Теорема Виета
Тип: урок формирования умений и навыков.
Класс: 8 класс.
Цели:
Образовательные: обеспечить закрепление теоремы Виета. Научить решать квадратные уравнения с использованием теоремы Виета. Привить навыки устного решения квадратных уравнений общего вида.
Воспитательные: способствовать выработке умения обобщать факты, содействовать стремлению к личностному росту учащихся; развивать самостоятельность путём применения ИКТ; выработка навыков самооценки собственных достижений.
Развивающие: развивать логическое мышление, навыки сравнения и анализа, развивать монологическую речь в ходе объяснений, обоснований выполняемых действий; развивать коммуникативные навыки, навыки самостоятельной работы.
Организационный момент (3-5 мин.)
Добрый день! Присаживайтесь. Меня зовут Наталья Ивановна. Я уверенна, что наша совместная работа будет интересной и успешной. И мы друг другу в этом поможем. Познакомьтесь с планом работы на уроке: (слайд 1)
Повторение теоремы Виета, применение теоремы для решения квадратных уравнений.
Установление связей между корнями приведённого квадратного уравнения с его коэффициентами.
Решение приведённых квадратных уравнений.
Тестирование на проверку усвоения темы урока.
Исходя из темы сегодняшнего урока и представленного плана, какие цели вы можете поставить на этот урок?
Целеполагание: (слайд 2)
Применять теорему Виета при решении приведённых квадратных уравнений.
Выяснить, зачем нужна теорема Виета.
Актуализация (10 мин.)
Устный опрос (слайд 3)
- Какое уравнение называется квадратным? (Квадратным уравнением называется уравнение вида ах2+bx+c=0, где a,b,c-заданные числа, а≠0, х – неизвестное.)
- Какое квадратное уравнение называют приведённым? (Квадратное уравнение вида x2+px+q=0 называется приведённым, где старший коэффициент равен 1.)
- Как привести квадратное уравнение к приведённому виду? (всякое квадратное уравнение вида ах2+bx+c=0 может быть приведено к виду x2+px+q=0 делением обеих частей на а, а≠0.)
- Сформулируйте теорему Виета? (Если х1 и х2 – корни уравнения x2+px+q=0, то справедливы формулы x1 + x2=-p, x1·x2=q, т.е. сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.)
Задания на доске: решить уравнения и сделать проверку с помощью теоремы Виета (работают 3 ученика).
3x2+15x=0 3x(x+5)=0
x1 = 0 или x2=-5
x1+x2=0+(-5)=-5=-p
x1·x2=0·(-5)=0=q
x2-4x-11=0
D=16+11·4=
x1,2=
x1= 2-, x2= 2+
x1+x2=4=-p
x1·x2=(2-·( 2+=-11=q
2x2+5x-3=0
x2+2,5x-1,5=0
D=49
x1 = -3, x2=0,5
x1+x2=-2,5=-p
x1·x2=-3·(-0,5)=-1,5=q
В это время фронтальная работа с классом (слайд 5)
Составить квадратное уравнение, корни которого известны
а) х1=2; х2=-7
p=-(2-7)=-(-5)=5 q=2·(-7)=-14
x2+5x-14=0
б) x1=-2; x2=-5
p=-(-2-5)=7 q=-2·(-5)=10
x2+7x+10=0
в) х1=0,5; х2=0,75
p=-(0,5+0,75)=-1,25 q=0,5·0,75=0,375
x2-1,25x+0,375=0|·8
8x2-10x+3=0
Составить квадратное уравнение, если а=2, х1=4, х2=-1
p=-(4-1)=-3
q=4·(-1)=-4
x2-3x-4=0
2x2-6x-8=0
Проверка работы учащихся у доски.
Постановка проблемного вопроса:
При решении любого квадратного уравнения мы должны найди дискриминант, чтобы узнать количество корней данного уравнения. А можно ли находить корни квадратного уравнения без вычисления дискриминанта? (ответы учащихся).
Да, но при условии, что уравнение приведённое, а корни целочисленные. При нахождении таких корней нам поможет теорема, обратная теореме Виета. (слайд 6).Сформулируйте её (если есть два числа, сумма которых равна противоположному коэффициенту при х, а их произведение равно свободному члену приведённого квадратного уравнения, то эти числа являются корнями данного уравнения).
Способ решения, когда используется теорема обратная теореме Виета, называется способом подбора. И этим способом можно пользоваться наиболее результативно, если установить связь знаков корней приведённого квадратного уравнения со знаками его коэффициентов.
x2-7x+10=0 p=x1+x2=7
q=x1·x2=10 (10>0)
x1=2 x2=5
(корни одного знака)
x2-4x-21=0
p=x1+x2=4
q=x1·x2=-21 (-21<0)
x1=7 x2=-3
(корни разных знаков)
x2+5x+4=0
p=x1+x2=-5
q=x1·x2=4 (4>0)
x1=-1 x2=-4
(корни одного знака)
x2-4,5x+5=0
p=x1+x2=4,5
q=x1·x2=5 (5>0)
x1=2,5 x2=2
(корни одного знака)
Какой вывод можно сделать? (если свободный член положительный, то корни уравнения одного знака, если отрицательный, то корни разных знаков).
Систематизация знаний и умений
Найдите корни квадратного уравнения.
x2+px+6=0 p=-5 x2=-3
x2+3x+q=0 q=-4 x2=1
x2+px+15=0 p=-8 x2=3
x2+px-8=0 p=-2 x2=4
x2-3x+q=0 q=2 x2=2
x2+px-15=0 q=2 x2=3
x2-3x+q=0 q=-10 x2=5
Желающие заполняют электронную таблицу, класс проверяет.
Работа с учебником: №706 (б,г), №712
Тест (слайды 9, 10, 11, 12, 13)
Взаимопроверка, меняются тетрадями (слайд 14).
Подведение итогов.
Достигли ли вы те цели, которые ставили на урок? (ответы учащихся).
Сделайте вывод, для чего нужна теорема Виета, зачем ею пользоваться? (ответы учащихся).
Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения, не решая его.
Зная один корень, можно найти другой.
Для определения знаков корней.
Для подбора корней, не решая его.
Ваша оценка за урок – это среднее арифметическое вашей самооценки за работу на уроке и оценки за тест. Поставьте на поля свою оценку. (Опрос учащихся).
Рефлексия (слайд 15).
Домашнее задание:
Повторить теорему Виета и обратную ей теорему.
№706 (а,в), №713.
