Г – 9 класс Урок № 7
Тема: «Применение векторов к решению задач. Средняя линия трапеции».
Цели урока:
Дидактическая: на конкретных примерах показать применение векторов при решении геометрических задач; ввести понятия средней линии трапеции; доказать теорему о средней линии трапеции с помощью векторов.
Развивающая: развивать логическое мышление учащихся, учить решать задачи; развивать воображение – репродуктивное, творческое, образное; абстрактное мышление, умение обобщать.
Воспитательная: нравственное воздействие, воспитание культуры умственного труда, культуры общения.
Обучающиеся должны:
Знать, действия производимые с векторами, понятие средней линии трапеции, теорему о средней линии трапеции.
Уметь вычислять среднюю линию трапеции, решать задачи с помощью векторов.
Ход урока.
Организационный момент.
Сообщение темы и целей урока.
Актуализация знаний и умений обучающихся.
Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных заданий.
Повторение изученного материала.
1. Ответить на вопросы на с. 213–214.
2. Проверка усвоения учащимися материала.
1. Устно ответить на вопросы:
1) Какие векторы называются коллинеарными? Изобразите на рисунке сонаправленные векторы [pic] и [pic] и противоположно направленные векторы [pic] [pic] и .
2) Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?
3) Могут ли векторы [pic] и [pic] быть неколлинеарными?
4) Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.
2. Решить задачу на доске и в тетрадях по готовому чертежу:
[pic]
Точки M и N лежат соответственно на сторонах AD и BC четырехугольника ABCD, причем AM : MD = BN : NC = 3 : 4.
Докажите, что середины отрезков AB, MN и CD лежат на одной прямой.
Решение
Пусть K1 – середина AB, K2 – середина MN, K3 – середина CD. Согласно задаче 2 из п. 84 имеем [pic] . Из условия следует, что [pic] , поэтому [pic] .
Таким образом, векторы [pic] и [pic] коллинеарные, и, значит, точки K1, K2 и K3 лежат на одной прямой.
Изучение нового материала.
1. Определение трапеции. Виды трапеций.
2. Определение средней линии трапеции.
3. Доказательство теоремы о средней линии трапеции.
Доказательство оформить на доске и в тетрадях в виде следующей краткой записи:
Дано: ABCD – трапеция, AD || BC, M – середина стороны AB; N – середина стороны CD (рис. 266 учебника).
Доказать: MN || AD, MN = [pic] .
Доказательство.
1) Согласно рассмотренной в классе задаче 1 [pic] .
2) Так как [pic] , то [pic] и, значит, MN || AD.
3) Так как [pic] , то [pic] = AD + BC, поэтому MN = [pic] (AD + BC).
Формирование умений и навыков.
Работа по учебнику.
1. Векторы могут использоваться для решения геометрических задач. Рассмотрим вспомогательную задачу.
2. Разобрать решение задачи 1 на с. 208 учебника по рис. 264.
3. Решить задачу 2. Точки M и N – середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD. Докажите, что [pic]
Решение
Пусть О – произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. 84 имеем [pic] [pic] поэтому [pic] [pic] .
Примечание. Результат задачи 2 можно использовать при доказательстве теоремы о средней линии трапеции на следующем уроке.
4. 1. Решить на доске и в тетрадях задачу № 793.
Решение
Пусть a и b – основания трапеции, тогда а + b = 48 – (13 + 15) = 20 (см); средняя линия MN = [pic] = 10 (см).
Ответ: 10 см.
2. Решить задачу № 795.
3. Решить задачу № 799 на доске и в тетрадях.
[pic]
Решение
Пусть BK – перпендикуляр, проведенный к основанию AD данной трапеции.
Тогда KD = AD – AK.
Но AK = [pic] , поэтому KD = AD – [pic] , то есть отрезок KD равен средней линии трапеции. Значит, средняя линия трапеции равна 7 см.
Ответ: 7 см.
5. Решить задачу 3. Точка С лежит на отрезке AB, причем АС : СВ = 2 : 3. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство [pic]
Решение
По условию AC:CB=2 : 3,поэтому [pic] Но [pic] Следовательно, [pic] откуда получается [pic]
Примечание. Задача 3 является частным случаем более общей задачи 806.
6. Решить задачу № 786 на доске и в тетрадях.
Решение
Так как точка А1 – середина стороны ВС, то [pic] [pic] .
Далее [pic]
7. При наличии времени решить задачу 4.
Точки K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, DE пятиугольника ABCDE, а точки P и Q – середины отрезков KM и LN. Докажите, что PQ || AE и PQ = 1/4 AE.
[pic]
Решение
Пусть О – произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. 84 [pic] . Аналогично, [pic] .
Из этих равенств следует, что [pic] Отсюда следует, что PQ || AE и PQ = [pic] AE.
Итоги урока.
Подвести итоги урока, выставить отметки обучающимся за урок.
В результате изучения параграфа обучающиеся должны знать, какой вектор называется произведением вектора на число; уметь формулировать свойства умножения вектора на число; знать, какой отрезок называется средней линией трапеции; уметь формулировать и доказывать теорему о средней линии трапеции; уметь решать задачи типа №№ 782–787; 793–799.
Домашнее задание: изучить материал п. 87, 88; ответить на вопросы 18–20, с. 214 учебника; решить задачи №№ 787, 794, 796.
8
