Тема: Градусная мера дуги окружности. Теорема о вписанном угле.
Класс: 8 класс
Цели урока: сформировать понятие вписанного угла, изучить теорему о вписанном угле;
формирование навыков самостоятельной работы с учебником.
Тип урока: усвоение нового материала
Структура урока:
Постановка цели урока.
Актуализация знаний и умений.
Изучение теоремы о вписанном угле.
Применение теоремы.
Подведение итогов.
Домашнее задание.
Ход урока
I. Организационный момент. Приветствие. Проверка отсутствующих
II. Актуализация знаний и умений.
Задание на готовом чертеже:
Найдите угол АВС, если [pic] АС = 70° .
[pic]
Нельзя ли указать угол, связанный с [pic] АС, зная который можно найти [pic] АВС?
Таким углом является [pic] АОС.
[pic] АОС = 70° (материал предыдущего урока). [link]
Так как треугольник АВО равнобедренный (АО = ВО радиусы окружности), то [pic] ВАО = [pic] АВО. Следовательно, [pic] АОС = 2 [pic] АВО, откуда [pic] АВО = 35° .
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
[pic] АВС вписанный:
1) вершина В лежит на окружности;
2) сторона ВА пересекает окружность;
3) сторона ВС пересекает окружность.
III. Формирование новых знаний и умений.
Какие из углов, изображенных на рисунке 1, являются вписанными?
[pic]
Укажите изображенные на рисунке 2 вписанные углы.
[pic]
Вписанные углы 4 и 5 образуют угол, также являющийся вписанным.
Выполненное в начале урока задание привело нас к выводу: вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Теперь это утверждение нам нужно доказать.
Учитель на доске, а учащиеся в тетрадях выполняют рисунок, делают записи.
Теорема:
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
На доске:
Дано:
Окр.(O, R)
угол ABC - вписанный угол,
опирающийся на дугу АС.
[pic]
Доказать:
[pic] АВС = 1/2 [pic] АС.
Доказательство:
(Оформление доказательства учащиеся выполняют самостоятельно).
Рассмотрим случай, когда луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС.
Например, со стороной ВС. В этом случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому [pic] АОС равен дуге АС. Так как [pic] АОС – внешний угол равнобедренного треугольник АВО, а углы 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то [pic] АОС = [pic] 1 + [pic] 2 = 2 * [pic] 1. Отсюда следует, что 2 * [pic] 1 = [pic] АС или [pic] АВС = [pic] 1 = 1/2 [pic] АС.
Вопрос к учащимся:
А какие еще могут быть рассмотрены случаи расположения луча ВО относительно угла АВС?
(Доказательство теоремы во втором и третьем случаях учащиеся рассматривают самостоятельно, при этом учитель показывает, как эти случаи сводятся к первому случаю.)
Следствие 1: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Следствие 2: Вписанный угол, опирающийся на полуокружность - прямой.
IV. Закрепление нового материала.
1. Решить устно: № 653
Найдите вписанный угол АВС, если дуга АС, на которую он опирается, равна: а) 48° ; б) 57° ; в) 90° ; г) 124° ; д) 180° ;
2. Решить письменно: № 655, № 656
№ 655
Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов.
№ 656
Хорда АВ стягивает дугу, равную 115° , а хорда АС – дугу в 43° . Найдите угол ВАС.
V. Итоги урока.
Вопросы к учащимся:
- Какой угол называется центральным?
- Чему равна градусная мера центрального угла?
- Какой угол называется вписанным?
- Чему равна градусная мера вписанного угла?
VI. Домашнее задание:
п. 71; № 658.
№ 658
Точки А и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 140° , а большая точкой М делится в отношении 6 : 5, считая от точки А. Найдите угол ВАМ.
