КОНСПЕКТ УРОКА
Линейные уравнения с двумя переменными
Класс: 7
УМК: Алгебра 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.]; под ред. С.А. Теляковского. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2014
Тема: Линейные уравнения с двумя переменными
Цели: Познакомить учащихся с понятиями линейного уравнения с двумя переменными и его решения, научить выражать из уравнения х через у или у через х.
Формируемые УУД:
Познавательные: выдвигать и обосновывать гипотезы, предлагать способы их проверки
Регулятивные: сличать способ и результат своих действий с заданным эталоном, обнаруживать отклонения и отличия от эталона; составлять план и последовательность действий.
Коммуникативные: устанавливать рабочие отношения; эффективно сотрудничать и способствовать продуктивной кооперации.
Личностные: формирование навыков организации анализа своей деятельности
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран
Ход урока:
I Организационный момент
- Послушайте сказку про Деда-Равняло и догадайтесь, о чем мы сегодня будем говорить
Сказка «Дед-Равняло»
Жил в избушке на лесной опушке дед по прозвищу Равняло. Любил он с числами подшучивать. Возьмет дед выстроит по обе стороны от себя числа, соединит их знаками, а самые резвые в скобки возьмет, но следит, чтобы одна часть равнялась другой. А потом какое-нибудь число спрячет под маской «икс» и попросит своего внука, маленького Равнялку, найти его. Равнялка хоть и мал, но дело свое знает: быстро перегонит все числа, кроме «икса», в другую сторону и знаки не забудет у них изменить на противоположные. А числа слушаются его, быстро выполняют по его приказу все действия, и «икс» известен. Дед смотрит на то, как ловко у внучка все получается и радуется: хорошая ему смена растет.
- Итак, о чем идет речь в этой сказке? (об уравнениях)
II. Давайте вспомним всё, что мы знаем о линейных уравнениях и попробуем провести параллель между известным нам материалом и новым материалом.
Какой тип уравнения нам известен? (линейное уравнение с одной переменной)
Вспомним определение линейного уравнения с одной переменной.
Что называется корнем линейного уравнения с одной переменной?
Сформулируем все свойства линейного уравнения с одной переменной.
Заполняется 1 часть таблицы
ах=в, где х – переменная, а,в- числа.
Пример: 3х = 6
Значение х, при котором уравнение обращается в верное равенство
1) перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, изменив их знак на противоположный.
2) обе части уравнения умножить или разделить на одно и тоже, не равное нулю число.
Линейное уравнение с двумя переменной.
ах + ву = с, где х,у – переменные, а,в.с – числа.
Пример:
х – у = 5
х + у = 56
2х + 6у =68
Значения х, у, обращающие уравнение в верное равенство.
х=8; у=3 (8;3)
х=60; у = - 4 (60;-4)
Верны свойства 1,2.
3) равносильные уравнения:
х-у=5 и у=х-5
(8;3) (8;3)
После того, как заполнили первую часть таблицы, опираясь на аналогию, начинаем заполнять вторую строку таблицы, тем самым узнавать новый материал.
III. Обратимся к теме: линейное уравнение с двумя переменными. Само название темы наталкивает на мысль, что нужно вводить новую переменную, например у.
Существует два числа х и у, одно больше другого на 5. Как записать соотношение между ними? (х – у = 5) это и есть линейное уравнение с двумя переменными. Сформулируем по аналогии с определением линейного уравнения с одной переменной определение линейного уравнения с двумя переменными (Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax + by = c, где a,b и c – некоторые числа, а x и y –переменные).
Уравнение x – y = 5 при x = 8, y = 3 обращается в верное равенство 8 – 3 = 5. Говорят, что пара значений переменных x = 8, y = 3 является решением этого уравнения.
- Сформулируйте определение решения уравнения с двумя переменными (Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство)
Пары значений переменных иногда записывают короче: (8;3). В такой записи на первом месте пишут значение x а на втором - y.
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения (или не имеющие решений), называются равносильными.
Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной:
Если в уравнении перенести любой член из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число(не равное нулю), то получится уравнение равносильное данному.
Пример 1. Рассмотрим уравнение 10x + 5y = 15. Используя свойства уравнений, выразим одну переменную через другую.
Для этого сначала перенесем 10x из левой части в правую, изменив его знак. Получаем равносильное уравнение 5y = 15 - 10x.
Разделим каждую часть этого уравнения на число 5, получим равносильное уравнение
у = 3 - 2x. Таким образом, мы выразили одну переменную через другую. Пользуясь этим равенством, для каждого значения x можно вычислить значение y.
Если x = 2, то y = 3 - 2· 2 = -1.
Если x = -2, то y = 3 - 2· (-2) = 7. Пары чисел (2; -1), (-2; 7) – решения данного уравнения. Таким образом, данное уравнение имеет бесконечно много решений.
Из истории. Проблема решения уравнений в натуральных числах подробно рассматривалась в работах известного греческого математика Диофанта (III в.). В его трактате «Арифметика» приводятся остроумные решения в натуральных числах самых разнообразных уравнений. В связи с этим уравнения с несколькими переменными, для которых требуется найти решения в натуральных или целых числах, называют диофантовыми уравнениями.
Пример 2. Мука расфасована в пакеты по 3 кг и по 2 кг. Сколько пакетов каждого вида надо взять, чтобы получилось 20 кг муки?
Допустим, что надо взять x пакетов по 3 кг и y пакетов по 2 кг. Тогда 3x + 2y = 20. Требуется найти все пары натуральных значений переменных x и y, удовлетворяющих этому уравнению. Получаем:
2y = 20 - 3x
у =
Подставляя в это равенство вместо x последовательно все числа 1,2,3 и т.д., найдем при каких значениях х, значения y являются натуральными числами.
Получаем: (2;7), (4;4), (6;1). Других пар, удовлетворяющих данному уравнению нет. Значит надо взять либо 2 и 7, либо 4 и 4, либо 6 и 1 пакетов соответственно.
IV. Работа по учебнику (устно) № 1025, № 1027(а)
Самостоятельная работа с проверкой в классе.
1. Выпишите линейно уравнение с двумя переменными.
а ) 3х + 6у = 5 в) ху = 11 б) х – 2у = 5
2. Является ли пара чисел решением уравнения?
2х + у = -5 (-4;3), (-1;-3), (0;5).
3. Выразите из линейного уравнения
4х – 3у = 12 а) х через у б) у через х
4. Найдите три, каких либо решения уравнения.
х + у = 27
V. Итак, подведем итог:
Дать определение линейного уравнения с двумя переменными.
Что называется решением (корнем) линейного уравнения с двумя переменными.
Сформулировать свойства линейного уравнения с двумя переменными.
Выставление оценок.
Домашнее задание: п. 40, № 1028, №1032
