Учитель математики Кожахметова Клара Есмаганбетовна
Упражнения на закрепление и проверки знаний по теме «Прогрессии»
Пример1.Найдите номер члена арифметической прогрессии, равного 47, если [pic]
Решение:
[pic]
Ответ:11.
Пример2. Найдите первый член арифметической прогрессии, если [pic] , [pic] .
Решение:
[pic] .
48=23+5d;
5d=48-23;
5d=25;
d=25:5;
d=5.
[pic]
Ответ: -2.
Пример3. Найдите разность арифметической прогрессии, если [pic]
Решение
а [pic]
67=7+15d;
15d=67-7;
15d=60;
d=60:15;
d=4.
Ответ d=4.
Пример4. В арифметической прогрессии [pic] .
Найдите а [pic] .
Решение: [pic] ; [pic] Ответ:1.
Пример5.Между числами 8 и 26 вставьте пять чисел, которые вместе с данными числами составят арифметическую прогрессию.
Решение:
8; [pic] .
[pic] Ответ: 11; 14;17;20;23.
Пример6. В арифметической прогрессии а [pic] Найдите [pic]
Решение: а [pic]
Ответ:102.
Пример7. В арифметической прогрессии [pic] , [pic] , [pic] .
Найдите n.
Решение: [pic] Ответ:n=8
Пример8. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 6 и не превышающих 70.
Решение.
Из условия следует:
: [pic]
Ответ:396.
Пример9. В арифметической прогрессии [pic] , [pic] .
Найдите d.
Решение:
[pic]
Ответ:8.
Пример10. Сколько членов арифметической прогрессии
105, 98, 91, … нужно взять , чтобы их сумма была равна нулю?.
Решение:
Из условия следует , что а [pic] , [pic] .
Значит d= [pic]
[pic]
Ответ: 31.
Пример11.Найти сумму десяти первых членов арифметической прогрессии [pic] .
Решение:
Так как
[pic]
Ответ: 230.
Пример 12. В арифметической прогрессии [pic] , [pic] = 16.
Найдите а [pic] .
Решение:
По признаку арифметической прогрессии: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних с ним членов, имеем:
[pic]
Ответ: 15,6
Пример13.Найти сумму 19 первых членов арифметической прогрессии, если известно, что [pic]
Решение:
[pic] ..
Ответ:1064.
Пример14.Найдите пятый член геометрической прогрессии, в которой [pic] , [pic]
Решение:
[pic]
Разделим первое уравнение на второе: q=2; b [pic] ;
b [pic] ; [pic] .
Ответ: 48.
Пример15. Между числами 243 и 1 поместите четыре числа , которые вместе с данными числами образовали бы геометрическую прогрессию.
Решение:
243; b [pic]
[pic] [pic]
[pic]
Ответ: 81; 27;9;3.
Пример16.Последовательность 3; 6; … - геометрическая прогрессия. Найдите [pic] .
Решение:
[pic]
Ответ: 189.
Пример17.Найдите [pic] геометрической прогрессии, если [pic] и [pic] .
Решение:
Пользуясь признаком геометрической прогрессии [pic] найдем b [pic]
Ответ: 24
Пример18.Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если [pic] и [pic] .
Решение:
[pic]
Ответ: [pic]
Пример19. В арифметической прогрессии [pic] и [pic]
Найдите [pic] и d.
Решение.
[pic] ; [pic] ; [pic] ; 42= [pic] ; [pic] ; [pic] ; 2 [pic] ; (*) [pic] ; 132= [pic] ;
[pic] :4 ; [pic] ; [pic] (**).Подставив значение
[pic] равенства (*) в равенство (**) получим:
[pic] 33-7d; -3d+7d=33-21; 4d=12; d=12:4=3.
Найдем значение [pic] из равенства (*).
[pic]
Ответ: [pic]
Пример 20. Дана арифметическая прогрессия -18; -14; -10; ….
Укажите номер её первого положительного члена.
Решение.
Так как данная последовательность является арифметической и каждый член начиная со второго больше предыдущего на 4, то получим последовательность: -18;-14; -10; -6; -2; 2;..
Значит , шестой член данной последовательности является положительным числом.
Ответ:n=6.
Пример 21. В геометрической прогрессии [pic] и [pic]
Найдите [pic] .
Решение:
[pic] и [pic]
[pic]
[pic]
Ответ:±6
Пример 22. Дана арифметическая прогрессия (а [pic] , где
[pic] . Найдите сумму её членов с 11-го по 20-й включительно.
Решение:
Так как [pic] , найдем [pic] и [pic] .
[pic] [pic] . Число членов , начиная с 11-го по 20 –й включительно , равно 10.Значит надо найти сумму десяти членов данной прогрессии, где первым членом будет [pic] .
[pic]
Ответ: 320.
Пример23. Дана бесконечная геометрическая прогрессия (с [pic] с суммой 42 и знаменателем [pic] .Найти [pic] .
Решение:
Найдем [pic] по формуле [pic] .
[pic]
Ответ:24.
Пример24. В арифметической прогрессии [pic]
Найдите число её членов и сумму n первых членов.
Решение.
[pic]
[pic]
Ответ: -1975.
Пример25. Найдите сумму шести членов геометрической прогрессии, у которой второй член равен (-2) , а пятый член
равен 16.
Решение:
По условию известно, что прогрессия является геометрической, у которой [pic] . Вычислим значение q.
[pic] [pic] ; [pic] [pic] :
Найдем [pic] по определению геометрической прогрессии.
[pic] ; [pic] .
Зная [pic] и q можно найти сумму шести членов данной прогрессии.
[pic] .
Ответ:21
Пример26. Является ли число [pic] членом геометрической прогрессии 4; 2; 1; …? Если является, то укажите его номер.
Решение.
[pic] [pic] ; [pic] . Зная ,значение [pic] и [pic] найдем q .
q= [pic] Найдем номер члена данной геометрической прогрессии пользуясь формулой n-го члена геометрической прогрессии.
[pic]
Ответ :является, n=8.
[pic]
