МИНИСТЕРСТВО образования и науки

Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

КАФЕДРА ТЕОРИИ И ТЕХНОЛОГИЙ ПРЕПОДАВАНИЯ

МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

Специальность: 05021 Математика

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

Задачи на построения в курсе основной школы

Работа завершена:

"___"_________ 2016г. ____________________ (А.Н. Аглямова)

Работа допущена к защите:

Научный руководитель

канд. пед .наук, доцент

"___"_________ 2016 г. ____________________ (Н.В.Тимербаева)

Заведующий кафедрой

Д.п.н., профессор

"___"_________ 2016 г. ____________________ (Л.Р. Шакирова)

Казань – 2016

Оглавление

Введение 3

Введение

Изменения в науке, технике и производстве предъявляют новые требования к математической подготовке компетентного, конкурентоспособного выпускника. Проблема формирования конструктивно-геометрических умений и навыков учащихся является важным фактором, способствующим общекультурномуу развитию человека, его готовности к непрерывному образованию и профессиональной деятельности как в технической, так и любой другой сфере.

Актуальность выбранной темы ВКР объясняется тем, что как только ученики начинают выполнять геометрические построения, у них улучшается математическое развитие. Задачи на построение вырабатывают и помогают лучше представить конкретную геометрическую фигуру и дополнительные элементы. Все это помогает развивать пространственное мышление школьников. Также геометрические задачи на построение способны повысить уровень логического мышления, интуиции, внимания, целеустремленности, изобретательности, дисциплинированности и трудолюбия.

Исходя из вышесказанного, проблема исследования состоит в следующем: рассмотрение различных методов решения геометрических задач на построение.

Эта проблема и обусловила тему ВКР «Задачи на построения в курсе основной школы».

Объект исследования - процесс обучения геометрии учащихся 7-9 классов.

Предмет исследования - процесс обучения решению задач на построение.

Цель исследования – научить решать задачи на построение в школьном курсе геометрии.

В соответствии с проблемой, объектом, целью были намечены следующие задачи исследования:

1. провести анализ школьных учебников разных авторов;

2. рассмотреть главные этапы решения задач на построение;

3. рассмотреть методы решения задач на построение;

4. осуществить ознакомление с компьютерной программой GeoGebra;

5.разработать программу элективного курса по теме «назовите правильно!!!!».

Практическая значимость проведенного исследования заключается в использовании элективного курса и компьютерной программы GeoGebra при изучении учащимися темы «Геометрическое построение» на уроках геометрии в средней школе.

Данное исследование будет полезным для учащихся при самостоятельной подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. А также будет полезно для учителей, целью которых является более глубокое и наглядное разъяснения темы.

Структура работы: работа состоит из введения, заключения, трех глав, списка использованных источников и содержит 60 страниц печатного текста.

Глава 1. Методические аспекты обучения решению задач и анализ учебной литературы по геометрии

1.1 Значение задач на построение в школьном курсе

Задачи на построение в геометрии являются традиционными задачами. Помимо того, что они помогают лучше изучить геометрию, так еще и улучшают огромное количество полезных навыков и способностей, которые могут пригодиться как в жизни, так и в изучении других предметов.

Говоря о значении геометрических задач на построение, следует учесть следующие моменты.

I. Систематическое выполнение упражнений на построение дает возможность повторять ранее приобретенные знания по геометрии [9].

И это действительно так. Ведь каждый раз выполняя такое упражнение школьник будет доказывать правильность следующего шага. Каждый шаг он будет обосновывать, опираясь на ранее приобретенные знания. В результате чего они на долго останутся в его памяти.

И из личного опыта знаю, что когда изучаешь новую теорему и следствие, лучше, если они будут сопровождаться задачами на построение.

II. Благодаря задачам на построение школьники вынуждены более глубже и подробнее разобраться в ранее полученных знаниях по геометрии.

С самых первых занятий учащемуся дается определение об окружности как о геометрическом месте точек (ГМТ) на плоскости, равноотстоящих от данной точки на той же плоскости[9].

При дальнейшем углублении в геометрию и решении различных задач учащийся обнаружит, что окружность и её части (дуги) оказываются в то же время и другими геометрическими местами точек.

На самом деле, ученик узнает, что:

1) окружность — ГМТ, из которых каждая является центром окружности данного радиуса, проходящей через данную точку,

2) окружность — ГМТ, из которых данная окружность видна под данным углом,

3) окружность — ГМТ, расстояния которых до двух точек А и В находятся в одном и том же отношении,

4) окружность — ГМТ, сумма квадратов расстояний, которых от двух данных точек есть данная величина и т. д [10].

III.С помощью геометрических задач на построение школьник вспоминает все ранее изученные темы и находит им применение [9].

Приведем пример:

Дан треугольник. Нужно найти в нем такую точку, чтобы из нее все три стороны были видны под одним углом. Чтобы решить эту задачу ученику необходимо вспомнить следующие правила и утверждения:

1) Лучи, выходящие из одной точки, на плоскости образуют прилежащие углы, сумма которых равна 360.

2) Построение угла, равного 120.

3)Построение сегмента, опирающегося на данный отрезок и вмещающего данный угол. [1]

IV. Огромную пользу для изучения черчения приносит выполнение задач на построение. [9]

И это действительно так. Ведь при решении той или иной задачи на построение ученик неизбежно делает несколько операций , прямым образом относящихся к черчению, которые вырабатывают необходимые чертежные навыки. Теперь понятно, почему учителя математики и геометрии в обязательном порядке просят от учеников аккуратных чертежей.

V. Благодаря задачам на построение в стереометрии у учеников улучшается воображение и пространственное представление.[9]

На самом деле, решая замечательные задачи по геометрии, в числе которых упражнения на построение в главной роли, школьники получают много необходимых качеств:

1) умение представлять различные геометрические образы;

2) в уме решать операции над вымышленными геометрическими построениями.

Все эти качества помогут в изучении начертательной геометрии. Развивая пространственное представление с помощью задач на построение , ученику будет легче изучать другие предметы.

VI. Задачи на построение помогают ученикам сосредотачивать свое внимание и улучшают дисциплину в классе.[9]

Учащимся не сложно выполнить геометрические задачи на построение, если его решением является элементарное построение. Когда им требуется решить задачу посложнее, то все их внимание сосредотачивается на условии и свойствах задачи.

Получаемый урок сосредотачивать внимание на примере довольно дорог. Так как он помогает при изучении различных предметов и при решении других вопросов.

VII. Задачи на построение учат школьников в нужное время вспомнить нужную информацию. [10]

Выполняя задачу на построение ученику необходимо не просто все вспомнить по предмету геометрия, а вспомнить именно те разделы, к которому имеет отношение задача.

Допустим, дана задача о построении окружности, касающейся трёх данных окружностей. Учащийся будет вспоминать всё об окружности, пересечении, их касании. При этом он не начнет припоминать другие геометрические тела , формулы и т.д.

Помимо этого, память ученика из спящей хранительницы различной информации преобразуется в активную помощницу, помогающую выполнить множество задач.

VIII. Задачи на построение учат школьников включать воображение, изобретательность. [10]

Пример, необходимо через две данные точки провести окружность, касающуюся данной прямой KL. [2] Первым делом ученик строит приблизительный рисунок (рис.1).

[pic]

Рис. 1 Приблизительный рисунок

[pic]

Рис.2 Приблизительный рисунок с касательным отрезком

Далее, обращая внимания на то, что KL является касательной к искомой окружности, ученик просмотрит в своей голове все, что касается темы касательной.

Здесь он вспомнит теорему, которая звучит так: если из какой-нибудь точки, находящейся вне круга, проведём секущую и касательную к нему, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

На рисунке нет той точки вне круга, из которой проведена секущая и касательная к нему, но ученик рисует её: соединяет точку А с В и продолжает этот отрезок до встречи с прямой KL, в некоторой точке С (рис.2).

По теореме СА*СВ = СТ2

Из данного выражения ученик вычислит отрезок СТ, далее и точку Т, в которой данная прямая KL, должна касаться искомой окружности. Таким образом, к двум данным точкам (А и В) на окружности он присоединяет ещё одну найденную точку T той же окружности. Затем, зная три точки А, В и Т искомой окружности, он легко определяет центр и радиус и чертит её.

В данной задаче не говорилось о секущей. Ученик сам должен был догадаться, чтобы выполнить правильное построение для решения задачи.
Чтобы выполнить сложную задачу на построение ученику нужно достаточно много инициативы и изобретательности.

IX. Задачи на построение обучают школьников проявлять настойчивость и характер для получения нужного результата. [10]

Ученые выявили, что при правильной постановке обучения ученики с желанием выполняют задачи не только из своих учебных программ, но и задачи на построения из различных учебных пособий. Причем на их решение не жалеют потраченного времени и труда.

X. Задачи на построение помогаю ученикам логически думать.[10]

На самом деле, из чего состоит путь выполнения геометрической задачи на построение? У ученика возникает одна цель: начертить необходимое в задаче построение. Для того, чтобы решить эту цель ему необходимо будет вникнуть в условие задачи и вспомнить нужные темы из геометрии. Только самые легкие задачи получится выполнить без особых раздумий. Во многих случаях, прежде чем построить окончательный рисунок, необходимо выполнить пару вспомогательных , которые являются логическими умозаключениями.

Самый первый вспомогательный рисунок строится на основе условия задачи и на различных сведениях, не зная которых нельзя решить данную задачу. Если необходимо построить второй вспомогательный рисунок, то первое вносится в число данных. Выполняя один за другим такие действия, ученик находит окончательное правильное построение. Но не всегда вспомогательные построения могут быть верными и приводить к нужной цели. В таких случаях их просто отбрасывают.

Когда ученик находит требуемое построение, он должен логически доказать верность своих действий, основываясь на учебный материал. А так же выявить, всегда ли данная задача имеет решение.

XI. Учитывая то, что геометрические задачи на построение выполняют большую роль в развитии мышления, надо вводить такие задачи все время, пока длится курс геометрии, от легких до самых сложных. Сделать это несложно, так как всегда можно найти задачу на определенную тему. Для этого необходимо использовать задачи не только из учебников, по которым идет обучение, но и из различных пособий.[10]

1.2 Сравнительный анализ школьных учебников геометрии Александрова А.Д., Погорелова А.В., Атанасяна Л.С

Всем давно понятно, что хорошие результаты в образовании учеников прямым образом зависят от содержания учебной программы, учебника, по которым они обучаются. По каким-то книжкам им заниматься в одно удовольствие (читать, смотреть рисунки, решать задачи). А бывают еще учебники, которые школьники открывают с нежеланием, находят нужную задачу и начинают его равнодушно решать.

В чем же дело? Из-за чего ученики относятся к учебникам по-разному? Несомненно, хороший педагог сможет провести урок на высшем уровне с любым учебником. Но оставим эту точку зрения и попробуем сравнить учебники по геометрии по легкости восприятия и доступности усвоения.

В настоящее время самыми популярными являются книжки следующих авторов: Погорелов А.В., Гусев В.А., Александров А.Д. и др., Атанасян Л.С. и др. Каждый учитель относится по-разному к этим учебникам. Среди высказываний ученых и авторов различных статей можно найти противоположные мнения. Кто-то восхищается подходом автора к изложению курса геометрии, а кто-то считает непригодным для современной школы.

Для того, чтобы сравнить нынешние учебники по геометрии необходимо учесть цели обучения, которые становились ведущими в последнее время. На сегодняшний день логическое мышление школьника не является единственной целью обучения геометрии. Так же делается упор на общекультурные, прикладные, научные цели обучения. При обучении геометрии у ученика должны развиваться такие качества как: интуиция, пространственное и логическое мышление, геометрические умения и навыки.

Безусловно, осуществление целей преподавания геометрии в школе непосредственно сопряжена со структурой курса геометрии. На сегодняшний день основные российские методисты и создатели учебников акцентируют ряд стадий изучения школьного курса геометрии. Академик А.Д. Александров и ученый А.Л. Вернер обучение геометрии в школе разделяют в 3 этапа. В основном этапе: 1-6 кл. геометрия представляется составляющей единого направления математики. В 7-9 кл. проходит высказывание регулярного курса планиметрии, заполненного компонентами стереометрии. А в третьем этапе, т.е. в 10-11кл. направление стереометрии определяется на классы с разной квалификацией (гуманитарные, биологические и др.) [6]

Иной преподаватель – Т. Ходот призывает двойному исследованию курса геометрии: « первый раз в подсознательном уровне и второй раз на точном логическом». Исследование геометрии в подсознательной степени наступает в первоначальной школе, в ходе сюжетно нравоучительных игр. В 5-6 классах ребята вовлекаются в проектирование и представление ведомых геометрических фигур. [13] Исследование планиметрии в 7-9 классах не прекращается на стереометрическом материале, одновременно с надлежащим планиметрическим. В 10-11 классах учащиеся усваивают стереометрию, описанную аксиоматическим способом и пополненную многообразными упражнениями планиметрии и стереометрии.

Бесспорно, в любом этапе преподавания геометрии в школе главной значимостью в достижении запланированных целей преподавания отводится применяемым учебникам. При этом сознается то, что требуется превосходная тренировочная книжка – пособие, который бы включал нужный минимум и материал для современного преподавания. При этом огромную роль играет «наружная обшивка» учебного материала, содержащегося в книге. Предполагаются различные методы управления познавательными действиями, обучающиеся при работе с книгой. Проанализируем многие из них. Обратим интерес в дополнительную знаковую систему учебников, т.е. на значки, которые упрощают занятие ученика при выполнении упражнений. Общеизвестно, что присутствие различных упражнений в учебниках, как варьирующихся по степени трудности, так и креативных предоставляет учащемуся независимость подбора и ускоряет его желание к познаниям. В качестве образцов проанализируем учебник геометрии А.В. Погорелова, учебники А.Д. Александрова и др. и Л.С. Атанасян и др.

Можно отметить, то что в книге А.Д. Александрова и др. имеется последовательность задач: в истоке замечается категория ключевых заданий, а далее категории наиболее несложных и непростых вопросов. Данное разделение обретает отображение в применении специализированных значков с целью обозначения. В книге Л.С. Атанасяна и др. оценивать о трудности задач возможно только прочитав её. Подобная обстановка и в книге А.В. Погорелова. Различие состоит только в том, что к определенным задачкам имеется подсказки - подписано место параграфа, к которой она принадлежит, или задача, подобная с ней, решенная в книге. Создатели любого учебника уделяют огромное внимание образцам выполнения основных задач, извещающих положительный факт, или иллюстрирующих способ либо метод.

Теперь преступим к рассмотрению учебников по задачкам на построение

Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов.[7]

а) 7 класс: включает 4 главы. Тема “Задачи на построение” исследуется в завершении главы 2 “Треугольники”. В данном параграфе находятся пункты “Окружность”, “Построения циркулем и линейкой” и “Примеры задач в построение”. Опираясь на то, что ученики могут с 5 и 6 класса осуществлять главные построения с поддержкой циркуля и линейки, в теме смотрятся задачи на построение такие как: построение отрезка, равного данному; построение угла, равного данному; построение биссектрисы угла, перпендикулярных прямых и середины отрезка. Модель, согласно которой находят решение задачи, не включается. Главная задача главы 2 – проработать умения решения простых задач на построение с поддержкой циркуля и линейки.

В главе 3 “Параллельные прямые” рассматривается построение параллельных прямых с поддержкой чертежного треугольника и линейки, а кроме того с помощью циркуля и линейки согласно установленной прямой и точке.

В главе 4 “Соотношения между сторонами и углами треугольника” рассматривается задача о построении треугольника по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам и по трем сторонам. Эта глава включает полный источник вопросов на построение с целью независимого решения, какой складывается в основном из задач на построение различных треугольников согласно разным составляющим.
Кроме того, в завершении 7 класса существует блок задач на построение. До неё описывается модель, согласно которой выполняют задачи на построение: исследование, построение, подтверждение, изучение. Приводится образец.

б) 8 класс: включает 5 глав. В главе 5 “Четырехугольники” после исследования многоугольника, параллелограмма и трапеции включается блок задач на создание параллелограмма и трапеции, согласно разным составляющим. Перед этим ещё раз проходят повторение схемы решения задач на построение. В данной же главе уже после исследования прямоугольника, ромба и квадрата предполагается выполнение упражнений на их построение.

В главе 7 “Подобные треугольники” смотрятся задачи на построение треугольника, при выполнении которых используется метод подобия (в этом случае треугольников). Кроме того, предлагаются несколько задач на построение треугольников согласно сведениям, с целью самостоятельного выполнения. Главная задача главы 7 – сформировать представление подобных треугольников, развить способность использования признаков подобия треугольников, выработать аппарат выполнения прямоугольных треугольников.

В истоке главы 8 “Окружность” в пункте “Касательная к окружности” выполняется упражнение о проведении касательной к окружности через данную точку. Сообщается о том, что выполнение аналогичных задач базируется на теореме (признаке касательной). Кроме того, в главе исследуются 4 замечательные точки треугольника. Упражнения на построение (касательной к окружности, серединного перпендикуляра к отрезку) включает каждый пункт главы. Главная задача главы 8 – предоставить обучающимся систематизированные данные об окружности и её свойствах, вписанной и описанной окружностях.

В завершении 8 класса в области задач повышенной трудности попадается задача на построение равнобедренной трапеции по основаниям и диагоналям . Кроме того, построения попадаются в задачках на повторение.

в) 9 класс: включает четыре главы. В главе 12 “Длина окружности и площадь круга” в §1 “Правильные многоугольники” рассматривается построение правильных многоугольников. Предлагается с помощью циркуля и линейки вписать в окружность разные правильные многоугольники. Кроме того, построения попадаются в задачках на повторение. Главная задача главы 12 – увеличить и классифицировать познания обучающихся об окружностях и многоугольниках.

В главе 13 “Движения” исследуются симметрии, поворот и параллельный перенос. В завершении главы находятся упражнения на построения, выполнение каковых базируется в выученном использованном материале. Главная задача главы 13 – ознакомить с определением движения на плоскости: симметриями, параллельным переносом, поворотом.

2) А.В. Погорелов. [5]

а) 7 класс: включает 5 параграфов. В §1 “Основные качества простейших геометрических фигур” рассматривается, как выполнить построение параллельных прямых с помощью угольника и линейки. В §2 “Смежные и вертикальные углы” рассматривается, как создать перпендикулярные прямые с помощью угольника и линейки. §5 “Геометрические построения” включает пункт “Что такое задачи на построение”, в котором повествуется о чертежных приборах и о том, что значит выполнить задачу на построение. Схема выполнения не включается. В последующих пунктах смотрятся проблемы в создание треугольника с данными сторонами; угла, равного данному; биссектрисы угла; деление отрезка пополам; построение перпендикуляра к прямой. Затем следуют пункты “Геометрическое место точек”, в котором вводится понятие ГМТ и Теорема о ГМТ, равноудаленных от двух данных точек; и кроме того “Метод геометрических мест”, который показывает суть этого способа. В завершении параграфа доводится несколько задач на построение с целью независимого решения. В основополагающем это задачи на построение треугольника и окружности по данным элементам и задачи на ГМТ. Главная задача §5 –выполнять простые задачи на построение с помощью циркуля и линейки.

б) 8 класс: включает пять параграфов. В завершении §6 “Четырехугольники” находится задача на построение четвертого пропорционального отрезка. Кроме того, имеются несколько задач на построение фигур параллелограмма, ромба и трапеции согласно сведениям. Главная задача §6 – предоставить обучающимся систематизированные данные о четырехугольниках и их свойствах. В §9 “Движение” исследуются геометрические преобразования: центральная и осевая симметрии, поворот, параллельный перенос. В завершении параграфа даются задачи на построение, разрешение каковых базируются на методах данных преображений. Главная задача §9 – представить обучающимся образцы геометрических преобразований.

в) 9 класс: в §11 “Подобие фигур” исследуются геометрические преобразования: подобие и гомотетия. В завершении параграфа даются задания в построение, разрешение каковых базируется на методах данных преобразований. Главная задача §11 – овладеть признаками подобия треугольников и проработать умения их использования. В §13 “Многоугольники” смотрятся построения определенных правильных многоугольников. В завершении существует парочка упражнений: вписать в окружность n-угольник и описать около окружности правильный n-угольник. Главная задача §13 – увеличить и классифицировать данные о многоугольниках и окружностях.

3) А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик [6]

а) 7 класс: включает 3 главы. В главе 1 “Начала геометрии” в §5 “Окружность и круг” находится пункт “Построения циркулем и линейкой”, в котором повествуются чертежные приборы. Здесь же дается задача в построение треугольника, стороны которого равны сторонам данного треугольника. Доводится построение, доказательство и изучение, однако в единой схеме интерес никак не обостряется. §6 “Углы” включает пункт “Построение угла, равного данному, циркулем и линейкой”. С целью независимого решения задачи отсутствует. В §7 “Действия над углами” рассматривается задача на построение биссектрисы угла, которая решает ещё две задачи: в данной точке прямой провести перпендикуляр к ней, построить прямой угол. Кроме того графа включает пункт“Задача о делении угла на равные части циркулем и линейкой”, в котором повествуется о неразрешимости задачи о трисекции угла. Главная задача главы 1 – поведать о задачках регулярного направления геометрии и заложить базу с целью его возведения.

В главе 2 “Треугольники” в §10 “Признаки равенства треугольников” дана на рассмотрение задача о построении треугольника по двум сторонам и углу между ними. В §11 “Серединный перпендикуляр” главными пунктами идут задачи о делении отрезка пополам и о построении перпендикуляра к данной прямой через данную точку, не лежащую на данной прямой. В завершении параграфа находится ряд задач на построение. Главная задача главы 2 – сформировать умения решения задач на построение с поддержкой циркуля и линейки, приступить к ознакомлению симметрии фигур.

В главе 3 “Параллельность” в §13 “Параллельные прямые” исследуется, как создавать параллельные прямые с поддержкой угольника и линейки. В §14 “Аксиома параллельности” рассматривается задача о построении треугольника согласно стороне и 2 прилежащем к ней углам.

б) 8 класс: включает 3 главы. В главе 5 “Метрические соотношения в треугольнике” в § “Применение теоремы Пифагора” находится пункт “Геометрическое место точек”, в котором разъясняется, что значит, если фигура считается ГМТ, владеющих данными свойством. Кроме того доводятся образцы, каковым ГМТ считаются биссектриса и серединный перпендикуляр. Параграф включает подобные проблемы такие как, к примеру, отыскать ГМТ, равноудаленных от прямой на данное расстояние; отыскать ГМТ, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых.

в) 9 класс: включает 2 главы. В главе 7 “Многоугольники и окружности” в задачках с целью независимого решения к §31 “Хорды и касательные” находятся задачи в отыскании ГМТ, с которых этот отрезок заметен под данным углом; задача на построение касательной к окружности из данной точки, единой касательной к двум окружностям. §33 “Правильные многоугольники” включает пункт “Построение правильных многоугольников” с поддержкой циркуля и линейки. Кроме того, в нем повествуется о том, что циркулем и линейкой смогут быть построены не все правильные n-угольники, а только лишь те, у каковых n имеет конкретное разложение. Предполагается решить задачи: вписать в окружность различные правильные n-угольники. В §35 “Площадь круга” повествуется о неразрешимой задаче о квадратуре круга.

В главе 8 “Другие методы геометрии” в §36 “Метод координат” находится пункт “Окружность Аполлония”, в котором решение задачи о ГМТ, отношение расстояний от которых до двух данных точек есть постоянная величина. В §40 “Виды движений” смотрятся “Метод параллельного переноса”, “Метод симметрии” и “Метод поворота”. Доводятся образцы задач в построение, разрешение каковых базируется на данных методах. В задачках с целью независимого постановления к §40 находятся задачи на отработку выученных способов, в том числе задачи на построение трапеции и треугольника согласно сведениям элемента. В §42 “Подобие” рассматривается “Метод подобия”. В качестве образца доводится задача на построение 4-ого пропорционального отрезка. В задачках с целью независимого постановления к §42 находятся задачи на отработку выученного способа, в том числе задачи на построение прямоугольного треугольника по отношению катетов к гипотенузе и по отношению катетов к периметру. Кроме того, задачи: построить квадрат, вписанный в треугольник, ромб, сегмент; построить сегмент, вписанный в равносторонний треугольник, квадрат, окружность. Главная задача главы 8 – представить обучающимся методы, отсутствовавших в традиционной элементарной геометрии, однако имеющих в современной геометрии основную значимость: метод координат, векторный метод, метод преобразований.

Уже можно сделать заключение, что в учебниках для 5-6 классов задачи на построение почти никак не рассматриваются как независимые. Больше всего это задачи в создание фигур согласно установленным размерам. Доля задач на построение абсолютно из всех геометрических задач: 5 класс – 39%, 6 класс – 34%.Ситуация может показаться на первый взгляд довольно радостной. Но в случае, если учитывать то, что непосредственно геометрический материал в учебниках никак не превосходит 13-16% от всего учебника, то в таком случае установленная доля задач на построение опускается вплоть до 4-6% [3].

В абсолютно всех учебниках геометрии для 7-9 класса задачи на построение смотрятся равно как самостоятельные в завершении 7 класса. Исполняются последующие простые построения: деление отрезка пополам; откладывание угла, равного данному; построение биссектрисы угла; построение перпендикуляра к прямой из данной точки, не лежащей на этой прямой. Методом решения задач на построение в учебниках (помимо учебника [7]) рассматривается способ ГМТ. Модель решения доводится в учебниках [7], [8]. В книге [6]модель доводится без рассмотрения. В книге [5] она отсутствует.

В 8-9 классах попадаются задания на построение фигур по каким-либо заданным элементам. Произвольные треугольники и четырехугольники строятся по сторонам и углам. Четырехугольники данных классов (ромбы, квадраты, прямоугольники) – по сторонам и диагоналям. Смотрятся способы описывания и вписывания окружностей в треугольники и четырехугольники.

Алгебраический способ выполнения задач на построение дается только в учебнике [8]. В книжке [6] рассматривается трисекция угла, квадратура круга, окружность Аполлония.

В данной таблице приведен количественный анализ (процент задач на построение) в учебниках:

Класс

Всего задач в учебнике

Из них на построение

Процент от общего числа задач

Александров А.Д. и др. “Геометрия 7-9”

7

33

8

24

8

643

95

15

9

556

89

16

Атанасян Л.С. и др. “Геометрия 7-9”

7

362

90

25

8

448

64

14

9

321

36

11

Погорелов А.В. “Геометрия 7-9”

7

218

42

20

8

298

35

12

9

206

10

5

Разглядывая учебники, можно выделить то , что в них довольно возвышена доля задач на построение в 7 классе, при этом смотрятся обычные и элементарные задачи на построение. Но к 9 классу доля геометрических задач сильно опускается. Может эта обстановка определена тем, что к 9 классу абсолютно у всех подростков сформировано логическое и пространственное мышление, сформированы графические мастерства и умения, они просто и правильно разбирают каждый чертёж, никак не усложняются с его интерпретацией, просто строят любой необходимый чертеж согласно условию задачи? К сожалению, обстановка совершенно не такая. Так как задачи на построение оформляют основу для деятельности, формирующей умения построения фигур, содействующей развитию мастерства прочитывать и осознавать чертёж, определять взаимосвязи между его компонентами, то в таком случае неполноценность данной концепции объясняет плохое формирование пространственного и логического мышления учащегося, незначительный степень его графической культуры. Данные минусы не дают возможность учащемуся продуктивно исследовать те части математики, где сделанная без помощи других и хорошо осознанное графическое толкование считается “лучом света в темном царстве”.

Глава 2. Основные методы решения задач на построение

2.1 Метод геометрических преобразований

  Некоторые геометрические задачи можно решать несколькими способами. Но в разных случаях решения будут разные по понятности и сложности. Геометрические преобразования значительно упрощают целый ряд геометрических задач на доказательство, вычисление и построение.

В своей работе я привожу решения задач на построение с использованием метода симметрии, метода параллельного переноса, метода поворота и метода подобия.

Метод симметрии.

 Может случиться, что фигура, которую требуется построить, имеет точки, симметричные относительно некоторой прямой или точки. В таком случае целесообразно выполнить преобразование симметрии относительно этой прямой или точки.

Проиллюстрируем метод симметрии на следующих примерах.

        Пример 1. Дан угол АВС и точка О внутри него. Провести через точку О прямую, отрезок которой заключенный между сторонами угла,  делился в точке О пополам.

Решение.

        Анализ. Предположим, что задача решена и MN-искомая  прямая (рис1).

[pic]

(рис 1)

Примем точку О за центр симметрии. Тогда точки М и N симметричны относительно точки О. Пусть прямая АВ симметрична АВ относительно точки О. Так как точка М симметрична точке N, лежащей на прямой АВ, то прямая АВ должна пройти через точку М. Таким

образом, точка М должна быть точкой пересечения прямых ВС и АВ.

Построение.

1. Строим прямую АВ, симметричную прямой АВ относительно центра О (для этого находим точку А, симметричную точке А, и В, симметричную В относительно точки О).

2. Находим точку пересечения М прямых ВС и АВ и соединяем её с точкой О. Получим искомую прямую MN.

Доказательство вытекает из анализа и построения , поэтому его опустим.

Исследование.

Из анализа и построения можно сделать вывод о том, что задача всегда имеет только одно решение.

Метод параллельного переноса.

Зачастую построение фигуры делается трудным только лишь потому, что части данной фигуры очень далеки друг от друга, и по этой причине сложно внедрить в чертёж сведения. В таких ситуациях ту или иную часть искомой фигуры переносят либо параллельно себе, либо иным способом, однако на такой промежуток, чтобы снова начерченная фигура имела возможность на построение. Направление подобного перенесения находится в зависимости с требование задачи и обязано подбираться таким образом, чтобы в снова построенную фигуру вошло наибольшее число сведений.

Пример 1. Построить трапецию по заданным сторонам. [19]

Решение. Анализ. Пусть трапеция АВСD построена, ВС= а, АD= b, AB= c, CD= d (рис. 8)

[pic]

Рис.8

Начертим параллельный перенос, определяемый вектором СВ. Тогда сторона СD перейдёт в BD [pic] . Треугольник АВD [pic] можно построить по трём сторонам c, d, b-a (b>a).

Далее продолжим отрезок АD [pic] на D [pic] D = a. Через точку В проведем прямую, параллельную АD и на ней отложим отрезок ВС= а. Соединим точки С и D. Полученная трапеция АВСD – искомая.

План построения очевиден.

Доказательство. В четырехугольнике АВСD BC параллельна AD, значит ABCD – трапеция в которой AB = c, AD =b, так как AD= b – a + a. BD [pic] = CD = d.

Исследование. Треугольник ABD [pic] можно построить по трём сторонам, если c – d < b – a < c + d. При этом условии однозначно выполнимы и все остальные шаги построения. Если же неравенство c – d < b – a < c + d не выполняется, то задача не имеет решения.

Метод поворота.

Метод поворота при в решении задач на построения состоит в том, что отдельные элементы фигуры поворачиваются с целью получения новой фигуры, построение которой известно. Приведем пример, иллюстрирующий применение этого метода.

Пример 4: Даны три параллельные прямые a, b и с. Построить равносторонний треугольник АВС, вершины А, В, С которого лежат на данных прямых.

Решение.

Анализ. Предположим, что задача решена и АВС - искомый (рис.3).

[pic] Так как АВ=АС и ВАС=60⁰, то точка В переходит в точку С при повороте вокруг точки А на угол 60⁰ или на угол -60⁰ (ибо ВАС=+60⁰ или -60⁰). Пусть, например, точка В переходит в точку С при повороте вокруг точки А на угол +60⁰. Точка В лежит на прямой b. Поэтому точка С, получающаяся из нее поворотом вокруг точки А на угол +60⁰ должна лежать на прямой b, получающейся из прямой b поворотом вокруг точки А на угол +60⁰. Кроме того, точка С лежит, по условию, на прямой с. Поэтому точка С есть точка пересечения прямых b и с.

Аналогично, если точка В переходит в точку С при повороте на угол -60⁰ вокруг точки А (рис.2), то С есть точка пересечения прямой с и прямой b, получающейся из прямой b поворотом вокруг точки А на угол -60⁰.

[pic]

Построение.

1) Выберем точку А на прямой а произвольно.

2) Построим прямую b, получающуюся из прямой b поворотом вокруг точки А на угол +60⁰ (рис. 1).

3) В пересечении прямых b и с получаем точку С.

4) Третья вершина искомого треугольника АВС получается из точки С поворотом вокруг точки А на угол -60⁰.

Другое построение мы получим, заменяя поворот вокруг точки А на угол +60⁰ поворотом вокруг той же точки на угол -60⁰ (рис.2).

Доказательство. При повороте вокруг точки А на угол -60⁰ прямая b переходит в прямую b (рис.1). Следовательно, точка С прямой b переходит при этом же повороте в точку, лежащую на прямой b. Иначе говоря, точка В лежит на прямой b. Далее по определению поворота , мы имеем: ВАС=60⁰, АС=АВ. Поэтому АВС - равнобедренный с углом 60⁰ при вершине; следовательно, он -равносторонний. Точно так же доказывается, что равносторонним является и изображенный на рис.2 треугольник.

Исследование. Прямая b (рис.1) не параллельна прямой b , т.к. угол между прямыми b и b равен 60⁰ по свойству поворота. Поэтому прямая b пересечет прямую с, параллельную прямой b, в некоторой точке С. Следовательно, АВС всегда существует. Также всегда существует и изображенный на рисунке 132 треугольник. Поэтому при выбранной точке А задача всегда имеет два решения.(Точка А может быть выбрана на прямой а произвольно).

Метод подобия.

Главная концепция метода подобия складывается в последующем:

Сначала строят фигуру, похожую искомой таким образом, чтобы она удовлетворяла абсолютно всем условиям задачи, помимо одного. Далее строят ранее разыскиваемую фигуру, похожую искомой и удовлетворяющую опущенному требованию.

Метод подобия обретает применение, как правило, в случаях, когда из числа сведений только один считается отрезком, а все другие сведения - или углы, или взаимоотношения отрезков.

Обычно уместно дополнительную фигуру создавать таким образом, чтобы она была подобна не только лишь искомой фигуре, но и подобно расположена с ней. Результат решения находится в зависимости от выбора центра подобия. [16]

При выполнении заданий на построение методом подобия можно воспользоваться следующим замечанием. Если две фигуры подобны, то коэффициент подобия равен отношению любых двух соответствующих отрезков. Если отрезкам a, b, c,… фигуры А соответствуют отрезки a1, b1, c1,… подобной фигуры , то коэффициент подобия равен также отношениям:

[pic] [pic] [pic]

Пример 1. Построить треугольник АВС, если известно отношение АВ: ВС,  АВС и радиус вписанной окружности.[20]

Анализ. Так как в искомом треугольнике известен угол и отношение сторон этого угла, то, оставив остальные условия, построим треугольник, подобный искомому. Для этого на сторонах данного угла отложим BD, равную m каких-нибудь равных частей, и ВЕ, равную n таких же частей, и соединим точки D и E. Тогда искомый треугольник и треугольник DBE подобны, так как они имеют по равному углу, заключённому между пропорциональными сторонами. Проводя в угле АВС отрезки, параллельные DE, будем получать треугольники, подобные искомому, но с различными радиусами вписанных окружностей. Из всех этих треугольников надо выбрать один такой, чтобы радиус вписанной окружности равен r. Определив центр О, легко построить сам треугольник.

Построение.

1. OF  DE;

2. OG = r;

3. Через G проводим AC ║ DE;

4. ∆АВС – искомый.

Доказательство. Следует из построения.

Исследование. Возможное решение всегда одно.

2.2 Метод геометрического места точек

Геометрическим местом точек называется совокупность точек, обладающих свойствами, исключительно им принадлежащими. В случае если задача доводится к определению точки, то возможно оставить одно из условий, которому данная точка обязана удовлетворять; в таком случае выискиваемая точка сможет принять колоссальное число поочередных положений, и все данные утверждения составят геометрическое место точек, владеющих абсолютно всеми требуемыми свойствами, помимо откинутого. Фигура данного геометрического места чаще бывает нам заранее известна; в противоположном случае ее нужно установить добавочными построениями. Далее, приняв откинутое требование и забросив то или иное требование задания, снова узнаем, что искомая точка может осуществить колоссальное число новейших положений, производящих новейшее геометрическое место. Найдем фигуру данного новейшего геометрического места, в случае если она нам неведома. В таком случае, выискиваемая точка обязана находиться и на первом и на втором геометрическом месте, а вследствие того обусловливается их пересечением.

Порой с целью установления точки довольно создать одно геометрическое место, вследствие того то что иное предоставлено в условии задачи. В случае если же выискиваемая точка подчинена подобным условиям, которые все в совокупности характеризуют только лишь одно геометрическое место, в таком случае задача делается неопределённой. [16]

Отсюда заметно, как немаловажно понимать разные геометрические места. Понимание геометрических мест порой дает возможность мгновенно наблюдать, в каком месте пребывает неизвестная точка.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Постройте треугольник, если задана сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон. [19]

Анализ. Пусть ∆АВС уже построен, тогда положение вершин В и С можно считать известным. Остаётся найти вершину А. Выясним свойства точки А. Во-первых, точка А принадлежит лучу (BA), так как дан угол АВС, во-вторых, точка А является вершиной ломанной, состоящей из двух звеньев, сумма которых равна длине данного отрезка, являющегося суммой АВ и АС сторон искомого треугольника.

На продолжении стороны ВА за точку А отложим отрезок АА1, равный отрезку АС. Теперь можно построить треугольник А1ВС по двум сторонам и углу между ними. В равнобедренном (по построению) треугольнике А1АС серединный перпендикуляр к стороне А1С пересечёт луч ВА1 в точке А.

Построение.

1. построить ∆ВА1С по сторонам ВС и ВА1 = АВ + АС и углу между ними;

2. провести серединный перпендикуляр к стороне А1С;

3. найти точку пересечения луча (BA) и построенного серединного перпендикуляра. Точка пересечения и будет искомой вершиной А.

Доказательство. В построенном ∆АВС сторона ВС, сумма сторон АВ и АС, угол В-данные.

Исследование проведём по ходу построения. Треугольник ВА1С по двум сторонам и углу между ними можно построить единственным образом. Провести серединный перпендикуляр к отрезку А1С – тоже единственным образом. Точка пересечения луча (BA) и серединного перпендикуляра существует и она единственная.

2.3 Алгебраический метод

Суть метода состоит в последующем. Разрешение задач на построение объединяется к концепции определенного отрезка (либо нескольких отрезков). Значение искомого отрезка выражают посредством величины известных отрезков с поддержкой формулы. Далее создают требуемый отрезок согласно приобретенной формуле.

Пример . Провести окружность через две точки А и В так, чтобы длина касательной к ней, проведённой из точки С равнялась а.[18]

Анализ. Пусть через точки А и В проведена окружность так, что касательная к ней из точки С равняется а. Так как через три точки можно провести окружность, то проведём СВ и определим положение точки К. Полагаем СК = х и СВ = с; тогда по свойству касательной сх = а².

Построение.

1. для построения х чертим полуокружность на ВС и дугу (С, а);

2. опустим LK  BC;

3. с КС = а²; поэтому х = КС, и точка К будет искомая;

4. восстановив перпендикуляры из середин АВ и КВ до их пересечения найдём искомый центр О;

5. чертим окружность (О, ОА);

МС – искомая касательная.

Доказательство. МС² = СВКС = [pic] и МС = а, как и требовалось.

Исследование. Выражение a  с – условие существования решения нашей задачи, так как только при этом условии дуга (С, а) пересечёт окружность СLB.

2.4 Метод инверсии

Пусть нам предоставлена определенная кривая М и неподвижная точка К – начало либо центр инверсии. Возьмём на кривой М точку А и на прямой КА возьмем точку А1 таким образом, чтобы абсолютное значение КА•КА1 = к2, где к – постоянная длина, в таком случае присутствие движении точки А согласно кривой М точка А1 опишет новейшую кривую N, что именуется обратной либо инвертированной кривой. [16]

Допустим, у нас существует фигура, состоящая из прямых и окружностей. В случае инвертировании данной фигуры, прямые и окружности преобразятся в знакомые прямые и окружности, либо в одни окружности, которые станут пересекаться под теми же углами, равно как и в этой фигуре. В случае если какая-нибудь точка этой фигуры представляла, к примеру, вершину какого-нибудь угла, то в противоположной фигуре она предположит точку пересечения окружностей, пересекающихся под тем же углом. Одним словом, обратная фигура сохраняет вплоть до мелких деталей особую схожесть с этой фигурой.

Зная отображённую фигуру и положение начала инверсии, зачастую возможно просто раскрыть форму главной фигуры; что касается ее величины, то необходимо знать степень инверсии.

Пример. Даны точка К две прямые АВ и ВС. Провести секущую КХY так, чтобы KX·KY = k²(k – есть данная длина).

Анализ. Искомая точка Y есть пересечение прямой ВА с прямой, инвертированной к ВС с центром инверсии К и степенью к².

Построение.

1. опустим KL  BC;

2. на ВС отложим LN = k;

3. проведём MN  KN до пересечения KL в точке М;

4. окружность, описанная на диаметре МК, встретит АВ в искомой точке.

2.5 Общая схема решения задач на построение

Задачи на построение решаются с помощью двух инструментов: циркуля и линейки, и включают в себя 4 основные этапы:

1) Анализ задачи:

а) анализируем исходные данные,

б) ищем связь между этими исходными данными и искомыми элементами,

в) вырабатываем план решения;

2) Построение по намеченному плану;

3) Доказательство, что построенная фигура удовлетворяет всем условиям задачи;

4) Исследование

Первое - это анализ задачи. Здесь мы анализируем исходные данные, ищем связь между этими исходными данными и искомыми элементами, в результате вырабатываем план решения. Второе – построение по намеченному плану. Значит, мы имеем план в результате первого этапа, в результате второго этапа построили нужную фигуру. Третий этап - доказательство, что построенная фигура удовлетворяет всем условиям задачи. И наконец, четвертый этап – это исследование, то есть выясняется число решений, есть ли решение, есть ли искомая фигура, нет ли искомой фигуры и т.д. В простых задачах отдельные этапы могут быть пропущены.

Продемонстрируем и вспомним то решение на конкретной задаче.

Задача 1.

Постройте прямоугольный треугольник АВС, где =90, если известны длины отрезков m и n, на которые гипотенузу рассекает высота CH.

Решение:

Вот есть искомый треугольник (рис 1).

[pic]

(Рис1)

Угол С = 90, СH – высота, высота рассекла гипотенузу на отрезки m и n. То есть где-то у нас есть отрезок АН =n, и отрезок HB=m (рис2).

[pic]

(Рис2)

Итак перед нами 4 этапа.

Анализ задачи. Предположим, что такой треугольник построен (рис1).Все условия выполнены. В результате анализа надо понять, а как такой треугольник построить? Можно взять любую прямую, на ней взять фиксированную точку H, отложить два отрезка заданных, получить А и В. А как вершину С получить? Во-первых, вершина С лежит на перпендикуляре , которую можно провести из вершины H. А еще вспомним свойство прямоугольного треугольника: если я возьму середину гипотенузы, то ОА=ОВ=ОС. Отсюда выясняется, что точка С лежит на окружности с центром в точке О и радиус которой равен половине гипотенузы ( рис 3).

[pic]

(Рис3)

Нам нужно получить точку С. Точка С лежит на пересечении двух линий: первое- середина перпендикуляра С CH, второе- на окружности с центром в точке О и радиусом равным половине гипотенузы. Итак, первый этап Анализ закончен.

Второй этап построение по намеченному плану. Выбираем прямую АВ, на ней точку H. Откладываем от неё отрезок АH=m, и отрезок HB=n. Две вершины треугольника уже есть. Строим перпендикуляр р, который проходит через точку H и перпендикулярен АВ (рис4).

[pic]

(Рис 4)

И второе, проводим окружность с центром в точке О и радиусом R=1/2(m+n). Для этого надо еще построить середину отрезка АВ. Строим окружность, в итоге получаем пересечение в двух точках С,. То есть получили 2 треугольника: АВС и АВ (рис5).

[pic]

(Рис 5)

Хорошо бы понять, что хотя бы один треугольник нам нужный. А именно, АВС, где угол С =90,т.к мы рассматривали свойство, что медиана проведенная к АВ равна её половине СО=1/2 AB. Удовлетворяет ли условиям задачи треугольник? Да, данные отрезки m и n есть, угол С=90(по медиане доказали). Причем мы построили 2 треугольника, удовлетворяющие условию: АВС, АВ. Он подходит аналогично.

Итак, мы треугольник построили. А в чем же заключается исследование задачи? Мы доказали, что оба треугольника подходят под условия задачи. Несложно доказать, что они равны (симметрией или по равенству треугольников). Отсюда следует, что задача имеет единственное решение.

Мы провели все 4 этапа к этой задаче. Рассмотрим следующую задачу.

Задача № 2.

Постройте прямоугольный треугольник по катету, разнице гипотенузы и другого катета.

Решение:

Сказано, что треугольник прямоугольный. Значит один из углов равен 90. Сказано, что один из катетов длиною а. То есть длина катета дана. За с обозначим гипотенузу, за b обозначим другой катет, разность гипотенузы и катета другого равна заданному числу c-b=m. Вот таковы исходные данные.

Анализ. На произвольной прямой отложим отрезок ВС равной а, и из точки С проведем перпендикуляр l. Получим две вершины искомого треугольника АВС и прямую l, где лежит третья вершина А( рис 6).

[pic]

(Рис 6)

Мы использовали, что ВС = а , использовали  С=90, и пока не использовали разность, которая равняется c-b=m. Пусть точка А уже найдена и треугольник АВС уже построен. Замечаем, что если мы отложим С=m, то получим длина А=b+(c-b)=c=AB. Точка А равноудалена от точек и В. А значит лежит на серединном перпендикуляре к отрезку В. Важно, что треугольник ВС мы можем построить по имеющимся данным: по двум катетам а и m( рис 7).

[pic]

(рис 7)

Ну и теперь нам понятен ход решения.

Первое действие. Построим прямоугольный треугольник по двум катетам а и m. Далее, гипотенуза. Строим серединный перпендикуляр к этой гипотенузе. Получаем точку пересечения прямой, содержащий катет m и серединного перпендикуляра р. Точка А точка пересечения прямых р и l существует( рис 8).

[pic]

(Рис 8)

Ну действительно, предположим, что точка А не существует. Имеем В,С, треугольник ВС,серединный перпендикуляр р, прямой угол и угол тоже должен быть прямым. Но это противоречие, потому что угол -это угол прямоугольного треугольника и он не может быть прямым( рис 9).

[pic]

(Рис 9)

Значит прямые р и l пересекаются ,точка А существует. Выясним как расположена точка А по отношению к точке С. Вот имеем рисунок (рис 10). Точка С, точка В, , длина a, m и серединный перпендикуляр p, который дает нам точку А. Понятно из рисунка, что если а > m, то точка А лежит выше, чем точка С. А если а < m, то точка А лежит ниже точки С.

[pic]

(Рис 10)

Заметим, что треугольник не существует, если m ≥ а. Ну действительно, рассмотрим разность m - а =c-b-a=c-(b+a). Сторона, сумма двух других сторон. Сторона должна быть меньше, чем сумма двух других сторон. Значит разность должна быть меньше 0, c-(b+a)<0 по неравенству треугольника. Итак, если m < а, то треугольник существует. Если m > а, то треугольник не существует. Пусть m < a, тогда точка А находится над точкой С. Треугольник существует, можно его нарисовать и обозначить буквами АВС. Полученный треугольник АВС – искомый. Действительно,  С=90 по построению. ВС = а, и гипотенуза АВ минус другой катет АС равняется заданному числу m.

АВ - АС = m.

Задача имеет единственное решение. Действительно, треугольник ВС единственный по двум катетам, серединный перпендикуляр р единственный, точка пересечения p и l единственная.

Вывод: если m ≥ а, то задача не имеет решения, если а > m, то задача имеет единственное решение.

Глава 3. Компьютерная поддержка в обучении задач и составлении факультативного курса

3.1 Роль компьютерных программ при решении задач на построение

Увеличение результативности исследования математики допустимо посредством регулярного применения разных педагогических программных средств (ППС).

В сфере школьного образования взято направление на гуманизацию и демократизацию образования, а основной его мишенью становится формирование личности как ценности сообщества. Одно из течений развития личности ученика, формирования позитивных свойств любого учащегося, его возможных способностей считается применение на уроках ППС по математике. Использование программных средств преподавания математике с учетом заинтересованности и возможности обучающихся будет содействовать становлению всецело сформированной личности.

Одним из методов визуализации математической задачи и ее выполнения, который делает диалог школьника и педагога более легкодоступным и эвристическим, считаются преподавательские программные средства: "Визуальная стереометрия"; "Живая математика"; "GeoGebra"; "Cabri 3D"; "Blender"; "Grand 3D"; "Stereo". Сведения ППС произведены в соответствии с учебной программой по математике для общеобразовательных учебных заведений. Вследствие использования данных программ обучения возможно реализация развивающих методов. В ППС приведено существенное число задач на построение сечений многогранников, наглядно графические изображения и flash-модели, позволяющие ознакомить с пошаговым построением сечений.

ППС предназначен для использования учителем и учениками непосредственно в процессе обучения - на уроках, на занятиях кружка или факультатива, при самостоятельной работе дома, а также для эффективной подготовки к контрольным работам и ВНО. На уроках геометрии можно использовать при объяснении нового материала, закреплении знаний и умений, организации контроля учебных достижений учащихся. Это значительно повысит производительность труда как учителя, так и учащихся за счет наглядности представленного материала.

Подготовленный ППС поможет учителю математики в формировании таких позитивных качеств личности школьника, как умственная активность, познавательная самостоятельность, познавательный интерес, потребность в самообразовании, способности адаптироваться к изменяющимся условиям, инициатива, творчество. Новизну данного материала обеспечивает уникальная классификация задач на построение сечений многогранников.

На сегодняшний день установлено отнюдь не меньше десятка интерактивных геометрических сред (ИГС), созданных в разных государствах. Каждая из них различаются только лишь элементами. В России более популярными считаются «Живая математика», «Математический конструктор», «GEONExT», «GeoGebra». Две последние свободно распространяемые программные продукты.

Главной характерной чертой программы GeoGebra считается присутствие возможности построения динамических чертежей - геометрических конструкций, которые возможно поменять при сохранении алгоритма их построения посредством задания изменений одного либо многих геометрических величин конструкций (параметров).

Достоинства программы «GeoGebra» - моментальное изменение абсолютно всех зависимых построений и замеров при изменении определенных начальных характеристик, то есть дает возможность осуществлять геометрические построения на компьютере подобным способом, что при изменении одного из геометрических объектов другие так же изменяются, удерживая установленные между собой соответствия постоянными; формирование активных и наглядных картинок, диалоговых и динамических обучающих пособий, справочников и экспертных систем, применение объяснений, кнопок, подсказок и ссылок; организация компьютерных исследований и изучений, выдвижение и визуальная проверка гипотез, стимулируя поисково - исследовательскую деятельность обучающихся.

Значительными нюансами использования интерактивной геометрической среды считается легкость и быстрота в построении, оформлении, трансформации; вычислении. Научно-техническими отличительными чертами интерактивной геометрической среды на занятиях геометрии считается применение динамических моделей в целях иллюстрации новых определений, для визуализации ключевых мыслей, применение нетиповых задач, сопряженных с компьютерным конструированием и экспериментом. [21]

Электронное пособие «GeoGebra» позволяет на уроках геометрии:

• строить отрезки, лучи, прямые по двум точкам,

• строить окружности по центру и точке на ней,

• откладывать окружности с данным радиусом,

• откладывать расстояния и углы, равные данным,,

• проводить параллельные и перпендикулярные прямые, биссектрисы,

• строить точки, принадлежащие фигурам,

• находить точки пересечения фигур.

• строить середину отрезка и т. д.

Общие принципы организации компьютерного эксперимента при решении геометрических задач:

1. каждая обговариваемая фигура представляется на экране компьютера; все положения, предполагающие непосредственный контроль (равенство длин и углов, нахождение точки на линии, пересечение линий в одной точке и т. д.) должны быть проверены;

2. ученики сопровождают решение задачи анализом того, в какой мере создаваемые ими положения сохраняются при вариациях исходных элементов чертежа;

3. при варьировании динамического чертежа значительно проще отметить те качества осматриваемой конфигурации, которые являются неизменными, то есть следствия условий, прикладываемых в начальную фигуру;

4. компьютерный эксперимент может подсказать решение задачи, а может помочь оспорить какие-то предположения, выглядящие абсолютно верными;

5. проведение компьютерных экспериментов может быть предложено даже самым слабым обучающимся;

6. важно сосредоточить внимание на понимание условия задачи и возможности средствами программы нарисовать условие; исследование затруднений при работе в интерактивной геометрической среде способен понятнее, нежели в классическом занятии раскрыть математические пробелы.

Введение новейших информационных технологий и компьютерной техники в общеобразовательный процесс дает возможность менять классическую систему образования. Это иметь отношение и к математике, в которой, наравне с классическими формами, методами и средствами обучения, заложены большие возможности с целью использования компьютерных технологий и мультимедийных средств.

3.2. Динамическая геометрическая среда GeoGebra

В данной работе рассматривается работа с русской версией среды GeoGebra.

При запуске окно программы имеет вид, приведенный на рисунке 1

[pic]

Рис. 1

В отличии от других программ в окне программы находится Панель инструментов(1), Панель объектов(2), Место геометрических построений(3) и Строка ввода(4). Чтобы перейти в полотно 3D необходимо в строке меню нажать в кладку Вид(Рисунок 2).

[pic]

Рис. 2

При нажатии на вкладку Полотно 3D GeoGebra переходит в 3D конструктор (Рисунок 3а и 3б).

[pic]

Рис 3а

[pic]

Рис 3б

Расположение свободных объектов возможно менять как угодно, а зависимые могут меняться только с учетом свободных.

В строку ввода входят две части: это естественно Строка ввода, и Список команд, где есть список команд для ввода. Также можно отключить Отображение Списка команд, перейдя в меню Вид.

Отображение Панели объектов и Строки ввода можно выключить в меню Вид. Здесь же возможно включить отображение другого элемента окна программы – Таблицы и одного типа объектов - вспомогательных.

Рассмотрим обучение геометрии с использованием программы «GeoGebra».

При открытии программы GeoGebra на месте геометрических построений находятся координатные оси. При необходимости можно сделать прорисовку координатной сетки с помощью команды Вид - Сетка. Если необходима подробная настройка рабочего места, то следует выполнить команду Настройки - Полотно.

На вкладках Оси и Сетка можно изменить цвет объектов, способы начертания. Для осей возможно указать их обозначение, единиц измерения и т.д.

Разнообразные инструменты для геометрических построений находятся на Панели инструментов. Они разделены на группы, которые скрыты в маленьком треугольнике в нижнем правом углу. Если на него нажать, то раскроется меню, в котором можно выбрать нужный инструмент. При построении геометрических объектов на Панели объектов вся информация вносится автоматически, а объекты выводятся в Области геометрических построений.

Все объекты делятся на свободные и зависимые. К свободным входят все независимые объекты, что значит построенные произвольно в области построений. Зависимые объекты строятся, исходя из имеющихся свободных или зависимых объектов.

[pic]

Рис 4

С целью построения разных объектов применяется Панель инструментов, инструменты в которой разбиты в категории. Осмотрим поочередно существующие в распоряжении пользователя приборы (Рис.4).

С помощью инструмента Перемещать(рис.5) можно менять положение объектов на координатной плоскости. Чтобы выделить сразу пару объектов, необходимо не отпуская клавиши Ctrl последовательно указать на них мышью.

[pic]

Рис 5

Для того, чтобы построить точку необходимо воспользоваться инструментом Точка (рис 6), и указать расположение на плоскости. Она задается парой координат и обозначается заглавной буквой латинского алфавита. Если навести курсор на область построений, то он примет вид крестика, рядом с ним выводятся текущие координаты. Точка имеет синий цвет.

[pic]

Рис.6

Чтобы построить точку на объекте нужно воспользоваться функцией Точка на объекте(рис 6). Когда выбираем этот элемент, необходимо учитывать, что её можно ставить только на объекте, так как не сможет покинуть объекты границы. Зато перемещать точку внутри объекта можно. Эта точка тоже имеет синий цвет.

Для того, чтобы построить точки, которые являются пересечение двух объектов необходимо воспользоваться инструментом Пересечение двух объектов( рис 6).После этого нужно выбрать эти два объекта, точки пересечения которых нужно было построить. Они будут иметь серый цвет и являться зависимыми объектами. При построении середины отрезка необходимо воспользоваться инструментом Середина или центр(рис 6). Далее показать концы отрезка двумя точками или отрезок, середину которого нужно построить. С помощью этого же инструмента можно построить центр геометрической фигуры.

Чтобы прикрепить или снять прикрепленную точку есть функция Прикрепить/Снять точку(рис 6).

Функция Комплексное число(рис6) дает возможность вставить точку на нужную плоскость. Точка окрашивается в синий цвет. Инструменты Прямая по двум точкам, Отрезок по двум точкам, Луч по двум точкам, Вектор по двум точкам (рис.7) строят прямую, отрезок, луч и вектор соответственно по указанию на две точки, через которые проходит нужная линия. Можно выбирать точки, которые уже имеются на чертеже, или показывать мышью, где будут находиться эти точки.

[pic]

Рис. 7

Чтобы построить прямую перпендикулярную данной, необходимо воспользоваться инструментом Перпендикулярная прямая (рис 8), далее показать прямую, к которой будет построена перпендикулярная. И конечно точку, через которую будет проходить прямая. Точно так же строится прямая, параллельная данной, с помощью инструмента Параллельная прямая.

[pic]

Рис 8

Для того ,чтобы построить произвольный многоугольник нужно использовать инструмент Многоугольник(рис.9). Чтобы построить фигуру с его помощью нужно последовательно указать все вершины многоугольника, а дальше указать на вершину, откуда начиналось построение.

[pic]

Рис.9

Есть несколько вариантов, чтобы построить окружность. Первая функция Окружность по точке и оси (рис 10) дает возможность построить окружность в нужной оси, но с неизвестным радиус, то есть произвольную окружность. Вторая функция данной подгруппы это Окружность с центром, радиусом и направлением (рис 10) дает возможность построения окружность с фиксированным центром, направлением и с заданным центром. Чтобы использовать эту функцию необходимо мышкой показать, в каком месте находится центр, далее направление радиуса и под конец вести размер радиуса. Последняя функция данной подгруппы дает возможность построения окружности по трем точкам на любой поверхности оси. Эта функция называется Окружность по трем точкам (рис 10).

[pic]

Рис 10

Данная подгруппа функций позволяет построить плоскости. Функция Плоскость через три точки (рис 11) дает возможность построить плоскость на любой оси через любые три точки. Плоскость имеет серый цвет. Plane (рис 11).

[pic]

Рис.11

Перпендикулярная плоскость, Параллельная плоскость. Эти функции дают возможность построить плоскости перпендикулярные и параллельные соответственно. Для того, чтобы построить перпендикулярную плоскость выбирается точка мышью и перпендикулярная прямая к данной точки. Плоскость строится автоматически. Для построения параллельной плоскости выбирается точка и параллельная плоскость, остальные действия аналогичны построению перпендикулярной плоскости (рис 12).

[pic]

Рис 12

Главными фигурами в геометрии считаются пирамида и призма, именно поэтому данная подгруппа функций для этих фигур. Функции Пирамида и Призма дают возможность построить данные фигуры через любые точки и в любой плоскости оси координат (рис 13).

[pic]

Рис 13

С помощью функций Выдавить пирамиду или конус и Выдавить призму или цилиндр(рис 13) возможности построения увеличиваются в двойне.

Последняя подгруппа функций, которую хочу представить это функции Сфера по точке и центру, Сфера по центру и радиусу, Cone и Cylinder (рис 14). Как видно по названиям эта подгруппа специализируется построению сферических фигур. [21]

[pic]

Рис.14

Рассмотрев все основные элементы для построения, теперь попробуем решить задачу и построение в GeoGebrе:

Дана прямая а, две точки А и В лежат в одной полуплоскости от этой прямой. Требуется найти такую точку С, которая должна лежать на прямой а, и такая должна быть, чтобы АС+ВС принимала бы самое маленькое значение, наименьшее значение из всех других точек, которые лежат на этой прямой. [18]

АА1^а; АМ=А1М

А1В=А1С+СВ=АС+СВ

АХ+ХВ= А1Х+ХВ

А1В<А1Х+ХВ.

АС+СВ<АХ+ХВ

Есть точка А и есть точка В. Возьмем точку А1, симметричную точке А относительно прямой а. Это значит, АА1^а и, если здесь есть точка М, АМ=А1М. Во-первых, перпендикуляр, и, во-вторых, равенство вот этих отрезков.

Берем точку В1, симметричную точке В. То же самое: это равно этому, эти длины равны. Это на самом деле брать необязательно. Важно, что одну точку мы нашли – А1, которая симметрична точке А. Этого достаточно. И соединим точку В и точку А1. Оказывается, получим искомую точку С.(Рис 1) Осталось только доказать, что именно она – искомая, а не какая-нибудь другая.

[pic]

Рис.1

Мы утверждаем, что сумма этих длин АС+СВ будет меньше, чем длина АХ+ХВ. Почему? В силу симметрии мы утверждаем, что А1В=А1С+СВ. Отрезок А1С=АС – это легко доказать, что этот отрезок равен этому отрезку. Значит, А1В=А1С+СВ=АС+СВ.

Итак, длина вот этой ломаной равна длине отрезка, длине прямолинейного отрезка. А длина второй ломанной? АХ+ХВ= А1Х+ХВ. Учтем, что АХ=А1Х, т.е. длина этой ломаной равна длине вот этой ломаной. Но в силу неравенства треугольника А1В<А1Х+ХВ. Значит, АС+СВ<АХ+ХВ. Причем это для любой другой точки Х на прямой, не совпадающей с точкой С. Итак, задача заключалась в следующем: надо было на прямой а найти такую точку С, сумма расстояний от которой до точек А и В была бы самой наименьшей из всех других точек прямой а. Решение: взяли точку симметричную, получили точку А1. Соединили, на пересечении с прямой а получили искомую точку С. Почему эта точка именно искомая? Потому что длина А1В<А1Х+ХВ, т.е. АС<СВ. Это одна из задач на построение.

3.3 Программа элективного курса

для учащихся 9 класса.

Особенности курса

« Решение задач на построение»

К какому виду относится курс?

Курс является предметно – ориентированным.

Какая программа взята за основу?

Программа подготовительного факультатива для учащихся 9 класса
«Методы решения планиметрических задач»,

«Факультативные курсы.

Сборник №2»,

Москва. Просвещение. 1990г.

На какое время рассчитана программа курса?

16 часов

Какой принцип реализуется в преподавании курса?

личностно – ориентированный

С какими целями образования соотносится содержание программы?

• способствовать выбору профиля обучения

• развить способности к самоопределению

• развить мотивацию собственной учебной деятельности

• сформировать ответственность за самостоятельный выбор

Использование информационных технологий в процессе обучения

Для эффективности организации образовательного процесса используется компьютерная презентация некоторых из рассматриваемых тем.

Литература для учителя

Прасолов В. В. «Задачи по планиметрии» М. Наука 1986г.

Фридман «Как научиться решать задачи» 1989г.

Литература для учащихся

Александров А. Д. «Геометрия для 8-9 классов» учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики

Атанасян Л. С. «Геометрия 7-9 класс» М. Просвещение 2002г.

журнал «Математика в школе».

Шарыгин И. Ф. «Сборник задач по геометрии. Планиметрия»

Цели курса:

• оценить учащимися свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы; уточнить готовность и способность осваивать данный материал на повышенном уровне;

• получить учащимися опыт работы на уровне повышенных требований, что способствует развитию учебной мотивации;

• развить интеллектуальные умения: логически и аналитически рассуждать, находить различные пути решения, исследования;

• развить творческие способности, умения работать самостоятельно и в группах, вести дискуссию, аргументировать свою точку зрения и слушать другого.

Учащиеся должны иметь представление:

• о структуре и содержании курса и его месте в общеобразовательной программе;

• о различных методах решения задач на построение;

• о практическом применении данных задач.

Учащиеся должны знать:

• свойства фигур и отношений;

• методы решения задач и их сущность

• структуру процесса решения задач.

Учащиеся должны уметь:

• классифицировать предложенные задачи по методам их решения;

• различать заданные элементы и их характеристики;

• анализировать и исследовать решения задач.

Учащиеся должны владеть:

графическими навыками.

Структура курса

Содержание курса и учебная деятельность: (16 часов)

Часы

Тема занятий

Деятельность учащихся

Проверить знания и умения элементарных построений.

1 ч.

1 ч.

Элементарные геометрические построения.

Применение элементарных построений при решении задач.

Входная диагностика.

Выработать умения работать с условием задачи, находить пути решения,

анализировать и исследовать решение задач.

2ч.

2 ч.

2 ч.

1 ч.

2 ч.

2 ч.

Метод симметрии.

Метод подобия.

Метод геометрических мест точек.

Метод параллельного переноса.

Метод инверсии

Алгебраический метод.

При изучении новых знаний определены следующие виды учебной деятельности:

проблемная,

исследовательская,

индивидуально –

поисковая,

эвристическая.

Выработать умения работать с дополнительной

литературой.

1 ч.

Прием «вставки»

(задача о трисекции угла),

практическое применение задач на построение.

Учащиеся самостоятельно готовят выступления по данным темам.

Проверить усвоение нового материала.

2 ч.

Итоговое занятие.

Зачет по результатам домашних и классных контрольных работ.

Ожидаемые результаты:

В процессе обучения учащиеся приобретают умения разбираться в типах и методах решения задач, анализировать, исследовать, находить пути их решения, выработать практические навыки в решении задач на построение.

Учебно-методическое обеспечение:

1. Входная диагностика

2. Структура решения задач на построение

3. Алгоритм самостоятельной работы по выполнению реферата

4. Темы рефератов

5. Итоговый зачет

6. Конспект урока по теме: «Метод подобия»

Приложение

Входная диагностика:

1. Разделить отрезок пополам.

2. Построить биссектрису угла.

3. Построить угол с вершиной в данной точке, с данной стороной угла, по указанную сторону от нее и равный данному.

4. Построить треугольник по трем сторонам.

5. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

6. Построить треугольник по стороне и двум углам, прилежащим к ней.

7. Построить прямоугольный треугольник по двум катетам, или по катету и гипотенузе, или по катету и острому углу, или по гипотенузе и острому углу.

8. Построить равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности.

9. Построить прямую, касательную к данной окружности и проходящую через данную точку вне этой окружности.

Итоговый зачет:

1. Построить прямоугольный треугольник, если заданы катет и сумма другого катета и гипотенузы.

2. Построить треугольник по основанию и медианам боковых сторон.

3. Построить треугольник, если даны разность сторон а - в и два угла А и В.

4. Дана прямая и две точки: А и В по одну сторону от нее. Найти на прямой точку N такую, чтобы сумма AN + BN была наименьшей.

5. Найти геометрическое место точек, которые являются вершинами треугольников с данным основанием и с данной медианой, проведенной к этому основанию.

6. Дана окружность инверсии радиуса R. Определить фигуру инверсную окружности радиуса R1, концентрической с окружностью инверсии.

7. В треугольник АВС вписать квадрат MQPN так, чтобы две его вершины Q и P лежали на основании ВС, а две другие – на боковых сторонах.

8. Построить треугольник по отношении его сторон а:в, по высоте и углу С.

Структура решения задач на построение:

1. анализ задачи;

2. поиск способа решения;

3. осуществление решения задач;

4. исследование задачи;

5. анализ решения.

Алгоритм самостоятельной работы по выполнению реферата:

1. постановка проблемного вопроса;

2. аргументация;

3. выводы;

4. математическое содержание работы;

5. грамотное изложение;

6. оформление.

Темы рефератов:

1. «Практическое применение задач на построение»

2. «Три задачи древности»

3. «Трисекция угла»

1. Разработка урока по теме: «Метод подобия»

Цели:

1. выработать умения работать с условием задачи;

2. находить пути решения;

3. анализировать и исследовать решение задач.

Ход урока:

1 этап – подготовительный.

Цель данного этапа – сформировать у учащихся умения выделять данные, определяющие единственную фигуру. Выделять данные, определяющие форму фигуры, множества пар подобных между собой фигур, переходить от построенной фигуры к искомой.

Задача 1

Построить треугольник по 2-м углам.

1. Сколько решений имеет задача?

2. Какие элементы определяют форму построенных треугольников?

Задача 2

Назовите подобные треугольники на рисунке 1

Задача 3

Подобны ли треугольники АВС и А1В1С1 на рисунке 2? Чему равен коэффициент подобия?

Какие треугольники определяют форму треугольников на рисунке 2?

Можно ли определить размеры одного из треугольников на рис.2, если известны:

1. углы при основании треугольников

2. высота треугольника

3. сторона и углы при основании?

2 этап - ознакомительный

Цель данного этапа – разъяснить учащимся структуру процесса построения методом подобия.

Объяснение начинается с задачи.

Задача 1

Построить треугольник по двум данным углам и биссектрисе длины d, проведенной из вершины третьего угла.

Анализируя задачу с учащимися, учитель предлагает вопросы:

1. Какие данные определяют форму искомого треугольника?

2. Какие данные определяют размеры искомого треугольника?

3. Сколько треугольников можно построить по двум углам?

4. Какой отрезок нужно провести в треугольнике, подобном искомому?

5. Как построить искомый треугольник?

Ответы на вопросы сопровождаются выполнением на доске чертежа от руки.

Далее составляется план построения и выполняется само построение.

Учитель обращает внимание учащихся на то, что, выполняя построения, они выполняли следующий алгоритм:

3 этап – формирующий умения

Цель данного этапа – формирование умений решать задачи данного типа. Основная форма деятельности на этом этапе – индивидуально-поисковая. Сначала учащиеся сопровождают каждую операцию объяснением того, какой пункт алгоритма выполняется. Далее их деятельность становится самостоятельной. Пример работы по алгоритму:

Задача 2

Даны отрезки а, в, с. Постройте треугольник АВС так, чтобы выполнялись условия АВ:АС = а:в и АВ = ВС = с .

Данные, определяющие форму треугольника, должны совпадать с условием одного из признаков подобия треугольников. Величины углов искомого треугольника неизвестны, значит, должно быть известно отношение трех сторон. Из условия задачи следует, что для треугольника А1В1С1,подобного данному, должно выполняться : А1В1 : А1С1 = а : в и А1В1 = В1С1. Следовательно,

А1В1 : В1С1 : А1С1 = а : в : с.

1. Данные, определяющие размеры искомого треугольника: АВ = с, ВС = с.

2. Построить треугольник А1В1С1 (по трем сторонам а, в, с), подобный искомому.

3. Отложить от точки В1 отрезок В1С = с.

4. Построить искомый треугольник: провести через точку С прямую параллельно А1С1, построить точку А.

5. Треугольник АВС искомый.

4 этап – совершенствующий знания

Цель данного этапа – перенос сформированного умения на более сложные задачи.

Цель данного этапа Задача 3

В данный угол ABC вписать окружность, которая проходила бы через данную внутри этого угла точку М

Заключение

В данной работе сделано исследование учебных программ, учебной и учебно-методичной литературы по геометрии, в процессе которого обнаружены подобия и отличия согласно данной теме. Разглядывая учебники, можно выделить, то что в них довольно высок процент задач на построение в 7 классе, причем рассматриваются стандартные и простые задачи на построение. Но к 9 классу процент геометрических задач на построение сильно опускается. Так как задачи на построение составляют основу для работы, формирующей умения построения фигур, содействующей развитию мастерства прочитывать и воспринимать чертеж, определять взаимосвязи между его частями, то неполноценность данной системы объясняет плохое формирование пространственного и логического мышления учащегося, незначительный степень его графической культуры. Данные минусы не дают возможность учащемуся продуктивно исследовать многие разделы математики.

Рассмотрены основные методы и общая схема решения задач на построение. Подчеркнем, что нужно ознакомлять учащихся с самими методами и учить определять, каким из них можно выполнить заданное упражнение.

В работе рассмотрена компьютерная поддержка, которая значительно повышает производительность труда как учителя, так и учащихся за счет наглядности представленного материала.

Так же составлены элективные занятия на изучение методов решения задач на построение.

Из данной работы можно подчеркнуть то, что:

1. необходимо предоставлять больше заинтересованности освоению задач на построение, так как при грамотном применении они считаются сильным орудием формирования логического мышления обучающихся;

2. геометрические задачи на построение не нужно расценивать как что-то раздельное, независящее от прочего курса геометрии.

Процессы обучения решению задач и исследование геометрии прочно сплетены. При этом взаимосвязь данная обязана являться двусторонней, то есть нужно не только лишь учить решению задач на построение, применяя прежде приобретенные познания, но и, напротив, применять конструктивные задачи при исследовании геометрии.

Список литературы

1. Александров, И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями / И.И.Александров. – М.: Учпедгиз,1994.

2. Аргунов, Б.И. Элементарная геометрия: учеб. пособие для пед. ин-тов / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. – М.: Просвещение, 2008.

3. Белошистая, А.В. Задачи на построение в школьном курсе геометрии / А. В. Белошистая // Математика в школе. – 2011. – №9. – С. 47-50.

4. Геометрия: доп.главы к шк.учеб.8 кл.: учеб.пособие для учащихся шк.и классов с углубл.изуч.математики / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Д. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2012.

5. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений / А. В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2012.

6. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение, 2012.

7. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк / Л. С. Атанасян. – М.: Просвещение, 2012.

8. Геометрия: Планиметрия: 7-9 кл.: учебник и задачник / А. П. Кисилев, Н.А. Рыбкин. – М.: Дрофа, 2005.

9. Изучение личности школьника / под. ред. Л.И. Белозеровой. – Киров, Информационный центр, 2014.

10. Коновалова, В.С. Решение задач на построение в курсе геометрии как средство развития логического мышления / В.С. Коновалова, З.В. Шилова // Познание процессов обучения физике: сборник статей. Вып.9. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2008. – С. 59-69.

11. Мазаник, А.А. Задачи на построение по геометрии в восьмилетней школе. Пособие для учителей / А.А.Мазаник. – Минск: Народная асвета, 1967.

12. Математика: учеб. для 5 кл. общеобразовательных учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Сайтком, 2011.

13. Математика: учеб. для 6 кл. общеобразовательных учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Сайтком, 2012.

14. Математика: учеб. для 5 кл. общеобразовательных учреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. – М.: Просвещение, 2009.

15. Математика: учеб. для 6 кл. общеобразовательных учреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др. – М.: Дрофа, 2011.

16. Мисюркеев, И.В. Геометрические построения. Пособие для учителей / И.В.Мисюркеев. – М: Учпедгиз, 1950.

17. Общая психология: учеб. для студентов пед. ин-тов / под ред. А. В. Петровского. – М.: Просвещение, 1986.

18. Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии. Ч.1 / В.В. Прасолов. – М.: Наука, 1991.

19. Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии. Ч.2 / В.В. Прасолов. – М.: Наука, 1991.

20. Шарыгин, И.Ф. Задачи по геометрии (Планиметрия) / И.Ф. Шарыгин. – М.: Наука, 2009.

21. Иванчук Н.В., Эйкен О.В., Мартынова Е.В. Использование программы GeoGebra на уроках математики в 7-11 классах: Методическое пособие. – Мурманск: МГПУ, 2008.-36 с.

Заключительный лист

Подпись автора_______________________

Дата_________________________________

Квалификационная работа допущена к защите

Назначен рецензент_______________________________________________

Заведующий кафедрой ____________________

Дата ____________________________________

Защита в ГАК с оценкой

«____________________»

Дата ________________

Секретарь ГАК _________