по теме: «Квадратные уравнения»

Составитель: Ольга Федоровна Резник

учитель математики

первой квалификационной категории

с. Кама

2015

2.1. Пояснительная записка

Во всех современных школьных учебниках алгебры и термин, и объем понятия квадратного уравнения одинаковы. Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений и неравенств. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений. В значительной мере именно на материале этой темы осуществляется синтез материала, относящегося к уравнениям. Особенно это заметно в старших классах, где требуется применять способы решения квадратного уравнения в некоторых математических задачах, и при сдаче экзаменов в 9 классе. Поэтому данный курс предназначен для учащихся 9 класса.

Предложенный факультативный курс по теме: «Квадратные уравнения» поддерживается набором разработанных презентаций. Использование презентации на уроке есть применение наглядного метода иллюстраций во взаимосвязи с другими методами, позволяющими развивать мышление учащихся и активизировать их познавательную деятельность. Иллюстрации особенно необходимы тогда, когда объекты недоступны непосредственному наблюдению, а слово учителя оказывается недостаточным, чтобы дать представление об изучаемом объекте или явлении. Информация, размещенная на слайде и появляющаяся в нужные моменты объяснения, проведения опытов, экспериментов, доказательств и т.д. заставляет учащихся пройти через все этапы мышления, использовать различные мыслительные операции и активизировать их познавательную деятельность

По сравнению с традиционной формой ведения урока, заставляющей учителя постоянно обращаться к мелу и доске, использование таких презентаций высвобождает большое количество времени, которое можно употребить для дополнительного объяснения материала.

2.2. Тематическое планирование

Тема

Дидактический материал

часы

1

Квадратные уравнения

Презентация 1

1

2

Решение квадратных уравнений. Теорема Виета»

Презентация 2

2

3

Свойства квадратных уравнений

Презентация 3

1

4

Квадратные уравнения. Методы решения

Презентация 4

2

5

Устные методы решения квадратных уравнений

Презентация 5

1

6

Урок КВН квадратные уравнения

Презентация 1

2

2.3. Материал к занятиям

Занятие №1 тема «Квадратные уравнения»

Тип урока: объяснение нового материала.

Цель урока:

познакомить учащихся с формулами для решения квадратных уравнений и научить применять их для решения квадратных уравнений.

Образовательные: обобщение знаний учащихся, полученные при изучении темы.

Развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания.

Воспитательные: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры, развивать интерес к предмету.

Оборудование: 10 ЭВМ рабочих станций, 1 ЭВМ имеет колонки и CD-ROM, электронный учебник “Уроки алгебры Кирилла и Мефодия. 7–8 класс”, мультимедийный проектор.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Проверка готовности к уроку. Сообщение темы урока.

II. Повторение

– Какие уравнения называются неполными?

Для решения неполных квадратных уравнений, выполнить задание с использованием компьютера, где предстоит решить 5 уравнений. Можно воспользоваться подсказкой, но тогда потеряется по одному очку за каждую подсказку, или, в крайнем случае, готовым решением, но тогда за задание учащийся не получаете ни одного очка.

Загружается на каждом рабочем компьютере см. приложение №1.

Задание 1

1. Назовите коэффициенты уравнения 5 –  х² + 3х = 0 (2)

2. Приведите уравнение х² + 4 = (х – 2)(2х + 1) к виду ах² + bх + с = 0 (6)

3. Решить неполное уравнение –3х² + 5х = 0 (4)

4. Решить неполное уравнение –3х²+ 48 = 0 (5)

5. Сколько корней имеет неполное уравнение 3,2х² + 7,1 = 0? (3)

Критерии оценивания работы:

20 баллов–отлично;

18-19 баллов – хорошо;

Менее 18 баллов – нужно быть внимательнее.

Повторение способов решения полных квадратных уравнений.

(Выделение полного квадрата, разложение на множители и графический)

III. Объяснение нового материала

При графическом решении уравнения по графику можно установить только приближенные значения корней х1 и х2. Есть еще алгебраический способ решения квадратных уравнений.

C помощью мультимедийного проектора объяснительная часть урока на диске “Уроки алгебры. 7–8 класс” проецируется на экран. Учащиеся, прослушивая материал, заполняют схему самостоятельно каждый.

Задание 2

Слушая внимательно диалог мультипликационных виртуальных героев, дети заполняют схему карандашом..

Проверка работы с помощью готовых карточек.

С помощью магнитов один из учеников наклеивает готовые карточки в необходимом порядке на заготовленную на доске схему.

Схема в готовом виде:

За заполнение схемы выставляются очки:

Правильное – 5 очков;

Одна ошибка – 4 очка;

Две ошибки – 3 очка.

Решение уравнение 3х² + 8х – 11 + 0 вместе с учителем у доски. Учитель показывает образец оформления.

Решить уравнение

Задание 3 9х² – 6х + 1 = 0 (D = 0, х = 1/3)

Задание 4 – 2х² + х – 3 = 0 (D < 0, корней нет)

IV. Первичное закрепление

Игра “Домино”.

Задание 5

Решить 4 уравнения и для каждого уравнения подобрать карточку с соответственными корнями этого уравнения. Сложить цепочку.

Ребята решают в парах.

1 вариант..

2 вариант.

Перевернуть карточки. Должно получиться слово, если все сделано правильно. По порядку читаются слова.

На каждой карточке на обратной стороне написано слово из четверостишия. В результате получается фраза:

Не всегда уравненья
Разрешают сомненья,
Но итогом сомненья
Может быть озаренье.

А.Н.Колмогоров

V. Итог урока

Оценки за урок поставить наиболее активным, быстро и правильно справившимся с заданиями.

Занятие №2 тема «Решение квадратных уравнений. Теорема Виета»

Цель урока:

Отработать умения и навыки решения квадратных уравнений с использованием формул корней.

Образовательные: закрепление и обобщение знаний учащихся, полученные при изучении темы, отработка способов решения квадратных уравнений, выработка умения выбрать нужный, рациональный способ решения.

Развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, умений сравнивать и обобщать.

Воспитательные: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры. развивать: интерес предмету.

Оборудование к уроку:

Персональные компьютеры

Презентация « Квадратные уравнения» См. приложение №2

Программное обеспечение: Microsoft Office (Microsoft Word, Power Point)

Тест “Квадратные уравнения. Теорема Виета”.

Ход урока

Организационный момент. Слайд №1

На уроке повторяется и закрепляется знание и умение решения квадратных уравнений различными способами. Каждый должен уметь правильно, быстро и рационально решать квадратные уравнения. Эта тема очень важная в курсе математики, она является первой ступенькой в изучении более сложного материала.

Устная работа.

Закончите предложение…

1. Квадратным уравнением называется уравнение вида…

2. Квадратное уравнение называется приведенным, если…

3. Назовите формулу дискриминанта.

4. Сколько корней могут иметь квадратные уравнения?

5. Отчего зависит количество корней квадратного уравнения?

6. Можно ли назвать уравнения п.8 квадратными?

7. Назовите формулы решения полных квадратных уравнений. Целесообразно ли по этим формулам решать неполные квадратные уравнения?

8. Назовите формулу корней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является четным числом.

Сформулируйте теорему Виета.

Ответ: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведения корней равно свободному члену.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые написаны в 1202 году. Вывод формулы решения квадратного уравнения встречается у французского математика Ф. Виета. Франсуа Виет родился в провинции Франции в 1540 году. Виет имел возможность получить хорошее образование и относился к обучению очень серьезно. Став юристом, он продолжал заниматься математикой, астрономией и космологией. В 1591 году Виет ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней формулами. Среди открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений.

Слайд №2

По праву достойна в стихах быть воспета.
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого,
Умножишь ты корни – и дробь уж готова.
В числителе С, в знаменателе А.
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда?
В числителе В, в знаменателе А.

А все могло быть по-другому. Это замечательная теорема могла быть открыта совсем другим талантливым человеком. А знаете почему?

Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись (шифр), которая все время изменялась и дополнялась. Благодаря этому шифру воинствующая и сильная в то время Испания могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта переписка оставалась неразгаданной. После бесплодных попыток найти ключ к шифру король обратился к Виету. Известно, что Виет, две недели подряд дни и ночи просидев за работой, все же нашел ключ к испанскому шифру. После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов уже не секрет и что виновник его расшифровки – Виет. Будучи уверенными, в невозможности разгадать способ тайнописи людьми, они обвинили Францию перед Папой Римским и инквизицией в кознях дьявола, а Виета обвинили, что он был в союзе с дьяволом и приговорили его к сожжению на костре. К счастью для науки, он не был выдан инквизиции.

Задание 6

Математический диктант

1. Укажите коэффициенты a,b и с квадратного уравнения Слайд №3

а) ,

б) ,

в) .

2. Сколько корней имеет квадратное уравнение Слайд №4

а) ,

б) ,

в) ?

3. Запишите формулу корней квадратного уравнения.

Вопрос. Нужно ли было вычислять дискриминант в уравнении 2а для выполнения задания? (Нет, потому что свободный член этого уравнения отрицателен, при а >0, следовательно, дискриминант положителен).

Обратите внимание на уравнения 1в и 2б. чем они отличаются от остальных уравнений? (Старший коэффициент в каждом из этих уравнений равен 1). Такие уравнения имеют свое название. Какое? Узнайте это из учебника.

Вопрос. Какие уравнения называются приведенными? (Уравнения вида ).

Вопрос. Можно ли обычное квадратное уравнение сделать приведенным?

Задание 7

Самостоятельная работа с проверкой

Слайд №5

1вариант

2 вариант

Найдите сумму и произведение корней уравнения.

Вопрос. Можем ли мы сделать предположение о связи между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами?

Но это нужно доказать. Может быть, не для всех приведенных уравнений эти правила справедливы.

Доказательство теоремы Виета. (см. призентацию слайды № 6-8

Вопрос. Можно ли определить теорему Виета для неприведенного квадратного уравнения?

Вопрос. Справедлива ли теорема Виета для приведенных уравнений, у которых

<0?

Стихотворение

(К. Вейерштрасс сказал, что нельзя быть математиком, не будучи поэтом в душе).

Слайд №9

Теорема Виета. Нет формулы важней

Для приведенного уравнения:

P – это сумма его корней,

q – его корней произведение.

Применение теоремы Виета

В. В. Маяковский: «Если звезды зажигают, значит, это кому-нибудь нужно». Зачем нужна теорема Виета?

С ее помощью можно:

- найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его;

- зная один из корней найти другой;

- определить знаки корней уравнения;

- подобрать корни уравнения, не решая его.

Правило 1. Если , то один из корней уравнения равен 1. второй легко подсчитать с помощью теоремы Виета.

Слайд № 10

Задание 8

Мини-викторина

1. Назовите год 850-летия Москвы (1997).

2. Назовите год 200-летия Пушкина (1999).

3. Назовите максимально возможное количество корней квадратного уравнения (2)

Значит, один из корней уравнения равен 1, другой равен – 1999/1997.

Правило 2. Если , то один из корней уравнения равен 1.

Задание 9

Тест (по карточкам, с проверкой)

Задание 5. Выпишите цифры, стоящие возле правильных ответов. (в результате должны получиться годы жизни Франсуа Виета: 1540-1603).

1. Выберите среди квадратных уравнений приведенное.

2. Для уравнения приведенным является

3. Сумма корней уравнения равна

-6 (2),

-5 (3),

5(4).

4.Произведение корней уравнения равно

-1 (2),

2 (1),

-2 (0).

5. Какое из уравнений имеет корни противоположных знаков?

Слайд №11

Итог урока

Стихотворение

Теорему Виета тебе

Я запомнить легко помогу:

Сумма корней –p,

Произведение q.

Занятие №3 тема «Свойства квадратных уравнений»

Тип урока: Урок систематизации знаний.

Углубленное изучение свойств квадратных уравнений”.

Цель урока:

Обобщение знаний учащихся, умений и навыков по решению квадратных уравнений различного вида разными способами. Закрепить навыки решения квадратных уравнений, способствовать выработке умений при решении задач.

Образовательные: закрепление и обобщение знаний учащихся, полученные при изучении темы; отработка способов решения квадратных уравнений, выработка умения выбрать нужный, рациональный способ решения.

Развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, умений сравнивать и обобщать.

Воспитательные: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры. развивать: интерес предмету

Оборудование к уроку:

Компьютер, мультимедийный проектор.

Презентация в Power Point. См. приложение № 3

Тест “Квадратные уравнения. Теорема Виета”.

Карточки с индивидуальными заданиями для учащихся.

Ход урока

I. Организационный момент. Слайд №1-2

Актуализация знаний учащихся.

II. Повторение пройденного материала.

Задание 10

1. Решить уравнение 7х²-9х+2=0. Слайд №3.

а) Класс решает самостоятельно, 1 ученик с обратной стороны доски.

б) Для сильных учеников карточки:

Вариант 1.

Вариант 2.

2. Устно (Задание на определение вида уравнения).

Ребята, здесь вы видите уравнения определенные по какому-то признаку.

Как вы думаете, какое из уравнений каждой группы является лишним. Слайд №4.

А. 3)- лишнее, т.к. это полное квадратное уравнение, а 1), 2), 4) – неполные квадратные уравнения.

Б. 2) – лишнее, т.к. это уравнение общего вида, а 1), 3), 4) – приведенные квадратные уравнения

Вопрос: Вспомнить определение:

неполного квадратного уравнения;

приведенного квадратного уравнения.

Вопрос: Как можно решить приведенное квадратное уравнение?

Ответ: По формуле корней или по теореме Виета.

Вопрос: Сформулировать теорему Виета. Слайд №5.

Вопрос: Как используется теорема Виета при решении квадратного уравнения общего вида ax²+bx+c=0?

Ответ: Заменить это уравнение равносильным ему приведенным квадратным уравнением.

Задание 11

3. Дано уравнение x²-6x+5=0 Слайд №6.

Вопрос: Не решая уравнения, найти:

1) сумму корней; 6

2) произведение корней; 5

3) корни данного уравнения; 1; 5

Класс выполняет задание в тетрадях самостоятельно с последующей проверкой (объяснить, как подбираются корни).

Задание 12

4. Найти сумму и произведение корней следующих уравнений.

Слайд №7.

Ребята записывают в тетрадях только ответы (затем проверяем ответы с места)

III. Изучение нового свойства квадратных уравнений.

Вопрос: Ребята, вспомните способы решения квадратных уравнений.

Ответ: Слайд №8.

1) выделение квадрата двучлена;

2) по формулам корней;

3) с помощью теоремы Виета.

Сегодня мы познакомимся еще с одним способом решения, который позволит устно находить корни квадратных уравнений.

При решении некоторых квадратных уравнений, оказывается, немаловажную роль играет сумма коэффициентов.

Рассмотрим это на уравнениях.

Задание 13

Заполним следующую таблицу. Слайд №9

Учащиеся отвечают, чему равны корни квадратных уравнений и сумма коэффициентов.

Проверка. Слайд №10.

Ребята, посмотрите на эти уравнения и их корни. Попробуйте найти закономерность (у каждого на парте лист с памяткой).

в корнях этих уравнений;

в соответствии между отдельными коэффициентами и корнями;

в сумме коэффициентов.

Ученики отвечают, что они увидели:

один из корней равен 1;

второй равен q или;

сумма коэффициентов равна 0.

Задание 14

Сформулируйте правило. Слайд №11.

Учащимся предлагается решить уже известные уравнения с помощью этого правила. Слайд №12.

Задание 15

IV. Тест. Слайд №13.

V. Итог урока.

Занятие № 4 тема «Квадратные уравнения. Методы решения»

Цели урока:

Образовательные обобщение и систематизация знаний по теме,

ликвидация пробелов в знаниях учащихся, установление внутри предметных связей изученной темы с другими темами курса алгебры.

Развивающие расширение кругозора учащихся , пополнение словарного запаса, развитие мышления, внимания, умения учиться

Воспитание общей культуры

Оборудование: PC, проектор, экран; у каждого ученика: конспект, пригласительный билет

Организационный момент.

- Приветствие учащихся; проверка готовности к уроку.

- Сообщение темы урока: “Квадратные уравнения. Методы решения”.

- Совместное формулирование цели урока. Слайд №1

Сегодня у нас несколько необычный урок – урок-презентация методов решения квадратных уравнений. Как вы думаете, как можно сформулировать цель нашего урока исходя из его темы?

(Речь идет о методах, значит их много (больше одного), надо каждый вспомнить и проиллюстрировать примером)

Иными словами обобщить и систематизировать весь предшествующий опыт решения квадратных уравнений. А зачем нам это надо?

(Для возможности выбора рационального пути решения).

Итак, наша цель: обобщить опыт решения квадратных уравнений, научиться выбирать рациональный путь решения.

Актуализация знаний.

Прежде всего, вспомним, какие уравнения называются квадратными.

(Уравнение вида , где х - переменная, a,b,c – числа , называется квадратным.)

Квадратное уравнение, записанное в таком виде, является стандартным видом уравнения. Как называются числа a, b, c ?

(а – старший коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член)

Вспомним, как традиционно решаются квадратные уравнения разных видов.(см презентацию «Квадратные уравнения» )

Итак, все необходимые, азбучные методы решения повторили, и я приглашаю вас на презентацию иных методов решения квадратных уравнений. И для начала заполним пригласительный билет, лежащий у каждого из вас на столе. Слайд №2

Задание 16

Подписать и заполняют таблицу

Проверим. Возьмите в руки простой карандаш и сверим ответы.

Слайд №3

Поднимите руки те, кто безошибочно справились с работой. Передайте свои заполненные билеты вперед.

Презентация специальных методов.

Помимо традиционных методов решения квадратных уравнений есть еще специальные и общие методы. Рассмотрим каждый из специальных методов в отдельности. И оценим его “перспективы”.

Метод выделения квадрата двучлена. Слайд №4

Цель: Привести уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению.

В этом нам помогут формулы сокращенного умножения, а именно, квадратов суммы и разности:

Решим уравнение методом выделения квадрата двучлена.

или

Ответ: 2;4.

Замечание: метод применим для любых квадратных уравнений, но не всегда удобен в использовании. Используется для доказательства формулы корней квадратного уравнения.

(Обратить внимание на возможность пойти иным путем, применяя формулу разности квадратов).

Метод “переброски” старшего коэффициента

Слайд №4

Суть метода состоит в то, что корни квадратных уравнений

и

связаны соотношениями:

и

В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение, а приведенное y²+by+ac=0, которое получается из данного “переброской” коэффициента а, а затем разделить найденные корни на а для нахождения корней исходного уравнения.

Пример: решите уравнение

2х²-9х-5=0

заменим приведенным квадратным уравнением с “переброской” коэффициента а

( D>0 ), по теореме, обратной теореме Виета, подбором найдем корни

вернемся к корням исходного уравнения

,

Ответ: 5; -0,5

Замечание: метод хорош для квадратных уравнений с “удобными” коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.

Следующие два метода также применимы при определенных условиях и позволяют избежать громоздких вычислений. Слайд №4

Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен

Пример: решите уравнение

157х²+20х-177=0

a = 157, b = 20, c = -177

a + b+ c =157+20-177=0

x1 = 1,

Ответ: 1;

Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен -1, а второй по теореме Виета равен

Пример: решите уравнение

203х²+220х+17=0

a = 203, b = 220, c = 17

a + c = 203 + 17 = 220 = b

х1 = -1,

Ответ: -1;

Вывод: при решении квадратного уравнения стандартного вида полезно сначала проверить являются ли числа 1 и -1 корнями уравнения.

Однако, при выборе пути решения квадратного уравнения следует помнить, что помимо специальных методов возможно применение и общих методов решения уравнений. Слайд №8

К таким методам относятся:

Разложение на множители;

Введение новой переменной;

Графический способ.

Метод разложения на множители. Слайд №8

Цель: Привести квадратное уравнение общего вида к виду А(х)·В(х)=0, где А(х) и В(х) – многочлены относительно х.

Способы:

Вынесение общего множителя за скобки;

Использование формул сокращенного умножения;

Способ группировки.

Пример: решите уравнение

3х²+2х-1=0

произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, или когда оба равны нулю.

или

Ответ: -1;.

Метод введения новой переменной Слайд №8

Умение удачно ввести новую переменную – важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.

Пример: решите уравнение

(

Пусть: t = 5х + 3

Произведем замену переменной

(Устно проверим условие D > 0) по теореме, обратной теореме Виета

t1 = 1, t2 = 2

Произведем обратную замену и вернемся к переменной х

Если t = 1, то

Если t = 2, то

Ответ: -0,4; -0,2

Вывод: при решении уравнения не следует торопиться выполнять преобразования. Посмотрите, нельзя ли записать уравнение проще, введя новую переменную.

И, наконец, наиболее “зрелищный” метод.

Графический метод. Слайд №8

Для решения уравнения f(x) = g(x) необходимо построить графики функций y = f(x),

y = g(x) и найти точки их пересечения; абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения.

Вспомним применение этого метода при решении квадратного уравнения:

 (Устно обсудить области определения )

Построим график функции

Графиком является парабола, “ветви” которой направлены вверх (0;0) – вершина параболы график симметричен относительно оси ординат

1

2

3

Y

1

4

9

Построим график функции y = x + 2

Линейная функция. Графиком является прямая.

0

-2

Y

2

0

 Точки пересечения: А(-1;1) и В(2;4)

Ответ: -1;2

Применяя графический метод в данном случае мы нашли точное значение корней, но так бывает не всегда. Однако, графический метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.

Историческая справка

Посмотрите на многообразие методов решения. Как, когда, сразу ли появилось такое многообразие? Как много вопросов…

Безусловно, человечество “додумалось” до всего не сразу и в одночасье. Для этого потребовались долгие годы и даже столетия.

Обратимся к историческому путеводителю.

Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными относятся во второму тысячелетию до н.э. Это эпоха расцвета Вавилонии и Древнего Египта.

Первое тысячелетие н.э. – Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат “Арифметика” содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате “Алгебра” классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь.

Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению.

И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым заложил основы буквенной алгебры.

Более подробно с этапами развития методов решения квадратных уравнений, а так же личностью Виета и его вклада в развитие алгебры мы сможем познакомиться на конференции.

Подведение итогов.

Итак, подведем итог.

Решение квадратных уравнений, возможно, осуществлять разными методами. Для квадратных уравнений применимы не только традиционные и специальные методы решения, но и общие методы решения уравнений.

Сегодня мы обобщили опыт решения квадратных уравнений и посмотрим, как научились выбирать наиболее рациональный метод решения.

Задание 17

Попробуйте расшифровать высказывание из копилки “Золотых мыслей”. См. приложение №1.

Для этого проанализируйте представленные уравнения, выберите для каждого более рациональный метод решения и укажите номер этого метода. Затем согласно ключу расставьте в нижней таблице слоги и прочтите высказывание. Слайд №13

Итак, получили высказывание Ян Амос Коменского: “Учиться нелегко, но интересно”.

Я думаю, эти слова как нельзя, кстати, подходят для окончания нашей сегодняшней презентации.

Занятие № 5 тема «Устные методы решения квадратных уравнений».

Для экономии времени при решении квадратных уравнений используем несколько способов: теорема Виета, “метод коэффициентов” и другие. Я хочу предложить вашему вниманию четыре группы квадратных уравнений и методы их эффективного решения, которые не входят в школьный курс математики. Они представлены во фрагменте урока “Устные методы решения квадратных уравнений”.

Цель: научить учащихся, используя устные методы, эффективно решать квадратные уравнения.

Образовательные: закрепление и обобщение знаний учащихся, полученные при изучении темы;

отработка способов решения квадратных уравнений, выработка умения выбрать нужный, рациональный способ решения.

Развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, умений сравнивать и обобщать.

Воспитательные: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры. развивать: интерес предмету

Ход урока

Задание 18

Учитель предлагает учащимся с помощью формул корней квадратного уравнения решить уравнения (учащиеся самостоятельно в тетрадях решают уравнения, а учитель, спрашивая ответы учащихся, записывает их на доске).

Группа А

Из этой серии квадратных уравнений нетрудно заметить и доказать (решая уравнение с помощью дискриминанта), что

.

Аналогично группе А, решаем уравнения и выводим формулы для групп В, С, D.

Задание 19

Группа В

Решите уравнения:

Из этой серии квадратных уравнений нетрудно заметить и доказать, что

.

Задание 20

Группа С

Решите уравнения:

Из этой серии квадратных уравнений нетрудно заметить и доказать (решая уравнение с помощью дискриминанта), что

Задание 21

Группа D

Решите уравнения:

Из этой серии квадратных уравнений нетрудно заметить и доказать (решая уравнение с помощью дискриминанта), что

.

После вывода этих формул для закрепления полученных знаний полезно на этом же уроке (можно устно) решить уравнения:

На заключительном этапе урока, для проверки усвоения методов решения квадратных уравнений можно использовать тесты.

Задание 22

Выполнить тестовые задания:

Вариант 1

Решите уравнения:

Вариант – 2

Решите уравнения:

Ответы на тест

Вариант 1

Вариант 2

1

б

а

2

а

г

3

в

а

4

в

б

5

б

в

6

г

г

7

г

б

8

а

а

9

б

в

10

в

а

Критерий выставления оценки:

“5” — 10 верно выполненных заданий;

“4” — 8-9 верно выполненных заданий;

“3” — 6-7 верно выполненных заданий;

“2” — 5 и менее 5 выполненных заданий.

Занятие № 6 тема «Урок КВН квадратные уравнения».

Мне приходится делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только до данного момента, а уравнения будут существовать вечно.

(А. Эйнштейн, немецкий ученый)

Цель урока:

Образовательные: обобщить знания учащихся по теме “Квадратные уравнения”;

Развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания.

Воспитательные: расширение математического кругозора.

Организация урока:

Учитель разбивает класс на две команды.

Каждая команда выбирает капитана.

В состав жюри входят учителя математики, старшеклассники, 1-2 родителя.

За верный ответ и правильное решение уравнения или задачи команда получает один балл.

Оборудование урока:

Кодоскоп.

Магнитофон.

Карточки – задания для самостоятельных работ.

Таблицы – картинки.

Форма проведения урока: Математический КВН.

Ход урока:

I. Вступление.

1. Вступление учителя:

“Математика в своей сущности достаточно тайнственна и романтична и обладает особой красотой, но не каждому, к сожалению, суждено видеть эту красоту.

Проведем сегодняшний урок в форме математического КВН. И надо постараться провести его так, чтобы как математик Харди, который однажды произнес, и его слова остались бессмертными: “В мире нет места для некрасивой математики”.

2. Приветствия команд.

3. Представление жюри.

II. Разминка.

Вопросы командам для разминки задаются поочередно.

Какое уравнение называется квадратным?

Можно ли назвать квадратными уравнения:
ax²+c=0;
ax²+x=0;
ax²=0?

Что такое дискриминант?

Напишите формулы решения полных квадратных уравнений. Целесообразно ли по этим формулам решать неполные квадратные уравнения?

Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

Напишите формулу корней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является четным числом.

Сформулируйте теорему Виета.

Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

Составьте квадратное уравнение по его корням x1= -3; x2= -10.

Составьте квадратное уравнение по его корням x1= -7; x2= -4.

III. Проверка домашнего задания.

“Путешествие в прошлое математики”

Вступление учителя.

Задача 11.

“Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96.”

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100.

Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + x; другое же меньше, т.е. 10 - x. Разность между ними 2x. Отсюда уравнение

(10 + x)(10 - x)=96

Или же

100 – x²= 96

x² - 4= 0

Отсюда

x = 2.

Одно из искомых чисел равно 12, другое 8.

Решения x = - 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

y*(20 - y) = 96

y² – 20y + 96 = 0

3.Выступление:

“Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате “Ариабхаттиам”, составленном в 449 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский математик, Брахмагунта (VII век), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ax² + bc = c, a>0

В этом уравнений коэффициенты, кроме a, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагунты по существу совпадает с нашим.

Задача 13

“Обезьянок резвая стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А двенадцать по лианам…
Стали прыгать, повисая…
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?”

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных корней. Соответствующее задаче уравнение

(x/8)² + 12 = x.

Бхаскара пишет под видом

x² – 64x = -768.

И, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32², получая затем:

x² – 64x + 32² = -768 + 1024,

(x - 32)² = 256,

x – 32 = +/- 16,

x1 = 16, x2 = 48.

Задание 23

IV. Самостоятельная работа № 1.

Силу ума придают упражнения, а не покой.

(А. Поп, англ. поэт)

Каждый учащийся получает карточку, в которой 6 заданий.

Приведем задания одной карточки:

Карточка №1.

Решить уравнения:

–2x² = 0

x² – x/3 = 0

x² – 8 = 0

3x² + 25 = 0

(2x – 1)(7x + 1) = 0

x² – 10x – 24 = 0

Задание 24

V. Решение старинных задач “Математические жемчужины”.

Что есть лучшего? Сравнив прошедшее. Свести его с настоящим.

(Козьма Прутков)

Эти задачи пришли к нам из далекого-далекого прошлого.

Для первой команды необходимо решить задачу “Жизнь Диофанта”.

Для второй команды предполагается решить задачу о красавице Лилавати.

Жизнь Диофанта.

История сохранила нам мало черт биографии замечательного древнего математика Диофанта. Все, что известно о нем, подчеркнуто из надписи на его гробнице – надписи, составленной в форме математической задачи.

Вот эта надпись.

На языке алгебры

Путешественник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни.

x

Часть шестую его представляло прекрасное детство.

x/6

Двенадцатая часть протекла еще жизни – покрылся пухом тогда подбородок.

x/12

Седьмую в бездетном браке провел Диофант.

x/7

Прошло пятилетие; он был осчасливен рождением прекрасного первенца сына.

5

Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравнению с отцом.

x/2

И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился.

x = x/6 + x/12 + x/7 + x/2 + 5 + 4

Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?

Учащиеся, заполнив правый столбец таблицы, решая уравнения, находят, что x = 84, узнают следующие черты биографии Диофанта: он женился в 21 год, стал отцом на 38 году, потерял сына на 80-м году и умер в 84 года.

На языке алгебры

Во время свидания Лилавати с влюбленным у неё порвалась нитка жемчуга.

x

Одна шестая жемчужин упала.

x/6

Пятая часть осталась на нити.

x/5

Третью часть спасла Лилавати.

x/3

Десятую часть взял влюбленный.

x/10

И, кроме того, осталось еще 6 жемчужин.

x = x/6 + x/5 + x/3 + x/10 + 6

Сколько всего было жемчужин на нити у Лилавати?

3. Задача о красавице Лилавати.

Решив уравнение (правую часть заполняют учащиеся), находим, что x = 30, то есть 30 жемчужин было на нити у Лилавати.

Задание 25

VI. Решение кодированных уравнений.

Шифровать можно не только буквы цифрами, но и цифры буквами.

Решив уравнения и с помощью шифра, учащиеся могут узнать имя французского математика, который называл себя Аполлонием Гальским.

Уравнения для второй команды:

1) x² – 6x + 9 = 0

1) x² – 9x + 18 = 0

2) x² –7x = 0

2) x² –14x + 49= 0

3) – x²+ 12x – 36 = 0

3) – 2x² = 0

VII. Рассказ о Виете.

Виет – творец математической формулы.

(Цейтен Г.Г.)

1. Учащиеся первой команды разыгрывают сцену из жизни Виета “Признание Виета всеми математиками мира”.

Учащиеся второй команды разыгрывают сцену из жизни Виета “Сцена разгадки шифра во время франко-испанской войны”.

VIII. Конкурс теоретиков.

Никто не знает, каковы его силы, пока он их не использует.

(Гёте)

Так как каждое настоящее искусство имеет свою теорию, то для учащихся предлагается вывести формулу корней квадратного уравнения (для первой команды) и доказать теорему Виета (для второй команды).

Задание 26

IX. Самостоятельная работа №2.

Великие возможности приходят ко всем, но многие даже не знают, что встретились с ними.

(Даннино У.)

Каждый учащийся получает карточку, в которой 5 заданий, вот, например, задания одной карточки.

Карточка №1.

Запишите квадратные уравнения, корнями которых являлись бы пары чисел:

5 и 7

2,5 и -4

–4/5 и 5/4

1 – 3^1/2 и 1 + 3^1/2

3/8 – 5^1/2/8 и 3/8 – 5^1/2/8

Задание 27

X. Конкурс капитанов.

Что скажут о тебе другие, коли ты сам о себе ничего сказать не можешь.

(Козьма Прутков)

Кто больше решит уравнений за 5 минут?

Первая команда Вторая команда

1) x² + 3x – 4 = 0 1) x² – x – 6 = 0

2) x² – 1/16 = 0 2) 9x² – 1 = 0

3) x² – 4,5x = 0 3) x² + 3,5x = 0

4) x² – 3x + 7 = 0 4) x² – 5x + 8 = 0

5) 6x² – 5x + 1 = 0 5) 6x² + x – 1 = 0

Задание 28

 XI. Исследовательская работа “Трудная задача”.

1. Картина Богданова-Бельского “Трудная задача” известна многим, но мало кто из видевших эту картину вникал в содержание той “трудной задачи”, которая на ней изображена. Состоит она в том, чтобы устным счетом быстро найти результат вычисления:

(10² + 11² + 12² + 13² + 14²)/365.

Задача в самом деле, нелегкая. С нею, однако, хорошо справлялись ученики того учителя, который с сохранением портретного сходства изображен на картине, именно С.А. Рачинского, профессора естественных наук, покинувшего университетскую кафедру, чтобы сделаться рядовым учителем сельской школы. Талантливый педагог культивировал в своей школе устный счет, основанный на виртуозном использовании свойств чисел.

Числа 10, 11, 12, 13, 14 обладают любопытной особенностью:

10² + 11² + 12² = 13² + 14²

Так как 100 + 121 + 144 = 365, то легко рассчитать в уме, что воспроизведенное на картине выражение равно 2.

Алгебра дает нам средство поставить вопрос об одной особенности ряда чисел более широко: единственный ли этот ряд из пяти последовательных чисел, сумма квадратов первых трех из которых равна сумме квадратов двух последних?

2. Решение: Обозначив первое из искомых чисел через x, имеем уравнение

x² + (x + 1)² + (x + 2)² = (x + 3)² + (x + 4)²

Удобнее, однако, обозначить через x не первое, а второе из искомых чисел, тогда уравнение будет иметь более простой вид

(x - 1)² + x² + (x + 1)² = (x + 2)² + (x + 3)²

x1 = 11; x2 = -1.

Существует, значит, два ряда чисел, обладающих требуемым свойством: ряд Рачинского

10,11,12,13,14;

и ряд

-2,-1,0,1,2.

Так как

(-2)²+ (-1)²+ 0² = 1²+ 2².

Задание 29

XII. Самостоятельная работа “Решение задач с помощью квадратных уравнений”.

Смысл рыбной ловли не в том, чтобы забрасывать удочку, а в том чтобы поймать рыбу.

(Английская пословица)

Каждый учащийся получает карточку с одной задачей.

Примерное содержание задач, входящих в карточки:

Произведение двух натуральных чисел, одно из которых больше другого, равно 187. Найдите эти числа.

Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна 60 см².

Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь треугольника равна 60 см².

Для сильных учащихся предложить решить задачу Магавиры (великого индийского математика IX века):

1/16 часть стаи павлинов, умноженная на самое себя, сидит на дереве манго, 1/9 остатка, умноженная на самое себя, вместе с 14 павлинами находится на дереве тамала. Сколько всего павлинов в стае?

XIII. Слово жюри, подведение итогов.

XIV. Домашнее задание:

Составить кроссворд по теме “Квадратные уравнения”.

Решить уравнения:

При каких значениях k один из корней уравнения 2x² – kx +14 = 0 равен 7?

При каких значениях t один из корней уравнения 2x² – 27 + t = 0 в два раза больше другого?

Для каких значений m уравнение x² – mx + m + 8 = 0 имеет два совпадающих корня?

XV. Заключительное слово учителя.

Список использованной литературы

1. Актуальные проблемы современной науки. Гуманитарные науки : труды 2-го Междунар. форума (7-й Междунар. конф.) молодых ученых и студентов. Ч. 41 : Педагогика / ред. : М. В. Мжельская, А. С. Трунин ; Рос. молодежная академия наук. - Самара : Самарский государственный университет, 2006. - 208 с.

2. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. - 12-е изд. - М. : Просвещение, 2004. - С.134-139.

3. Арюткина Л. Модернизация образования на основе ИКТ / Л. Арюткина, О. Карпенко // Высшее образование в России. - 2005. - N 11. - С. 167-176.

4. Баггот ла Вель Л. Трансформация знания с помощью информационно-коммуникационных технологий при изучении естественных наук по учебным планам, составленным учителями. Прикладное исследование N 1 / Л. Баггот ла Вель, Э. Макфарлейн, Р. Браун // Инновации в образовании. - 2005. - N 2. - С. 127-129. - Полностью ст. опубл.: Baggott La Velle L., McFarlane A. and Brawn R. Knowledge Transformatuoin Trough ICT in Sience Educational Technology. 2003. Vol. 134, N 1. P. 183-199.

5. Бурмакина В. Ф. Начало проекта по оценке ИКТ-компетентности девятиклассников / В. Ф. Бурмакина, И. Н. Фалина // Информатика (Прилож. к газ. "Первое сентября"). - 2006. - N 2. - С. 13-16.

6. Гаммершмидт И. И. Информационные технологии в сельской школе / И. И. Гаммершмидт, Д. А. Гаммершмидт // Информатика и образование. - 2005. - N 7. - С. 49-51.

7. Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках / С. Г. Гиндикин. - 2-е изд., испр. - М. : Наука, 1985. - 192 с.

8. Глухов Г. В. Подготовка преподавателя к использованию новых информационных технологий в системе дистанционного обучения / Г. В. Глухов, Т. В. Громова // Информатика и образование. - 2006. - N 5. - С. 93-98.

9. Горовая В. ИКТ и самостоятельная учебная деятельность / В. Горовая, А. Диканский // Высшее образование в России. - 2005. - N 6. - С. 156-157.

10. Горячев А. В. Подходы к формированию ИКТ-грамотности в образовательной системе "Школа 2100" / А. В. Горячев // Информатика и образование. - 2006. - N 5. - С. 3-7.

11. Задорожнюк И. ИКТ в образовании: риски и результаты / И. Задорожнюк // Высшее образование в России. - 2005. - N 3. - С. 163-165.

12. Карпенко М. П. Концепция Национальной программы развития всеобщего и непрерывного образования на основе информационно-коммуникационных технологий / М. П. Карпенко // Инновации в образовании. - 2005. - N 1. - С. 6-19.

13. Келли Р. ИКТ сегодня и завтра : выступление на выставке BETT 2005 / Р. Келли // Информатика и образование. - 2005. - N 4. - С. 2-6.

14. Кинелев В. Г. Образование для формирующегося информационного общества / В. Г. Кинелев // Информатика и образование. - 2004. - N 5. - С. 2-9.

15. Коптюг Н. М. Межкультурное общение: виртуальный опыт / Н. М. Коптюг // Иностранные языки в школе. - 2005. - N 7. - С. 66 - 69.

16. Коцик Б. Я.  Основные индикаторы использования ИКТ в Европейском образовании / Б. Я. Коцик // Информатика и образование. - 2002. - № 8. - С. 43-45.

17. Курош А. Г. Курс высшей алгебры : учебник для вузов / А. Г. Курош. - 14-е изд., стер. - СПб. : Лань, 2005. - 432 с.

18. Лавина Т. А. Содержательно-организационный аспект непрерывной подготовки учителей в области использования средств ИКТ в профессиональной деятельности / Т. А. Лавина // Информатика и образование. - 2006. - N 7. - С. 105-109.

19. Маркова С. А. Активизация познавательной деятельности учащихся на уроке / С. А. Маркова // Современный урок. - 2008. - № 10. - С. 66-74.

20. Маркова С. А. Активизация познавательной деятельности учащихся на уроке : 9-й класс / С. А. Маркова // Современный урок. - 2008. - № 11. - С. 62-69.

21. Никифоровский В. А. В мире уравнений / В. А. Никифоровский. - М. : Наука, 1987. - 174 с.

22. Осинская В. Н. Активизация познавательной деятельности учащихся на уроках математики в 9-10 классах : учеб. - метод. пособие / В. Н. Осинская. - Киев : Радянська школа, 1980. - 144 с.

23. Павлов И. В. Использование информационных технологий в довузовской подготовке по математике в аспекте формирования готовности учащихся к дальнейшему обучению / И. В. Павлов // Информатика и образование. - 2006. - N 7. - С. 115-117.

24. Петраков И. С. Математические кружки в 8-10 классах / И. С. Петраков. - М. : Просвещение, 1997. - С. 50-52.

25. Рагулина М. И. ИКТ в содержании предметной подготовки педагога физико-математического направления / М. И. Рагулина // Информатика и образование. - 2008. - N 9. - С. 97-101.

26. Раскина И. И. Изучение научных основ информационных технологий как перспективное направление развития школьного курса информатики / И. И. Раскина // Информатика и образование. - 2005. - N 7. - С. 124-126.

27. Роберт И. В. Концепция комплексной, многоуровневой и многопрофильной подготовки кадров информатизации образования / И. В. Роберт, О. А. Козлов // Информатика и образование. - 2005. - N 12. - С. 4-13.

28. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика / А. П. Савин. - М. : Педагогика, 1989. - С. 143-147.

29. Северова Т. С. Особенности обучения информатике и информационным технологиям учащихся классов компенсирующего обучения / Т. С. Северова // Коррекционная педагогика. - 2006. - N 2. - С. 56-61.

30. Скаткин М. Н. Совершенствование процесса обучения : проблемы и суждения / М. Н. Скаткин. - М. : Педагогика, 1971. - 208 с.    

31. Сэвэдж Д. Вкатывая на вершину снежный ком ИКТ / Д. Сэвэдж // Информатика и образование. - 2005. - N 4. - С. 6-7.

32. Сэвэдж Д. ИКТ: пришло время стать персональными / Д. Сэвэдж // Информатика и образование. - 2006. - N 3. - С. 6-7.

33. Тарабрин О. А. Подготовка специалистов в области проектирования и применения информационных систем управления на базе ИКТ / О. А. Тарабрин // Информатика и образование. - 2006. - N 1. - С. 65-67.

34. Тарабрин О. А. Принципы непрерывной подготовки инженерных и управленческих кадров в области использования ИКТ в проектно-конструкторской деятельности / О. А. Тарабрин // Информатика и образование. - 2006. - N 2. - С. 124-128.

35. Уваров А. Ю. На пути к общедоступной коллекции цифровых образовательных ресурсов / А. Ю. Уваров // Информатика и образование. - 2005. - N 7. - С. 3-13.

36. Угринович Н. Д. Разработка Web-сайтов и их публикация в Интернете / Н. Д. Угринович, И. С. Лаушкина // Информатика и образование. - 2000. - № 10. - С. 74-84.

37. Удалов С. Р. Подготовка будущего учителя к использованию средства информатизации и информационных технологий в педагогической деятельности / С. Р. Удалов // Информатика и образование. - 2003. - N 12. - С. 105-107.

38. Ферма П. Исследования по теории чисел и диофантову анализу / П. Ферма. - М. : Наука, 1992. - 320 с.

39. Щербинова Н. Н. Приемы активизации познавательной деятельности / Н. Н. Щербинова // Учитель в школе. - 2008. - N 2. - С. 66-68.