Теңдеу құру арқылы шығаруға келтірілетін мазмұнды есептердің түрлері
Күнделікті тұрмыста мазмұнды есептерді шешуді көп кездестіреміз. Есеп шығара білу - әр адамның математикалық, логикалық және сын тұрғысынан ойлау қабілетінің даму көрсеткіші. Мазмұнды есептер бастауыш сынып математикасынан бастап барлық орта мектеп математика курсында кездеседі. Бірақ берілген тақырыпта оларды өз дәрежесінде меңгеру мүмкін бола бермейді.Мазмұнды есептер өте алуан түрлі болып келеді, кейде есеп мазмұнын түсіну қиынға түседі.
Мазмұнды есептер қандай да бір нақтылы оқиғаның сөздік моделі болғандықтан, есеп мазмұны бойынша оқиғаны ойша көз алдына келтіруге немесе көрнекі құралдар арқылы оның заттық моделін жасауға болады.
Жалпы мазмұнды есептерді төрт негізгі тақырыпшалар бойынша қарастыруға болады:
Сандық тәуелділіктер;
Проценттер, қоспалар, ерітінділер;
Қозғалыс есептері;
Бірігіп жұмыс атқару есептері.
Бұл типтегі есептер, негізінен, теңдеу немесе теңдеулер жүйесін құру арқылы шығарылады. Мазмұнды есептердің аталған типтеріне қысқаша тоқталайық.
1. Сандық тәуелділіктерге берілген есептер
Сан және цифр түсініктері бірдей емес. Цифр деп бір таңбалы сандарды атайды (0-ден 9-ға дейін, барлығы 10 цифр бар). Сандар цифрлардың көмегімен жазылады және сандарды жазудың ережелері бар. Ереже бойынша а және в цифрлері көмегімен жазылған екі таңбалы сан 10а+в өрнегімен беріледі, ал а, в, с - цифрлерімен берілген үш таңбалы сан 100а+10в+с өрнегімен анықталады т.т.
Мысалы, 654=6·100+5·10+4
Теңдеулер құрастыруға осы қарапайым формулалар қолданылады.
Есеп: Екі натурал санның біреуі екіншісінен 4-ке кем, ал көбейтіндісі 192-ге тең. Осы натурал санды тап.
Шешуі: [pic] теңдеу жүйесін құрып, шешкенде 12 және 16 сандары шығады.Жауабы: 12 және 16
2. Проценттер, қоспалар, ерітінділерге құрылған есептер
Процент - бөлікті көрсету қажеттілігінен шыққан ұғым. Бір процент дегеніміз - жүзден бір бөлік, яғни 1%=1/100. Айталық, 200 тоннаның 5%-і ол 200 тоннаның 5/100 бөлігі, яғни 10 тонна. Тестік есептеулерде жиі кездесетін проценттерді атап өтейік.
50=50/100=1/2 (жартысы); 25%=25/100=1/4 (ширегі); 75%=75/100=3/4
Есеп: Токарь 3 күн жұмыс істеп, 208 деталь дайындады. Бірінші күні ол нормасын орындап 15% асыра орындады, ал үшінші күні екінші күнге қарағанда 10 детальға артық дайындады. Токарь әр күн сайын қанша детальдан дайындап еді?
Шешуі: 1 күн- [pic] , 2 күн -1,15 [pic] , 3 күн - 1,15 [pic] +10
[pic] теңдеуін шешкенде, сәйкесінше 60; 69; 79 деталь дайындаған,
Қоспаларға қатысты есептердің шешімдері «концентрация», «проценттік құрам»,«ылғалдылық» т.б. түсініктерімен байланысты және келесі келісушіліктерге негізделген:
қарастырылған қоспалар, ерітінділер біртекті болып саналады;
литрді көлем бірлігі ретінде қарастыруымен масса бірлігі ретінде қарастырудың айырмашылығы жоқ.
Есептер, көбінесе, екі айнымалысы бар теңдеулер жүйесіне келтіріледі.
Қоспа болып табылатын зат бірнеше заттан құралады.Теңдеулер жүйесіндегі бір теңдеу,әдетте, заттардың салмағына байланысты, ал екіншісі олардың концентрациясына байланысты құралады.
Есеп. 30% -дық тұз қышқылының ерітіндісін 10% -дық ерітіндісімен араластырды да 600 г 15% -дық ерітінді алды. Әр ерітіндіден қанша грамнан алынған еді?
Шешуі: 1) [pic] - 30 [pic] % ерітінді
2) [pic] - 10% ерітінді
Есептің шарты бойынша:
[pic] [pic]
[pic] Жауабы: 150 г, 450 г
3. Қозғалыс есептері
Алдымен қозғалыс есептерін анықтап алайық:
Құрғақ жердегі қозғалыста қозғалыс жылдамдығы көлік жылдамдығына тең («қозғалыс жылдамдығы» дегенде біз қозғалыстағы адамның жылдамдығын түсінеміз);
Тынық судағы (көл, бассейн) қозғалыс жылдамдығы қайықтың жылдамдығына тең;
Ағынды суда егер өзінің жылдамдығы [pic] болатын дене жылдамдығы [pic] -ке тең өзен ағысымен қозғалса, дене [pic] жылдамдығымен , ал ағысқа қарсы қозғалса [pic] жылдамдығымен жүзеді.
Меншікті жылдамдығы жоқ ден өзен ағысымен қозғалса, қозғалыс жылдамдығы ағын жылдамдығына тең. Сонымен қатар, қозғалыс есептерінде келісушіліктер қабылданған:
арнайы ескерулер болмаған жағдайда қозғалыс бірқалыпты болып саналады;
жылдамдық оң таңбалы шама болып саналады;
қозғалыстың жаңа кестесіне көшу лезде іске асырылады.
Қозғалыс параметрлерін байланыстыратын негізгі формула: s=vt мұнда s - жолдың ұзындығы, v - жылдамдық, t - уақыт.
Есеп. Велосипедші 15 км қашықтықта жүріп өтуі керек еді. Белгіленген мерзімнен 15 минутқа кеш шыққандықтан жылдамдығын 2 км/сағ арттыруға тура келді. Сөйтіп велосипедші қандай жылдамдықпен жүруі керек еді?
Шешуі: 1) [pic] км/сағ - жылдамдықпен жүруі керек еді.
2) ( [pic] - жылдамдықпен жүрді.
Есептің шарты бойынша: [pic] , осыдан [pic]
[pic] есептің шартын қанағаттандырмайды, себебі жылдамдық теріс санмен өлшенбейді. Жауабы: 10 км/сағ
4. Бірігіп жұмыс атқару есептері
Бұл есептер мен қозғалыс есептері арасында аналогия жүргізіп, кейде бірігіп жұмыс атқару есептерін қозғалыс есептеріне жатқызады.
Өнімділікті есептеуде пропорция құру жиі қолданылады.
Мысал. Катер өзен ағысымен 15 км және 4 км тынық суда жүзді. Барлық жолға 1 сағат уақыт кетті. Өзен ағысының жылдамдығы 4 км/сағ болса, онда катердің өзен ағысымен жүзгендегі жылдамдығын табыңыз.
Шешуі: Катердің меншікті жылдамдығы [pic] км/сағ болсын, сонда катердің өзен ағысымен жүзгендегі жылдамдығы ( [pic] +4) км/сағ болады. Есептің шартына сәйкес теңдеу құрамыз.
[pic]
Бұдан , [pic] . Демек, катердің өзен ағысымен жүзгендегі жылдамдығы [pic] +4 [pic] болған.
