Учимся решать олимпиадные задачи (геометрия) 5 класс

Математические олимпиады (геометрия)

(А.В.Фарков «Учимся решать олимпиадные задачи (геометрия) 2 – е издание)

5 класс

1. Рост Буратино 1 метр, а длина его носа раньше была 9 сантиметров. Каждый раз, когда Буратино врал, длина его носа удваивалась. Как только нос стал длиннее самого Буратино, тот врать прекратил. Сколько раз буратино соврал? А

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

2. Прямоугольник разрезали по ломаной линии,

состоящей из 3 равных отрезков. Начало разреза в

точке А (рис. 1). Получили две равные фигуры.

Как это сделали? Рисунок 1

3. Как разрезать квадрат 4 × 4 прямыми линиями так, чтобы из полученных частей можно было составить 32 равных квадрата? Не разрешается оставлять неиспользованные части, также накладывать их друг на друга.

4. Разрежьте квадрат 5 × 5 на 5 прямоугольников таким образом, чтобы у соседних прямоугольников стороны не совпадали. При этом 4 прямоугольника были бы равны, а пятый являлся квадратом. Найдите все решения.

5. Как разрезать квадрат 5 × 5 на 7 прямоугольников, среди которых нет одинаковых?

6. Разрежьте квадрат 5 × 5 на 10 одинаковых четырёхульников, не являющихся прямоугольниками.

7. Разрежьте каждую фигуру на три равные части (рис. 2). Резать можно только по сторонам клеточек. Части должны быть равными и по площади, и по форме.

а б

Рисунок 2

8. Разрежьте фигуру на 2 равные части (рис. 3).

Рисунок 3

9. Разрежьте фигуру, полученную из квадрата 7 × 7 вырезанием четырёх угловых клеток 1 × 1 (рис. 4), на уголки вида и (уголки состоят из квадратиков размера 1 × 1), так чтобы квадратики, отмеченные на рисунке, оказались только в больших уголках.

Рисунок 4

одинаковых квадратиков. Её периметр равен 16.

Найдите площадь фигуры.

Рисунок 5

11. Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника. Площади трёх из них: 3, 4, 5 (рис. 6). Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

12. На рис. 7 изображено 13 точек. Сколько квадратов с вершинами в этих точках можно нарисовать? (Точки рассматриваются в вершинах квадратиков со стороной 1).

13. Рисунок 7

    51. Из 26 спичек длиной по 5 см сложили прямоугольник наибольшей площади. Чему равна его площадь?

    52. Расположите изображённые на рис. 8 два острых

    53. угла таким образом, чтобы образовались четыре тупых угла. Рисунок 8

    57. Рисунок 9

    58. Сколько треугольников на рис. 9?

    60. Изображённые на рис. 10 фигуры 1, 2, 3 и 4 являются

    61. квадратами. При этом периметр первой фигуры равен 16 см,

    62. периметр второй – 24 см. Найдите периметр фигуры 4.

    63. Рисунок 10

    66. Рисунок 11

    67. Сколько различных по величине углов изображено на рис. 11?

    69. Сколько треугольников на рис. 12?

    71. Рисунок 12

    73. Разрежьте квадрат на 3 части, из которых можно было бы сложить треугольник с тремя острыми углами и различными сторонами.

    75. Разрежьте прямоугольник на 3 треугольника таким образом, чтобы среди полученных треугольников лишь 1 был прямоугольный.

    77. Олимпиадная задача по математике – это задача повышенной трудности, нестандартная как по формулировке, так и по методам решения. Среди олимпиадных задач встречаются как нестандартные задачи, для решения которых требуются необычные идеи и специальные методы, так и задачи более стандартные, но которые можно решить оригинальным способом.

    78. Олимпиадные задачи по математике встречаются иногда в контрольных работах по математике, их предлагают на разнообразных математических соревнованиях, и, конечно же, без них не обойтись на математических олимпиадах разного уровня.

    79. Практически в каждой олимпиадной работе по математике встречается, как минимум одна задача по геометрии. И именно геометрические олимпиадные задачи вызывают наибольшие трудности у учеников. При этом можно утверждать, что как раз геометрия лучше всего развивает нестандартное мышление и помогает выделить математически одарённых людей.

    80. Геометрические олимпиадные задачи очень разнообразны. Это и задачи на разрезание, и на построение и нахождение углов. Но чаще всего встречаются задачи, которые используют в своём решении какую – то необычную идею, как правило, дополнительное построение.

    81. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся методы и приёмы решения разнообразных типов олимпиадных задач по геометрии.

    82. В 5 – 6 классах наиболее часто встречаются различные задачи на разрезание. Рассмотрим одну из наиболее трудных задач такого типа.

    83. Задача 1. Разделите квадрат 5 × 5 клеток с вырезанной центральной клеткой на четыре равные части. Найдите как можно больше способов. Разрезать можно только по сторонам квадратов.

    84. Решение. Так как всего в квадрате остаётся 24 клетки, а надо разделить исходную фигуру на четыре равные части, то каждая из частей будет содержать по 6 клеток. Рассмотри, какие фигуры можно получить из 6 клеток (рис. 1).

    85. Располагая по-разному выделенное нами фигуры в квадрате 5 × 5, получим следующие 7 способов (они показаны на рис 2).

    86. Как видно, из 34 различных шестиклеточных фигур решение получилось только для семи из них (на рис. 1 он выделены).

    88. Иногда в 5 – 6 классах встречаются и задачи на подсчёт числа фигур. Рассмотрим одну из таких задач.

    89. Задача 2. Сколько треугольников изображено на рис. 3?

    91. Рисунок 3

    93. Решение. Подсчёт треугольников начнём с тех треугольников, которые не разбиты на другие треугольники. Таких треугольников будет по 3 в каждом квадрате, то есть 6. Теперь посчитаем число треугольников, состоящих из 2 треугольников. В каждом квадрате таких треугольников будет по 3, итого их 6. Теперь посчитаем число треугольников, состоящих из 3 фигур (2 треугольника и 1 четырёхугольник), всего их будет 2. И наконец, подсчитаем число треугольников, содержащих по 4 фигуры: это будет 2 самых больших треугольника, получающихся от деления прямоугольника на 2 части. Таким образом, всего получается 16 треугольников.