Исследовательская работа по математике (5 класс) на тему: Эволюция понятия числа

[link] ), широко пользовались шестидесятеричными дробями, арифметические действия с которыми они называли «арифметикой астрономов». По аналогии с шестидесятеричными дробями самаркандский ученый XV в. ал-Каши в работе «Ключ арифметики» ввел десятичные дроби, которыми он пользовался и для повышения точности извлечения корней. Независимо от него по такому же пути шел открывший в 1585 году десятичные дроби в Европе Симон Стевин, который в своих «Приложениях к алгебре» (1594) показал, что десятичные дроби можно использовать для бесконечно близкого приближения к действительному числу. Таким образом, уже в XVI в. зародилась идея о том, что естественным формальным аппаратом для введения и обоснования понятия иррационального числа являются десятичные дроби. Появление «Геометрии» Декарта облегчило понимание связи между измерением любых отрезков (и геометрических величин вообще) и необходимостью расширения понятия рационального числа. На числовой оси иррациональные числа, как и рациональные, изображаются точками. Это геометрическое истолкование позволило лучше понять природу иррациональных чисел и способствовало их признанию.

В современных учебных руководствах основа определения иррационального числа опирается на идеи ал-Каши, Стевина и Декарта об измерении отрезков и о неограниченном приближении к искомому числу с помощью бесконечных десятичных дробей. Однако обоснование свойств действительных чисел и полная теория их была разработана лишь в XIX в.

Что касается отрицательных чисел, то эти числа, как меньшие нуля, и положительные числа, определил Михаэль Штифель (1487-1567). У него же ноль, а также дробные и иррациональные величины названы числами. Штифель в своей книге 1544 года «Обобщённая арифметика» пишет о том, как целые, рациональные и иррациональные числа распределены относительно друг друга [1].

Штифель устанавливает, что между двумя ближайшими целыми числами находится бесконечно много как дробей, так и иррациональных чисел. Он рассматривает единичный отрезок (2,3) и располагает в нём бесконечные последовательности:

В отличие от Штифеля, Г. Галилей (1564 - 1642) чувствовал связь между математикой и физикой, все его рассуждения сопровождаются примерами из оптики, механики и т.п. [2].

В1633 году, в книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых наук», Галилей рассуждает о распределении чисел: «Если я теперь спрошу вас, сколько квадратов, то можно по справедливости ответить, что их столько же, сколько существует корней, так как каждый квадрат имеет свой корень и каждый корень имеет свой квадрат; ни один квадрат не может иметь более одного корня и ни один корень более одного квадрата.

Поскольку бесконечно много чисел вообще, бесконечно много квадратов, бесконечно много корней, то ни множество квадратов не меньше множества всех чисел, ни последнее не больше первого; в конечном выводе - свойства равенства, а также большей и меньшей величины, не имеет места там, где дело идёт о бесконечности, и применимы только к конечным количествам» [2].

Числа, которые рассматривались до XVIII века, были натуральными, рациональными и иррациональными (как неизвлекаемые корни), то есть алгебраические иррациональные. Предположение том, что число пи иррационально, высказывали уже арабские учёные, начиная с XI века [7].

Развитие понятия числа XVII — XIX вв.

Связанное с прогрессом экономики, торговли и астрономии, развитие вычислительной математики привело и европейских ученых XVI-XVII вв. к критике евклидова противопоставления понятия величины понятию числа и к расширению понятия числа до вещественного числа. В этом отношении характерно письмо Б. Кавальери, направленное им в 1622 г. своему учителю Г. Галилею: «Я хотел бы знать ваше решение того маленького сомнения, которое возникло у меня при чтении Евклида: мне кажется, что он понапрасну доказывает для чисел то, что он же сам выше доказал о величинах. Так, например, его способ находить для двух данных чисел их наибольшую общую меру тот же, что и для нахождения этой меры для двух величин, данный им в начале X книги. То же я утверждаю и относительно других теорем. Евклид доказывает те или иные положения о величинах, по моему мнению, он тем самым доказал их и о числе, так как и число есть величина, и я не знаю, на каком основании эти доказательства надо считать верными только для непрерывных величин, а не для дискретных. Быть может, можно утверждать, что числа подчиняются другим принципам, нежели непрерывные величины. Возможно, впрочем, что я заблуждаюсь, и что под величиной подразумеваются только всякого рода непрерывные величины и что «величина» и «непрерывное количество» - одно и то же. Одним словом, я уповаю на вашу доброту, что вы выведете меня из заблуждения, в которое я мог бы впасть» [2].

Таким образом, Кавальери решительно высказывается за объединение раздельных теорий о числах и о непрерывных величинах в одну общую теорию. В деле сближения евдоксовой общей теории отношений с учением о числе, геометрии - с арифметикой, непрерывного - с дискретным огромную роль сыграла «Геометрия» Декарта, выросшая из его концепции «универсальной математики», к которой следовало бы, по его мнению, отнести не только арифметику и геометрию, но и астрономию, механику, оптику, музыку. Декарт писал: «К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера и совершенно не существенно будут ли это числа, фигуры, звезды, звуки или что-нибудь другое». В своей аналитической геометрии Декарт изучает различные кривые как линии, получаемые движением точек: последние же определяются координатами - числами, выступающими в роли переменных величин [3].

Для ликвидации разрыва между понятием непрерывной величины и понятием числа Декарт выражает любую величину отрезком прямой, обозначаемой буквой, скажем а. Но в отличие от установок «геометрической алгебры» а², а³,... тоже представляют собой отрезки. Вводя единичный отрезок, он каждому арифметическому действию над числами ставит в соответствие геометрическую операцию (построение) с отрезками. В частности, произведение величины с двух отрезков а, b он находит путем построения четвертого пропорционального к трем данным: a, b, 1 (1:b=а:с). Так же находится и частное величины d двух отрезков: a, b (а:b=d:1). Извлечению корня соответствует построение одной или нескольких средних пропорциональных между данными и единичными отрезками; например, если дан отрезок а, то способ построения отрезка

х=

находим из пропорции

1:х=х:а,

в которой х является средним пропорциональным. Таким образом, рассматривая каждое вещественное число как отрезок, вводя отрезок - единицу исчисления отрезков и давая наглядную интерпретацию отрицательных чисел, Декарт фактически заполнил разрыв между понятиями числа и геометрической величины и открыл путь к полному признанию как иррациональных, так и отрицательных чисел, к обобщению понятия числа и к новому его определению [7].

Новое определение числа было сформулировано Ньютоном во «Всеобщей арифметике» (1707): «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное».

В XVIII в. Эйлер и Ламберт доказали, что если бесконечная десятичная дробь является периодической, то она представляет рациональное число, что привело к отождествлению непериодической бесконечной десятичной дроби с иррациональным числом [4,5].

Таким образом, к началу XVIII в. вошедшие во всеобщее употребление иррациональные числа определились одними, в основном приверженцами старых традиций, лишь как неизвлекаемые точно корни рациональных чисел, другими - как последовательности рациональных приближений с любой степенью точности, наконец, третьи пользовались определением Ньютона. Определение Ньютона, занимавшее господствующее место в науке на протяжении полутора веков, не могло, однако, служить основой для строгого логического обоснования теории действительных чисел, поскольку само понятие непрерывных величин, отношение которых Ньютон назвал числом, не только не было строго определено, но и было далеко не ясным, расплывчатым, смутным.

Дальнейшее развитие и обоснование понятия действительного числа могло получить лишь в XIX в., после того как Бернард Больцано, Луи Коши и Карл Вейерштрасс дали строгое определение предела и других основных понятий математического анализа. Усилившаяся во второй половине XIX в. тенденция к полной арифметизации анализа остро поставила вопрос о строгом определении непрерывности и действительного числа. Первое такое определение и было изложено немецким математиком Рихардом Дедекиндом (1831 - 1916) в работе «Непрерывность и иррациональные числа», опубликованной в 1872 г. Она содержит всего 21 страницу, но вошла в историю математики как одно из классических произведений этой науки [6].

Вот что пишет Дедекинд в предисловии к этой работе: «Рассуждения, составляющие предмет этого маленького сочинения, относятся к осени 1858 г. Тогда я в качестве профессора Союзного политехникума в Цюрихе в первый раз по своему положению обязан был излагать элементы дифференциального исчисления и при этом чувствовал живее, чем когда-либо, недостаток в действительно научном обосновании арифметики. При изложении понятия о приближении переменной величины к постоянному пределу и именно при доказательстве того положения, что величина, которая возрастает постоянно, но не сверх всяких границ, должна приближаться к некоторому пределу, я прибегал к геометрической наглядности. Да и теперь я из дидактических оснований считаю такое привлечение геометрической наглядности при первом обучении дифференциальному исчислению необычайно полезным, даже неизбежным, если не хотят потратить слишком много времени. Но никто не станет отрицать того, что этот способ введения в изучение дифференциального исчисления не может иметь никакого притязания на научность.

Во мне тогда это чувство неудовлетворенности преобладало в такой степени, что я принял твердое решение думать до тех пор, пока не найду чисто арифметического и вполне строгого основания для начал анализа бесконечных. Говорят часто, что дифференциальное исчисление занимается непрерывными величинами, однако же нигде, не дают определения этой непрерывности и даже при самом строгом изложении дифференциального исчисления доказательства не основывают на непрерывности, а апеллируют более или менее сознательно либо к геометрическим представлениям, либо к представлениям, которые берут свое начало в геометрии, либо, наконец, основывают доказательства на положениях, которые сами никогда не были доказаны чисто арифметическим путем [8]. Сюда относится, например, и вышеупомянутое положение; более точное изыскание убедило меня в том, что это или всякое другое эквивалентное ему предложение может до известной степени рассматриваться как достаточный фундамент для анализа бесконечных. Все сводится только к тому, чтобы открыть настоящее начало этого положения в элементах арифметики и вместе с этим приобрести действительное определение существа непрерывности. Это удалось мне 24 ноября 1858 года...». Автор исходит из следующих трех свойств множества R рациональных чисел:

Если а>b, b>с, то а>с. Это так называемое свойство упорядоченности, при котором предполагается также, что для любых двух элементов (чисел) имеет место одно и только одно из трех соотношений.
Если а, с - два различных числа, то существует бесконечное множество чисел, лежащих между а и с.
Если а есть какое-либо число, то оно разбивает все числа множества R на два класса (подмножества) K1 и K2 так, что:

1) каждое число множества R принадлежит одному и только одному из классов K1, K2;

2) ни один из классов K1, K2 не является пустым, т. е. каждый из них содержит по крайней мере по одному числу;

3) каждое число одного, скажем первого, класса меньше любого числа второго класса.

Само число а может быть отнесено либо к первому классу, и тогда оно является последним, наибольшим в этом классе, либо ко второму классу; в этом классе число а будет первым, наименьшим. Итак, а «замыкает» один и только один из классов. Такое разбиение (разделение) множества чисел на два класса называется сечением (Дедекинда). Число а, производящее это сечение, называют иногда «замыкающим» или «числом Дедекинда». Итак, третье свойство можно коротко сформулировать следующим образом: любое число множества R производит на этом множестве сечение Дедекинда [7].

Сравнивая множество R рациональных чисел с множеством точек прямой L, Дедекинд констатирует, что и последнее обладает теми же свойствами.

1.Если точка А предшествует точке В, а точка В предшествует точке С, то и А предшествует С (или, что то же, если В следует за А, С - за В, то С следует за А).

Если А, С - две различные точки, то существует бесконечное множество точек, лежащих между А и С.
Любая точка D (названная «точкой Дедекинда») прямой разбивает все точки последней на два класса, удовлетворяющие перечисленным в пункте трем условиям, т. е. производит дедекиндово сечение.

Установим, что любому рациональному числу можно поставить в соответствие одну определенную точку прямой и что такое соответствие не является взаимно однозначным. Поскольку на прямой имеется бесконечное множество точек, которые не соответствуют никаким рациональным числам, Дедекинд констатирует необходимость создать новые числа. Таким образом, чтобы «область чисел приобрела ту же полноту, или, скажем прямо, ту же непрерывность, как и прямая линия». При этом Дедекинд считает ненаучным определение иррационального числа как результата измерения (отношения) одной геометрической (непрерывной) величины другою, с ней однородной. Он требует, чтобы арифметика оперировала лишь числами, а не геометрическими образами, хотя и признает полезность и важность связей между обеими науками. «Можно в общем, - пишет он, - согласиться с тем, что такие связи с неарифметическими представлениями дали ближайший повод к расширению понятия о числе (хотя это решительно не имело места при введении комплексных чисел – мнимых чисел); но это, безусловно, не может служить достаточным основанием для того, чтобы ввести в арифметику, науку о числах, эти чуждые ей соображения». Дедекинд считает, что, подобно тому, как рациональные числа определяются посредством целых чисел, иррациональные числа должны быть определены на основе рациональных. Как же он это делает? В чем состоит непрерывность прямой?

Выше было обращено внимание на третье свойство: каждая точка D прямой производит сечение, удовлетворяющее 1, 2 и 3-му условиям. Сущность непрерывности прямой Дедекинд усматривает в обратном принципе: если все точки прямой разбить на два класса, удовлетворяющие 1, 2 и 3-му условиям, то существует одна и только одна точка D, производящая это сечение, «замыкающая» один из классов, т. е. являющаяся либо последней в первом, либо первой во втором классе. В этом и заключается аксиома непрерывности Дедекинда. Отметим, что в понятии непрерывности Дедекинда содержится идея о прямой как об актуально бесконечном множестве точек. В отличие от множества точек прямой множество R рациональных чисел не допускает абсолютной обратимости третьего свойства, т. е. не для всякого дедекиндова сечения, произведенного на множестве R, существует «замыкающее» число. Например, разделим все числа R на два класса так, что к одному отнесем все числа, квадрат которых меньше числа 2, ко второму - все числа, квадрат которых больше числа 2. Легко проверить, что речь идет о сечении Дедекинда, поскольку удовлетворены все условия аксиомы Дедекинда. Однако «замыкающего» числа среди чисел R не существует, так как в первом классе нет наибольшего, во втором нет наименьшего рационального числа. Значит, это множество не обладает свойством непрерывности, оно имеет разрывы, изъяны; оно прерывно, дискретно [8].

После этого путь введения новых чисел вполне ясен: всякий раз, когда нам дано сечение (K1, K2), которое не может быть произведено никаким рациональным числом, «мы создаем новое иррациональное число а», которое рассматривается нами как «замыкающее» и, значит, вполне определено данным сечением (K1, K2). Вместе с рациональными числами иррациональные образуют множество вещественных чисел, или континуум (от латинского continuum - непрерывное). Далее идет упорядочение континуума, т. е. определяется, при каких условиях данное вещественное число а меньше, равно или больше другого вещественного числа β, и доказательство плотности и непрерывности множества вещественных чисел. Наконец, определяются действия над действительными числами таким образом, чтобы они обладали всеми теми свойствами, которыми обладают рациональные числа, т. е. соблюдался бы принцип перманентности. В заключение Дедекинд иллюстрирует на нескольких примерах связь между принципом непрерывности и анализом бесконечных.

Почти одновременно с теорией Дедекинда были построены и другие теории вещественных чисел, в том числе теория Кантора и теория Вейерштрасса. Эти теории также исходят из множества рациональных чисел, и все они мало отличаются одна от другой.

В заключение отметим, что лишь после построения Дедекиндом вещественных чисел как сечений, произведенных на множестве рациональных чисел, было констатировано сходство теории Дедекинда с общей теорией отношений Евдокса. Но следует учесть и различия, вытекающие из того, что Дедекинд исходил из уже построенной арифметики рациональных чисел. Когда один из современников Дедекинда - видный немецкий математик Рихард Липшиц обратился к нему с вопросом, что нового имеется в его теории по сравнению с теорией Евдокса, он получил следующий ответ: аксиома непрерывности. Действительно, в теории отношений Евдокса говорится лишь о выше сформулированном в третьем свойстве, но не о его обратимости, т. е. если задано отношение (действительное число) А:В, то оно определяет сечение. Из теории Евдокса не следует, что всякое сечение определяет одно отношение А:В, хотя в этом и заключается суть непрерывности.

Г. Кантор, как и Гейне, введя понятие числа на основании счётных фундаментальных последовательностей, идёт дальше Гейне: определяет понятие предельной точки, вводит иерархию предельных множеств. В работе 1874 года он доказывает счётность множества алгебраических иррациональных чисел, и несчётность множества действительных, а следовательно, и трансцендентных чисел в статье «Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел» [8]. Теоретико-множественная терминология ещё не сложилась, понятие счётности появится у него позже, он говорит об взаимно однозначном соответствии, а вместо множества употребляет термин «совокупность». Кантор постулирует взаимно однозначное соответствие между числами и точками на прямой, он утверждает, что доказать это невозможно.

К 1878 году Кантор переходит от анализа точечных областей к понятию мощности, формулирует гипотезу континуума, рассматривает непрерывные отображения между множествами различной размерности. Тем острее он ощущает недостаточность определения непрерывности через сечение. Его третья статья 1878 года «К учению о многообразиях» уже содержит понятия мощности и взаимно однозначного соответствия между многообразиями различной размерности. В этой же статье появляется понятие «второй мощности», то есть начинает формироваться гипотеза континуума [7].

Заключение.

Математика – это наука о понятиях и число является одним из основных понятий этой науки, оно зародилось в глубокой древности. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь.

В результате проведенного исследования следует отметить, что на протяжении всего времени - с древних времен и по настоящее время - к понятию числа философы и ученые подходили по-разному. Каждый из них выдвигал свою теорию, свое убеждение, каждый из них расширял и обобщал это понятие. Еще в V веке до н.э. было введено определение таких чисел как «плоские», «квадратные», «телесные», «кубические» и другие. В результате потребности решений алгебраических уравнений появилось понятие отрицательных чисел. Потребность в отрицательных числах появилась так же и для измерения направленных величин. Замечательным достижением математиков было введение понятия нуля, которое сначала обозначало отсутствие числа, а после введения отрицательных чисел нуль стал пониматься как число.

В XV в. Ученые ввели понятие десятичных дробей. Это нововведение оставалось неизвестным европейским математикам. А в XVIII веке закрепилось обозначение числа пи. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.

Наряду с натуральными числами применяли дроби-числа, составленные из целого числа долей единицы. Множества натуральных чисел и дробей было достаточно, чтобы выразить результат любого измерения. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения двух таких чисел, т.е. дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что «элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в целом является гармонией и числом». Интересный подход у древних ученых был к определению иррационального числа – как числа не являющегося полным квадратом.

В настоящее время существует семь общепринятых уровней обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные, матричные и трансфинитные числа. Отдельными учеными предлагается считать функции функциональными числами и расширить степень обобщения чисел до двенадцати уровней.

Перед началом данной исследовательской работы было проведено анкетирование учащихся. В анкетировании были вопросы (приложение 1), связанные с определением понятия числа, как это понятие расширялось и обогащалось с развитием человечества. В анкетировании участвовало 15 учащихся По результатам анкетирования выяснилось, что многие учащиеся не знают, в каком веке появилось понятие числа и как это понятие менялось со временем. Поэтому следует сделать вывод, что тема данной работы актуальна для учащихся моего класса и школы. Очень много интересного и полезного я узнал в результате проделанной работы, с результатами которой я познакомил учащихся своей школы.

Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел

Список использованной литературы.

Михаэль Штифель (1487-1567) и теоретико-множественные представления XVI века / Г.И. Синкевич // История науки и техники. - 2013. - № 10. - С. 11-16.
Галилей Г. Избранные труды в двух томах. Т. 2. - М.: Наука. -1964 г.
Юшкевич А.П. Леонард Эйлер о квадратуре круга / А.П. Юшкевич // Историко-математические исследования. - М.: Наука. - 1957 г. - X. -С. 159-210.
Эйлер Л. Введение в анализ бесконечно малых / Л. Эйлер. - М.: Физматгиз. - 1961ю - т. 1 - 315 с.
О квадратуре круга (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр). С приложением истории вопроса, составлен Ф. Рудио / перевод с немецкого под редакцией и с примечаниями академика С.Н. Бернштейна. 1-е издание 1911 Mathesis. - 176 с.; 2-е издание М.- Л.: Гостехиздат. - 1934 г. - 239 с.
Рыхлик К. Теория вещественных чисел в рукописном наследии Больцано / К. Рыхлик // Историко-математические исследования. - 1958 г. - XI. - С. 515-532.
Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа / Р. Дедекинд. Пер. с нем. С.О. Шатуновского. - Одесса, 1923. - 4 изд. - 44 с.
Глейзер Г.И. История математики в школеVII-VIII кл. Пособие для учителей. -М.: Просвещение, 1982.-240 с.

Приложение 1

Анкета для учащихся

В каком веке появилось первое обоснование понятия числа? (5 век до н.э.)

Когда впервые появилось понятие отрицательных чисел?

Кто из ученых первым поднял вопрос о нахождении стороны квадрата, площадь которого равна 2? (Пифагор)

В какой книге дано обоснование несоизмеримости стороны квадрата с его стороной? («Начала» Евклида)

Когда появилось первое понятие иррациональности числа? (конец 5 века до н.э.)

Какие числа называются плоскими? (6=2*3, 14=7*2 и т.д.)

Какие числа называются квадратными? (4=2*2, 9=3*3, 81=9*9 и т.д.)

Какие числа называются телесными? (24=2*3*4, 210=5*6*7 и т.д.)

Какие числа называются кубическими? (8=2*2*2, 125=5*5*5 и т.д.)

Какими числами пользовались древнегреческие математики классической эпохи? (рациональными – целые и дробные положительные)

Когда было введено новое понятие числа? (в 18 веке Ньютоном: целое, дробное, иррациональное)