1. Пояснительная записка

1.1. Нормативные документы, обеспечивающие реализацию программы

1.2. Общая характеристика учебного предмета

Геометрия – один из важнейших компонентов математического образования. Она необходима для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры, эстетического воспитания учащихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия доказательства.

В курсе геометрии 8-го класса продолжается решение задач на признаки равенства треугольников, но в совокупности с применением новых теоретических факторов. Теореме о сумме углов выпуклого многоугольника позволяет расширить класс задач. Формируется практические навыки вычисления площадей многоугольников в ходе решения задач. Особое внимание уделяется применению подобия треугольников к доказательствам теорем и решению задач. Даются первые знания о синусе, косинусе и тангенсе острого угла прямоугольного треугольника. Даются учащимся систематизированные сведения об окружности и её свойствах, вписанной и описанной окружностях. Серьезное внимание уделяется формированию умений рассуждать, делать простые доказательства, давать обоснования выполняемых действий. Параллельно закладываются основы для изучения систематических курсов стереометрии, физики, химии и других смежных предметов.

Курс характеризуется рациональным сочетанием логической строгости и геометрической наглядности. Увеличивается теоретическая значимость изучаемого материала, расширяются внутренние логические связи курса, повышается роль дедукции, степень абстрактности изучаемого материала. Учащиеся овладевают приемами аналитико-синтетической деятельности при доказательстве теорем и решении задач. Систематическое изложение курса позволяет начать работу по формированию представлений учащихся о строении математической теории, обеспечивает развитие логического мышления школьников. Изложение материала характеризуется постоянным обращением к наглядности, использованием рисунков и чертежей на всех этапах обучения и развитием геометрической интуиции на этой основе. Целенаправленное обращение к примерам из практики развивает умения учащихся вычленять геометрические факты, формы, и отношения.

1.3. Основные цели и задачи

Цели изучения курса:

• способствовать овладению системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

• формировать качества личности необходимые человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственные математической деятельности: ясность и точность мысли, критичность мышления, интуицию, логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, умение преодолевать трудности, доводить начатое дело до конца;

• формировать представления об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;

• помочь приобрести опыт исследовательской работы;

• воспитывать культуру личности, отношение к математике как к части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии.

Задачи курса:

• Научить пользоваться геометрическим языком для описания предметов.

• Рассмотреть фигуру – четырёхугольник – с различных позиций (виды четырёхугольников, выделить элементы в четырёхугольниках, вывод формул для вычисления площади параллелограмма, квадрата, прямоугольника, ромба, трапеции).

• Выявить соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника – теорема Пифагора, а также соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

• Сформировать понятие – подобные треугольники. Научить применять подобие, а также признаки подобия треугольников при доказательстве других теорем и решении задач.

• Ввести тригонометрические понятия синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике научить применять эти понятия при решении прямоугольных треугольников;

• Сформировать понятие окружности и её элементов – касательной, центрального и вписанного углов. Рассмотреть виды окружности – вписанная и описанная.

• Использовать геометрические инструменты для решения задач на построение. Научить проводить анализ геометрических задач на построение.

• Выделить основные методы доказательств, с целью обоснования (опровержения) утверждений и для решения ряда геометрических задач.

• Научить проводить рассуждения, используя математический язык, ссылаясь на соответствующие геометрические утверждения.

• Использовать алгебраический аппарат для решения геометрических задач.

1.4. Характеристика класса

Приложение № 1

1.5. Место предмета в учебном плане

Согласно действующему в школе учебному плану на изучение геометрии в 8 классе отводится 2 учебных часа в неделю, всего 68 уроков.

Из них:

• повторение на начало года – 2 часа;

• повторение – 2 часа,

• контрольные работы – 5 часов.

1.6. Используемый УМК

1. Геометрия: учебник для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2010

2. Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: метод, рекомендации: кн. для учителя / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков и др. - М.: Просвещение, 2008г.

3. Н. Ф. Гаврилова Поурочные разработки по геометрии 8 класс, Москва, «ВАКО», 2008 год

4. Г.Ю. Ковтун Технологические карты уроков по геометрии 8 класс по учебнику Л.С. Атанасяна, Учитель, 2015г.

5. Э.Н. Балаян Геометрия задачи на готовых чертежах, Феникс, 2011г.

2. Содержание учебного предмета, курса

2.1. Структура курса

Тема раздела

Кол-во часов

Четырехугольники

14

Площадь

14

Подобные треугольники

20

Окружность

16

Повторение

4

2.2. Содержание учебного материала

Глава 5. Четырехугольники (14 часов)

Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник. Параллелограмм, его свойства и признаки. Трапеция. Прямоугольник, ромб, квадрат, их свойства. Осевая и центральная симметрии.

Контрольная работа № 1 по теме «Четырехугольники»

Цель: изучить наиболее важные виды четырехугольников — параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапецию; дать представление о фигурах, обладающих осевой или центральной симметрией.

Доказательства большинства теорем данной темы и решения многих задач проводятся с помощью признаков равенства треугольников, поэтому полезно их повторить, в начале изучения темы.

Осевая и центральная симметрии вводятся не как преобразование плоскости, а как свойства геометрических фигур, в частности четырехугольников. Рассмотрение этих понятий как движений плоскости состоится в 9 классе.

Глава 6. Площадь (14 часов)

Понятие площади многоугольника. Площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции. Теорема Пифагора.

Контрольная работа № 2 по теме «Площади фигур»

Цель: расширить и углубить полученные в 5—6 классах представления обучающихся об измерении и вычислении площадей; вывести формулы площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции; доказать одну из главных теорем геометрии — теорему Пифагора.

Вывод формул для вычисления площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции основывается на двух основных свойствах площадей, которые принимаются исходя из наглядных представлений, а также на формуле площади квадрата, обоснование которой не является обязательным для обучающихся.

Нетрадиционной для школьного курса является теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. Она позволяет в дальнейшем дать простое доказательство признаков подобия треугольников. В этом состоит одно из преимуществ, обусловленных ранним введением понятия площади. Доказательство теоремы Пифагора основывается на свойствах площадей и формулах для площадей квадрата и прямоугольника. Доказывается также теорема, обратная теореме Пифагора.

Глава 7. Подобные треугольники (20 часов)

Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Контрольная работа № 3 по теме «Признаки подобия треугольников».

Контрольная работа № 4 по теме «Подобные треугольники».

Цель: ввести понятие подобных треугольников; рассмотреть признаки подобия треугольников и их применения; сделать первый шаг в освоении учащимися тригонометрического аппарата геометрии.

Определение подобных треугольников дается не на основе преобразования подобия, а через равенство углов и пропорциональность сходственных сторон.

Признаки подобия треугольников доказываются с помощью теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.

На основе признаков подобия доказывается теорема о средней линии треугольника, утверждение о точке пересечения медиан треугольника, а также два утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике. Дается представление о методе подобия в задачах на построение.

В заключение темы вводятся элементы тригонометрии — синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Глава 8. Окружность (16 часов)

Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности, ее свойство и признак. Центральные и вписанные углы. Четыре замечательные точки треугольника. Вписанная и описанная окружности.

Контрольная работа № 5 по теме «Окружность».

Цель: расширить сведения об окружности, полученные учащимися в 7 классе; изучить новые факты, связанные с окружностью; познакомить обучающихся с четырьмя замечательными точками треугольника.

В данной теме вводится много новых понятий и рассматривается много утверждений, связанных с окружностью. Для их усвоения следует уделить большое внимание решению задач.

Утверждения о точке пересечения биссектрис треугольника и точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника выводятся как следствия из теорем о свойствах биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку. Теорема о точке пересечения высот треугольника (или их продолжений) доказывается с помощью утверждения о точке пересечения серединных перпендикуляров.

Наряду с теоремами об окружностях, вписанной в треугольник и описанной около него, рассматриваются свойство сторон описанного четырехугольника и свойство углов вписанного четырехугольника.

Повторение. Решение задач. (2 часа)

Цель: Повторение, обобщение и систематизация знаний, умений и навыков за курс геометрии 8 класса.

3. Основные требования к уровню подготовки учащихся

Глава 5. Четырехугольники

ЗНАТЬ: Какой многоугольник называется выпуклым, находить периметр выпуклого многоугольника, определение параллелограмма, трапеции, формулировки свойств и признаков параллелограмма и равнобедренной трапеции, определение прямоугольника, ромба, квадрата, формулировки их свойств и признаков, определение осевой и центральной симметрии.

УМЕТЬ: Вывести формулу суммы углов выпуклого многоугольника, доказывать свойства и признаки параллелограмма и равнобедренной трапеции и применять их на практике, доказывать теоремы – характеризующие признаки прямоугольника, ромба, квадрата, и применять их на практике, строить симметричные точки т распознавать фигуры, обладающие осевой и центральной симметрией.

Глава 6. Площадь

ЗНАТЬ: Основные свойства площадей и формулу для вычисления площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции, квадрата; теорема об отношении площадей треугольника, имеющий равные углы и применять её на практике; теорему Пифагора и обратную теорему.

УМЕТЬ: Выводить формулы площади и применять их на практике; доказывать теорему Пифагора и обратную теорему; применять при решении задач.

Глава 7. Подобные треугольники

ЗНАТЬ: Определение пропорциональных отрезков и подобных треугольников; теорему об отношении площадей подобных треугольников и свойства биссектрисы треугольника; признаки подобия треугольников; теорема средней линии треугольника; о точке пересечения медиан треугольника и пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике; определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника и их значения для углов 30^о, 45^о, 60^о.

УМЕТЬ: Доказывать признаки подобия треугольников и применять их на практике при решении задач; с помощью циркуля и линейки делить отрезок в данном отношении и решать задачи на построение методом подобия; доказывать основное тригономическое тождество.

Глава 8. Окружность

ЗНАТЬ: Возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности; определение касательной; свойства и признак касательной; определение центрального и вписанного углов; как определять градусные меру дуги и окружности; теорема о вписанном угле; следствия из неё; теорему об отрезках, пересекающих хорду; определение вписанной окружности в многоугольник и описанной окружности около многоугольника; теорему окружности вписанной в треугольник и описанной около треугольника; свойства вписанного и описанного в прямоугольник, какая описанная около треугольника; свойства вписанного и описанного четырехугольника; уметь применять факты на практике.

УМЕТЬ: Применять теоремы о биссектрисе угла о серединном перпендикуляре к отрезку; их следствия, а также теорему о пересечении высот треугольника.

4. Система оценивания

Оценка устных ответов обучающихся

Ответ оценивается отметкой «5», если ученик:

• полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренном программой и учебником;

• изложил материал грамотным языком в определенной логической последовательности, точно используя математическую терминологию и символику;

• правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;

• показал умение иллюстрировать теоретические положения конкретными примерами, применять их в новой ситуации при выполнении практического задания;

• продемонстрировал усвоение ранее изученных сопутствующих вопросов, сформированность и устойчивость использованных при ответе умений и навыков;

• отвечал самостоятельно без наводящих вопросов учителя.

Возможны одна – две неточности при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил по замечанию учителя.

Ответ оценивается отметкой «4», если он удовлетворен в основном требованиям на отметку «5», но при этом имеет один из недостатков:

• в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие математического содержания ответа, исправленные по замечанию учителя.

• допущены ошибки или более двух недочетов при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил по замечанию учителя.

Отметка «3» ставится в следующих случаях:

• неполно или непоследовательно раскрыто содержание материала, но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для дальнейшего усвоения программного материала (определенные «Требованиями к математической подготовке учащихся»).

• имелись затруднения или допущены ошибки в определении понятий и, использовании математической терминологии, чертежах, выкладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов учителя;

• ученик не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности по данной теме;

• при знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность умений и навыков.

Отметка «2» ставится в следующих случаях:

• не раскрыто основное содержание учебного материала;

• обнаружено незнание или непонимание учеником большей или наиболее важной части учебного материала;

• допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.

Оценка письменных работ обучающихся

Отметка «5» ставится в следующих случаях:

• работа выполнена полностью.

• в логических рассуждениях и обоснованиях нет пробелов и ошибок;

• в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала);

Отметка «4» ставится, если:

• работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умения обосновывать рассуждения не являлись специальным объектом проверки);

• допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки);

Отметка «3» ставится, если:

• допущены более одной ошибки или более двух- трех недочетов в выкладках, чертежах или графика, но обучающийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

• допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не владеет обязательными знаниями по данной теме в полной мере.

Общая классификация ошибок

При оценке знаний, умений и навыков учащихся следует учитывать все ошибки (грубые и негрубые) и недочёты.

Грубыми считаются ошибки:

• незнание определения основных понятий, законов, правил, основных положений теории, незнание формул, общепринятых символов обозначений величин, единиц их измерения;

• незнание наименований единиц измерения;

• неумение выделить в ответе главное;

• неумение применять знания, алгоритмы для решения задач;

• неумение делать выводы и обобщения;

• неумение читать и строить графики;

• неумение пользоваться первоисточниками, учебником и справочниками;

• потеря корня или сохранение постороннего корня;

• отбрасывание без объяснений одного из них;

• равнозначные им ошибки;

• вычислительные ошибки, если они не являются опиской;

• логические ошибки.

К негрубым ошибкам следует отнести

• неточность формулировок, определений, понятий, теорий, вызванная неполнотой охвата основных признаков определяемого понятия или заменой одного - двух из этих признаков второстепенными;

• неточность графика;

• нерациональный метод решения задачи или недостаточно продуманный план ответа (нарушение логики, подмена отдельных основных вопросов второстепенными);

• нерациональные методы работы со справочной и другой литературой;

• неумение решать задачи, выполнять задания в общем виде.

Недочетами являются:

• нерациональные приемы вычислений и преобразований;

• небрежное выполнение записей, чертежей, схем, графиков.

5. Учебно-методическое и материально-техническое обеспечение

Для проведения уроков математики имеется кабинет математики.

Оснащение процесса обучения математике обеспечивается библиотечным фондом, печатными пособиями, а также информационно-коммуникативными средствами, техническими средствами обучения.

1. Библиотечный фонд (книгопечатная продукция):

   • Нормативные документы: Примерная программа основного общего образования по математике, Планируемые результаты освоения программы основного общего образования по математике, стандарт основного общего образования, Федеральный государственный стандарт основного общего образования (проект).

   • Авторские программы по курсу геометрии в 7-9 классах.

   • Учебник по геометрии для 7-9 классов.

   • Научная, научно-популярная, историческая литература.

   • Справочные пособия (энциклопедии, справочники по математике).

   • Методические пособия для учителя.

2. Печатные пособия:

   • Таблицы по геометрии для 7-9 классов.

   • Портреты выдающихся деятелей математики.

3. Технические средства обучения:

• Компьютер • Колонки

• Проектор

4. Учебно-практическое оборудование:

• Комплект чертёжных инструментов классных: линейка, транспортир, угольник (30°, 60°). угольник (45°, 45°), циркуль.

5. Оборудование кабинета математики

• Столы ученические -15 шт. • Стол учительский - 1шт.

• Стулья ученические – 30 шт. • Доски классные - 1 шт.

• Тумбочка

• Шкафы книжные - 2 шт.

6. Информационные ресурсы

1. [link] Совершенствовать навыки решения задач на применение теории подобных треугольников.

   Практические приложения подобия треугольников Подобие произвольных фигур

   П. 65, № 580, № 581.

   18.02

   
   

   44/14

   Задачи на построение методом подобия.

   Выработать у учащихся навыки использования теорем подобных треугольников при решении задач на построение.

   № 585(б,в), № 587, № 588, № 590.

   25.02

   
   

   45/15

   Решение задач на построение методом подобных треугольников.

   Совершенствовать навыки решения задач методом подобия.

   
   

   П. 42, № 606, № 607, № 628, № 629

   01.03

   
   

   46/16

   Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

   Ввести понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

   Ознакомить учащихся с основным тригонометрическим тождеством и показать его применение в процессе решения задач.

   Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

   П. 67, № 591(в,г), № 592(б,г,е), № 593(в,г).

   03.03

   
   

   47/17

   Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30^о, 45^о, 60^о.

   Научить учащихся вычислять значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30^о, 45^о, 60^о.

   
   

   Значения синуса, косинуса, тангенса углов 30°, 45° и 60^о, метрические соотношения

   П. 68, № 595, № 597, № 598. ДЗ № 24.

   10.03

   
   

   48/18

   Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

   Решение задач.

   Совершенствовать навыки решения прямоугольных треугольников.

   № 559, № 601, № 602.

   
   

   15.03

   
   

   49/19

   Решение задач по теме «Применение теории подобия треугольников».

   Совершенствовать навыки решения задач на применение теории подобия треугольников и соотношений между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

   Подготовить учащихся к контрольной работе.

   
   

   № 620, № 622, № 623, № 625, № 630 (3-4 задачи на усмотрение ученика)

   17.03

   
   

   50/20

   Контрольная работа №4 по теме

   «Применение теории подобия треугольников при решении задач».

   Проверить уровень теоретических знаний, умение решать задачи и навыки учащихся по теме «Применение теории подобия треугольников при решении задач»

   
   

   
   

   29.03

   
   

   Глава 8. Окружность (16 часов)

   Основная цель:

   Расширить сведения об окружности, полученные учащимися в 7 классе;

   изучить новые факты, связанные с окружностью;

   познакомить учащихся с четырьмя замечательными точками треугольника.

   51/1

   Взаимное расположение прямой и окружности.

   Рассмотреть различные случаи взаимного расположения прямой и окружности.

   Совершенствовать навыки решения задач.

   Взаимное расположение прямой и окружности

   П. 68, № 631(в,г), № 632, № 633 ДЗ № 25.

   31.03

   
   

   52/2

   Касательная к окружности.

   Ввести понятие касательной, точки касания, отрезков касательных, проведённых из одной точки.

   Рассмотреть свойство касательной и её признак и показать их применение при решении задач.

   Рассмотреть свойство отрезков касательных, проведённых из одной точки и показать его применение в процессе решения задач.

   Касательная, свойство и признак касательной

   П. 69, № 634, № 636, № 639

   05.04

   
   

   53/3

   Касательная к окружности.

   Решение задач.

   Закрепить теоретический материал.

   Совершенствовать навыки решения задач по теме.

   № 641, № 643, № 645, № 648

   07.04

   
   

   54/4

   Градусная мера дуги окружности.

   Ввести понятие градусной меры дуги окружности, центрального угла.

   Научить решать простейшие задачи на вычисление градусной меры дуги окружности.

   Дуга, полуокружность, градусная мера дуги окружности, центральный угол

   П.70, № 649(б,г), № 650(б), № 651(б), № 652

   12.04

   
   

   55/5

   Теорема о вписанном угле.

   Ввести понятие вписанного угла.

   Рассмотреть теорему о вписанном угле и следствия из неё.

   Вписанный угол, теорема о вписанном угле

   П. 71, № 654(б,г), № 655, № 657, № 659

   14.04

   
   

   56/6

   Теорема об отрезках пересекающихся хорд.

   Рассмотреть теорему об отрезках пересекающихся хорд и показать её применение при решении задач.

   Совершенствовать навыки решения задач на применение теоремы о вписанном угле и ее следствий.

   
   

   П. 71, № 666(б, в), № 671(б), № 660, № 668

   19.04

   
   

   57/7

   Решение задач по теме «Центральные и вписанные углы»

   Систематизировать теоретические знания по теме «Центральные и вписанные углы.»

   Совершенствовать навыки решения задач.

   
   

   № 661, № 663, № 673

   21.04

   
   

   58/8

   Свойство биссектрисы угла.

   Рассмотреть свойство биссектрисы угла и показать его применение при решении задач.

   Совершенствовать навыки решения задач.

   Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра,

   П.72(1часть), № 675, № 676(б), № 678(б), № 677

   26.04

   
   

   59/9

   Серединный перпендикуляр.

   Ввести понятие серединного перпендикуляра и рассмотреть теорему о серединном перпендикуляре.

   Показать применение теоремы о серединном перпендикуляре при решении задач.

   Совершенствовать навыки решения задач.

   П.72, № 679(б), № 680(б), № 681 ДЗ № 26.

   28.04

   
   

   60/10

   Теорема о точке пересечения высот треугольника.

   Рассмотреть теорему о точке пересечения высот треугольника и показать её применение при решении задач.

   Совершенствовать навыки решения задач.

   Теорема о пересечении высот треугольника, замечательные точки треугольника

   Домашняя проверочная работа.

   05.05

   
   

   61/11

   Вписанная окружность.

   Ввести понятие вписанной и описанной окружностей.

   Рассмотреть теорему об окружности, вписанной в треугольник.

   Совершенствовать навыки решения задач.

   Вписанная окружность, описанный многоугольник, теорема о вписанной окружности

   П.74, № 689, № 692, № 693(б), № 694

   10.05

   
   

   62/12

   Свойства описанного четырёхугольника.

   Рассмотреть свойство описанного четырёхугольника.

   Показать применение данного свойства при решении задач.

   П.74, № 695, № 699, № 700, № 701

   12.05

   
   

   63/13

   Описанная окружность.

   Ввести понятие описанной окружности многоугольника и вписанного в окружность многоугольника.

   Рассмотреть теорему об окружности, описанной около треугольника и показать её применение при решении задач.

   Описанная окружность, вписанный многоугольник, теорема об описанной окружности, теорема о сумме противоположных углов вписанного многоугольника

   П.75, № 702(б), № 705(б), № 707, № 711

   17.05

   
   

   64/14

   Свойство вписанного четырёхугольника.

   Рассмотреть свойство вписанного четырёхугольника и показать его применение при решении задач.

   № 709, № 710, № 731, № 735

   19.05

   
   

   65/15

   Решение задач по теме «Окружность»

   Систематизировать знания, умения и навыки учащихся.

   Касательная к окружности, центральный угол, вписанный угол, замечательные точки треугольника, вписанная и описанная окружность

   № 722, № 734, № 726, № 728

   24.05

   
   

   66/16

   Контрольная работа № 5 по теме

   «Окружность»

   Проверить уровень теоретических знаний, умение решать задачи и навыки учащихся по теме «Окружность»

   
   

   26.05

   
   

   Повторение

   67/1

   Четырехугольники. Площадь

   Организовать повторение основных теоретических фактов по заданной теме.

   Совершенствовать навыки решения задач.

   
   

   ДЗ № 27

   31.05

   
   

   68/2

   Подобные треугольники. Окружность.

   Систематизировать теоретические знания по темам «Подобные треугольники», «Окружность».

   Совершенствовать навыки решения задач.

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   Дополнительное задание № 1

   1. Один из углов равнобедренного треугольника равен 100^о. Найдите другие углы.

   2. В треугольнике АВС проведена биссектриса АD, причем АD = DС, угол С равен 20^о. Найдите углы треугольника АВС и АDС.

   3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 60 см. Найдите медиану, проведенную к гипотенузе.

   4. В треугольнике высота ВН делит сторону АМ пополам и равна 5 см; периметр треугольника АВН равен 15 см. Найдите периметр треугольника АВМ.

   
   

   Дополнительное задание № 2

   В выпуклом пятиугольнике ABCDE вершина Е соединена равными диагоналями с двумя другими вершинами. Известно, что ∠АВЕ = ∠СВD, ∠ВЕА = ∠ВDС. Докажите, что периметры четырехугольников АВDЕ и ВЕDС равны.

   
   

   Дополнительное задание № 3

   Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника не зависит от числа сторон многоугольника.

   
   

   Дополнительное задание № 4

   Сколько углов с градусной мерой меньше 10^о может быть в выпуклом многоугольнике?

   Дополнительное задание № 5

   5. В выпуклом четырехугольнике ABCD АВ = CD, ∠В = 70^о, ∠ВСА = 60^о, ∠ ACD = 50^о. Докажите, что ВС = AD.

   6. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведены две прямые. Одна из них пересекает стороны АВ и CD соответственно в точках М и К, вторая – стороны ВС и AD соответственно в точках N и L. Докажите, что четырехугольник МNКL – параллелограмм.

   
   

   Дополнительное задание № 6

   В равнобедренной трапеции острый угол равен 60^о. Докажите, что меньшее основание равно разности большего основания и боковой стороны.

   
   

   Дополнительное задание № 7

   Через середину диагонали КМ прямоугольника КLМN перпендикулярно этой диагонали проведена прямая, пересекающая стороны КL и МN в точках А и В соответственно. Известно, что АВ = ВМ = 6. Найдите большую сторону прямоугольника.

   
   

   Дополнительное задание № 8

   На сторонах АВ и CD прямоугольника ABCD взяты точки К и М так, что АКСМ – ромб. Диагональ АС составляет со стороной АВ угол 30^о. Найдите сторону ромба, если наибольшая сторона прямоугольника равна 3.

   
   

   Дополнительное задание № 9

   Докажите, что биссектрисы всех четырех углов прямоугольника (не являющегося квадратом) при пересечении образуют квадрат.

   
   

   Дополнительное задание № 10

   1. В четырехугольнике ABCD АВ = CD, ВС = AD, ∠А = 30^о. На стороне ВС взята точка Е так, что ∠ CDЕ = 60^о. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольной трапецией.

   2. На сторонах АВ, ВС, CD и AD ромба ABCD взяты точки Р, К, Н, М соответственно. Каждая из прямых РМ, КН, РК параллельна одной из осей симметрии ромба. Диагональ АС пересекает отрезок РМ в точке Е, а отрезок КН в точке Т.

   А) Докажите, что диагонали четырехугольника ЕКРТ равны.

   Б) Определите вид выпуклого четырехугольника МРКН.

   3. На стороне АD параллелограмма АВСD взята точка М так, что DМ = DС.

   А) Докажите, что СМ – биссектриса угла С параллелограмма.

   Б) Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 8,5 см, АМ = 3,5 см.

   
   

   Дополнительное задание № 11

   В прямоугольнике ABCD серединный перпендикуляр диагонали АС пересекает сторону ВС в точке К так, что ВК : КС = 1 : 2. На какие углы диагональ прямоугольника делит его угол?

   
   

   Дополнительное задание № 12

   Высоты, проведенные из вершины тупого угла параллелограмма, составляют угол в 45^о. Одна из высот делит сторону, на которую она опущена, на отрезки 2 см и 8 см, считая от вершины острого угла. Найдите площадь параллелограмма.

   
   

   Дополнительное задание № 13

   1. Докажите, что диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника, имеющих одинаковую площадь.

   2. В трапеции ABCD с основаниями АD и ВС диагонали пересекаются в точке О, которая удалена от прямой CD на 4 см. Найдите площадь треугольника АОВ, если CD = 8 см.

   
   

   Дополнительное задание № 14

   В равнобедренной трапеции ABCD проведены высота ВК к стороне АD и высота DН к стороне ВС. Найдите площадь четырехугольника ВКDН, если площадь трапеции равна 89 дм².

   Дополнительное задание № 15

   1. В некоторой трапеции диагональ и боковая сторона, выходящие из вершины тупого угла, равны 26 см и см соответственно, высота трапеции -24 см, меньшее основание – 7 см. Найдите площадь трапеции и вторую боковую сторону.

   2. В параллелограмме меньшая высота и меньшая сторона равны 9 см и см соответственно. Большая диагональ 15 см. Найдите площадь параллелограмма.

   
   

   Дополнительное задание № 16

   1. Боковые стороны трапеции равны 9 см и 12 см, а основания – 30 см и 15 см. Найдите угол, который образуют продолжения боковых сторон трапеции.

   2. Диагонали трапеции равны 5 см и 12 см, а основания – 3 см и 10 см. Найдите углы между диагоналями этой трапеции.

   
   

   Дополнительное задание № 17

   В равнобедренной трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями боковая сторона равна 26 см. Высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, меньший из которых равен 10 см. Найдите площадь трапеции.

   
   

   Дополнительное задание № 18

   В подобных треугольниках АВС и КМN равны углы В и М,С и N, АС = 3 см, КN = 6 см, МN = 4 см, ∠А1 = 30^о. Найдите: а) ВС, ∠К; б) отношение площадей треугольников АВС и КМN; с) АЕ и ВЕ, если известно, что СЕ – биссектриса треугольника АВС, АВ = 3,5 см.

   
   

   Дополнительное задание № 19

   В остроугольном треугольнике АВС ВD и АЕ – высоты. Докажите, что DС ∙ АС = ЕС ∙ ВС.

   
   

   Дополнительное задание № 20

   В трапеции АВСD (АD и ВС – основания) точка К лежит на стороне СD, причем СК : КD = 1 : 2. АК пересекает ВD в точке О. Докажите, что если ВС : АD = 1 : 2, ВО = ОD.

   
   

   Дополнительное задание № 21

   В треугольниках АВС и А1В1С1 ВD и В1D1 – медианы. ∠А = ∠ А1, ∠ВDА = ∠В1D1А1. Докажите, что треугольник ВDС подобен треугольнику В1D1С1.

   
   

   Дополнительное задание № 22

   1. Диагонали четырехугольника АВСD АС и ВD пересекаются в точке О так, что ОС = 5 см, ОВ = 6 см, ОА = 15 см, ОD = 18 см. Докажите, что в четырехугольнике АВСD ВС ∥ АD и найдите отношение треугольников АОD и ВОС.

   2. Перпендикулярно высоте ВD треугольника АВС проведена прямая, пересекающая стороны АВ и ВС в точках М и Р соответственно. Найдите АВ и отношение площадей треугольников МРВ и АВС, если известно, что ВМ = 7 см, ВР = 9 см, РС = 18 см.

   3. Прямая ЕF пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках Е и F соответственно так, что ∠А + ∠ЕFС = 180^о, а площадь четырехугольника АЕFС относится к площади треугольника ЕВF как 16 : 9. Докажите, что треугольник ВFЕ подобен треугольнику ВАС и найдите коэффициент подобия данных треугольников.

   4. Диагональ ВD четырехугольника АВСD является биссектрисой его угла, ВС ∙ ВА = ВD². Докажите, что ∠ ВАD = ∠ ВDС. В каком отношении площадь четырехугольника делится его диагональю ВD, если известно, что DC : АD = 3 : 2?

   5. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка К так, что △АВК ∼ △АВС. Найдите АК, КС, ВК, если известно, что АВ : ВС : АС = 3 : 7 : 9, а периметр треугольника АВС равен 57 см.

   
   

   Дополнительное задание № 23

   В прямоугольном треугольнике АВС (∠С = 90^о) медиана ВВ1 равна 10 см. Найдите медианы АА1 и СС1, если известно, что АС = 12 см. (Ответ: АА1 = 4 см, СС1 = 2).

   
   

   Дополнительное задание № 24

   1. В прямоугольной трапеции основания равны 6 см и 11 см, меньшая боковая сторона равна 4 см. Найдите синус, косинус и тангенс острого угла трапеции.

   2. Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О так, что ОD = 10 см. Из точки D на отрезок ОВ опущен перпендикуляр DЕ (Е ⋂ ОВ), ОЕ = 6 см. Найдите угол DОЕ.

   
   

   Дополнительное задание № 25

   В прямоугольном треугольнике АВС (∠С = 90^о) катеты равны 5 см и 12 см. С центром в точке С проведена окружность. Каково взаимное расположение окружности и прямой АВ, если радиус окружности равен: а) см; б) см; в) см.

   
   

   Дополнительное задание № 26

   В остроугольном треугольнике АВС серединные перпендикуляры к сторонам АС и ВС пересекаются в точке Н, НС = 5 см. Найдите расстояние от точки Н до сторон треугольника, если периметр треугольника АВС равен 18 см, АВ : ВС : АС = 4 : 3 : 2.

   
   

   Дополнительное задание № 27

   1. В △АВС через точку пересечения медиан проведена прямая, параллельная стороне АС и пересекающая стороны АВ и ВС в точках К и Е соответственно. Найдите АС, если КЕ = 12 см. Найдите площадь треугольника ВКЕ, если площадь треугольника АВС 72 см².

   2. В параллелограмме АВСD диагональ ВD перпендикулярна стороне АВ, один из углов параллелограмма равен 120^о, АD = 12 см, О – точка пересечения диагоналей. Найдите диагонали параллелограмма и площадь треугольника СDО.

   
   

   17