Применение компетентностного подхода для организации самостоятельной работы по решению уравнений для учащихся 5-9 классов

91

Применение компетентностного подхода для организации самостоятельной работы по решению уравнений учащихся 5-9 классов

Якутск 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава I. Психолого-педагогические основы организации самостоятельной работы учащихся 5-9 классов по математике………………………………...

1.1. Особенности организация самостоятельной работы учащихся 5-9 классов по математике ……………………………………………………….

1.2. Компетентностный подход в обучении математике в основной общеобразовательной школе…………………………………………………..

Глава II. Организация самостоятельной работы по теме «Решение уравнений» на основе компетентностного подхода………………………….

2.1. Методика изучения основных классов уравнений и их систем …

2.2. Самостоятельные работы по решению уравнений для учащихся 5-9 классов ………...............................................................................................

Заключение……………………………………………………………………...

Библиографический список использованной литературы…………………...

3

5

5

10

20

20

36

91

93

Введение

В последнее десятилетие происходит значительное преобразование системы российского образования в связи с включением в него компетентностного подхода. В настоящее время во всех нормативных документах, регулирующих учебный процесс в образовательных учреждениях, что одной из главных целей обучения математике является подготовка учащихся к повседневной жизни, а также развитие их личности средствами математики. Для создания новых технологий, изобретения новых механизмов, для управления современным производством нужен человек, обладающий необходимой системой знаний, определённым складом ума, развитым мышлением и умением принимать оптимальное решение в зависимости от возникшей ситуации.

Компетентностный подход в образовании в противоположность концепции «усвоения знаний» (а на самом деле суммы сведений) предполагает освоение учащимися умений, позволяющим действовать в новых, неопределённых, проблемных ситуациях, для которых заранее нельзя наработать соответствующих средств (Жафяров, Сергеев, Блинов, Болонский и др.). Их нужно находить в процессе разрешения подобных ситуаций и достигать требуемых результатов.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему (Макарычев, Нурк, Тельгмаа, Алимов и др.).

Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т.д.). Так же для формирования умения решать уравнения большое значение имеет самостоятельная работа учащегося при обучении решению уравнений.

Целью дипломной работы является разработка самостоятельных работ для учащихся 5-9 классов по решению уравнений.

Задачи исследования:

1. раскрыть сущность организации самостоятельной работы для учащихся 5-9 классов;

2. определить компетентностный подход в обучении математики;

3. изучение основных классов уравнений и их систем;

4. разработать самостоятельные работы для учащихся 5-9 классов по решению уравнений.

Объектом исследования является процесс организации самостоятельной работы учащихся 5-9 классов по математике.

Предметом исследования является компетентностный подход в обучении математике в основной общеобразовательной школе.

Методы исследования:

1. Теоретические: анализ литературы по теме исследования, классификация, обобщение, синтез.

2. Эмпирические: изучение литературы по теме исследования.

Выпускная работа структурирована в соответствии требованиями, объем работы 96 страниц, состоит из введения, двух глав, заключения и литературы.

В первой главе раскрывается сущность организации самостоятельной работы для учащихся 5-9 классов, определен компетентностный подход в обучении математики.

Во второй главе изучены основные классы уравнений и их систем. Также разработаны самостоятельные работы для учащихся 5-9 классов по решению уравнений.

ГЛАВА I. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ УЧАЩИХСЯ

5-9 КЛАССОВ ПО МАТЕМАТИКЕ

1. 1. Особенности организации самостоятельной работы учащихся 5-9 классов по математике

Самостоятельная работа – это специфическое педагогическое средство организации и управления самостоятельной деятельностью учащихся.

С одной стороны – это учебные задания, т.е. то, что должен выполнить ученик, это объект его деятельности. Задание предлагается учителем или программированным пособием. С другой стороны – это форма проявления соответствующей деятельности мышления, памяти, творческого воображения при выполнении учеником учебного задания, которое в конечном счёте приводит ученика либо к получению совершенно нового, ранее неизвестного ему знания, либо к расширению и углублению сферы действий уже полученных знаний. И в том, и в другом случае самостоятельная работа способствует развитию умственных сил ребенка. Следовательно, внешняя форма самостоятельной работы – это задание, а её внутреннее содержание – познавательное или интеллектуальное задание, любая задача должна иметь в себе конфликтную ситуацию, противоречие между данным и искомым, осознание что и является источником мысли [4, с.195].

Задача в любом из видов самостоятельных работ заключает в себе либо необходимость в нахождении и применении новых знаний уже известными способами, либо выявление, определение, изыскание новых путей, способов добывания знаний.

Самостоятельная работа – это такое средство обучения, которое в каждой конкретной ситуации усвоения соответствует конкретной дидактической цели и задаче.

Формирует у учащихся на каждом этапе его движения от незнания к знанию необходимый объем и уровень знаний, навыков и умений для решения определенного класса познавательных задач и соответственного продвижения от низших к высшим уровням мыслительной деятельности.

Вырабатывает у обучающегося психологическую установку на самостоятельное систематическое пополнение своих знаний и выработку умений ориентироваться в потоке научной и политической информации при решении новых познавательных задач. Является важнейшим условием самоорганизации и самодисциплины учащихся в овладении методами познавательной деятельности. Является важнейшим орудием педагогического руководства и управления самостоятельной познавательной деятельностью обучающегося в процессе обучения.

Таким образом, самостоятельная работа выступает в процессе обучения в качестве специфического педагогического средства организации и управления самостоятельной деятельности учащихся, которая должна включать и предмет и метод научного познания. Предметом познавательной деятельности в любом виде учебного труда является не источник знания и не дидактическое или методическое назначение самостоятельной работы, а задача, включенная в тот или иной конкретный вид самостоятельной работы. Ситуация задачи и определяет характер, своеобразие мышления. Поэтому сущность самостоятельных работ как специфических педагогических конструкций определяется особенностями познавательных задач, воплощенных в конкретное содержание типов и видов самостоятельной работы.

Самостоятельные работы условно можно разделить на две группы [4, с.212]:

- воспроизводящие – это уровень преобразующего и «рассуждающего» воспроизведения (отрицательная черта – пресыщение работой, скука, вызываемая единообразием и монотонностью деятельностью);

- творческие – кумуляция знаний, выражающаяся в способности школьника творить новые идеи или способы деятельности (отрицательная черта – ущерб и вред накоплению необходимого круга знаний, навыков и умений – главному условию успешного самостоятельного продвижения школьника в познавательном процессе).

Слагаемыми самостоятельности являются [4, с.224]:

Общеучебные умения – правильно читать текст, находить ответ на вопрос, составлять план прочитанного, тезис, конспект, таблицы, планировать свою деятельность, контролировать выполнение действий.

Общелогические умения – выделять главное, проверять, сравнивать, доказывать, делать выводы, формулировать вопросы.

Предметные – специальные умения, отражающие специфику отдельных учебных дисциплин (читать карту, выполнять упражнения, писать сочинение, решать задачи).

Коммуникативные умения – вести диалог с учителем, с товарищами, принимать участие в совместной деятельности, устанавливать контакты с целью выполнения задания за пределами школы.

У учащихся можно выделить следующие уровни развития самостоятельности – высокий, средний, низкий [8, с120].

Выделяются следующие виды самостоятельных работ: 1) работа с книгой; 2) упражнения; 3) работа с картой; 4) заполнение таблиц; 5) решение задач; 6) сочинения; 7) доклады; 8) лабораторные работы; 9) реферирование; 10) составление аннотаций; 11) составление конспектов; 12) составление литературных обзоров; 13) составление планов.

Формы самостоятельной работы: 1) декада; 2) конференция; 3) кружок; 4) лекция; 5) «мозговой штурм»; 6) научно – исследовательская работа школьников; 7) предметный вечер; 8) КВН; 9) олимпиада; 10) семинар (межпредметный, предметный, обзорный); 11) экскурсия; 12) факультативные занятия.

Руководство самостоятельной работой учащихся осуществляется последующим этапам:

- подготовка учащихся – повторение, сообщение нового материала, проведение наблюдений;

- четкие указания об объеме и содержании самостоятельной работы, целях, техники выполнения;

- выполнение самостоятельной работы;

- подведение итогов самостоятельной работы.

При традиционном способе преподавания учитель часто ставит ученика в положение объекта передаваемой ему извне информации. Такой постановкой образовательного процесса учитель искусственно задерживает развитие познавательной активности ученика, наносит ему большой вред в интеллектуальном и нравственном отношении.

«Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью», - эти слова Л.Н. Толстого должны стать смыслом работы учителя.

Самостоятельную деятельность учащихся можно и нужно организовывать на различных уровнях: от воспроизведения действий по образцу и узнавания объектов путем их сравнения с известным образцом до составления модели и алгоритма действий в нестандартных ситуациях [4, c.184].

Учителю необходимо учитывать, что при составлении заданий для самостоятельной работы степень сложности должна отвечать учебным возможностям детей.

Переход с одного уровня на другой должен осуществляться постепенно, только когда учитель будет убежден, что учащийся справится со следующим уровнем самостоятельности. Иначе в атмосфере спешки и нервозности у ученика возникают пробелы в знаниях.

Очень важно, чтобы содержание самостоятельной работы, форма и время ее выполнения отвечали основным целям обучения данной теме на данном этапе.

В то время учителю нужно знать, что злоупотребление самостоятельной работой в учебном процессе также вредно, как и ее недооценка. Бывает так, что учитель включает в урок самостоятельную работу без особой необходимости, просто ради разнообразия, не продумав ее содержание и форму организации. Результаты бывают плачевны: или дети не готовы выполнить задание, или не хватило времени и.т.п. А в результате – зря потрачено драгоценное время урока. Но если, составляя план урока, учитель тщательно продумал место и время самостоятельной работы; четко определил ее общее содержание, разбил задания по разным уровням сложности, то она сыграет свою положительную роль.

Поэтому учителю очень важно знать формы и виды самостоятельных работ, их место в процессе обучения. Но нельзя забывать, что на успехи ученика огромное влияния оказывает настрой самого учителя. Здесь очень важен известный психологам эффект Резенталя – Якобсона. Эти исследователи провели следующий эксперимент: они давали учителям заведомо неправильную информацию о показателях умственного развития детей. Как выяснилось, последующие достижения учеников зависели от этой информации, т.е. от мнения учителя о возможностях ученика. Те дети, которые воспринимались учителем как более одаренные (хотя таковыми не являлись), показали большие сдвиги в учебе по сравнению с детьми, которых учитель считал менее одаренными.

Вот почему так важно умение учителя создать в классе доброжелательную атмосферу, особенно во время выполнения самостоятельных работ.

В зависимости от целей, которые ставятся перед самостоятельными работами, они могут быть [7, с.102]:

1. обучающими;

2. тренировочными;

3. закрепляющими;

4. повторительными;

5. развивающими;

6. творческими;

7. контрольными.

Смысл обучающих самостоятельных работ заключается в самостоятельном выполнении школьниками данных учителем заданий в ходе объяснения нового материала. Цель таких работ – развитие интереса к изучаемому материалу, привлечение внимания каждого ученика к тому, что объясняет учитель. Здесь сразу выясняется непонятное, выявляются сложные моменты, дают себя знать пробелы в знаниях, которые мешают прочно усвоить изучаемый материал [7, с 118].

Самостоятельные работы по формированию знаний проводятся на этапе подготовки к введению нового содержания, а также при непосредственном введении нового содержания, при первичном закреплении знаний, т.е. сразу после объяснения нового, когда знания учащихся еще непрочны. Учителю необходимо знать следующие особенности обучающих самостоятельных работ: их надо составлять в основном из заданий репродуктивного характера, проверять немедленно и ставить за них плохих оценок.

Так как самостоятельные обучающие работы проводятся во время объяснения нового материала или сразу после объяснения, то их немедленная проверка дает учителю четкую картину того, что происходит на уроке, какова степень понимания учащимися нового материала на самом раннем этапе его изучения. Цель этих работ – не контроль, а обучение, поэтому им следует отводить много времени на уроке.

1. 2. Компетентностный подход в обучении математике в основной общеобразовательной школе

В настоящее время во всех нормативных документах, регулирующих учебный процесс в образовательных учреждениях, что одной из главных целей обучения математике является подготовка учащихся к повседневной жизни, а также развитие их личности средствами математики. Для создания новых технологий, изобретения новых механизмов, для управления современным производством нужен человек, обладающий необходимой системой знаний, определённым складом ума, развитым мышлением и умением принимать оптимальное решение в зависимости от возникшей ситуации [26].

Компетентностный подход в образовании в противоположность концепции «усвоения знаний» (а на самом деле суммы сведений) предполагает освоение учащимися умений, позволяющим действовать в новых, неопределённых, проблемных ситуациях, для которых заранее нельзя наработать соответствующих средств. Их нужно находить в процессе разрешения подобных ситуаций и достигать требуемых результатов.

Компетентностный подход является усилением прикладного, практического характера всего школьного образования (в том числе и предметного обучения). Это направление возникло из простых вопросов о том, какими результатами школьного образования школьник может воспользоваться вне школы. Ключевая мысль этого направления состоит в том, что для обеспечения «отдалённого эффекта» школьного образования всё, что изучается, должно быть включено в процесс употребления, использования. Особенно это касается теоретических знаний, которые должны перестать быть мёртвым багажом и стать практическим средством объяснения явлений и решения практических ситуаций и проблем.

Основной ценностью становится не усвоение суммы сведений, а освоение учащимися таких умений, которые позволяли бы им определять свои цели, принимать решения и действовать в типичных и нестандартных ситуациях.

Вопрос традиционного обучения – «Чему учить?», становится менее актуальным. Компетентностный подход делает акцент на деятельностном содержании образования, что требует другой постановки вопроса, а именно «Каким способам деятельности обучать?» В этом случае основным содержанием обучения являются действия, операции, соотносящиеся не столько с объектом приложения усилий, сколько с проблемой, которую нужно разрешить. Не привычные «должен знать», «должен уметь», а «может».

В учебных программах деятельностное содержание образования отражается в акценте на способах деятельности, умениях, навыках, которые необходимо сформировать, на опыте деятельности, который должен быть накоплен и осмыслен учащимися, и на учебных достижениях, которые учащиеся должны продемонстрировать.

Важнейшим признаком компетентностного подхода является способность обучающегося к самообучению в дальнейшем, а это невозможно без получения глубоких знаний.

Однако роль знаний меняется. Знания полностью подчиняются умениям. В содержание обучения включаются только те знания, которые необходимы для формирования умений. Все остальные знания рассматриваются как справочные, они хранятся в справочниках, энциклопедиях, Интернете, а не в головах учащихся. В то же время, учащийся должен при необходимости уметь быстро и безошибочно воспользоваться всеми этими источниками информации для разрешения тех или иных проблем.

Компетенция — это те знания, умения и навыки, которыми школьник овладевает в школе и использует их во всех сферах своей дальнейшей жизнедеятельности.

Компетентностный подход — это совокупность общих принципов определения целей образования, отбора содержания образования, организации образовательного процесса и оценки образовательных результатов. К числу таких принципов относятся следующие положения [11, с.10]:

1. Смысл образования заключается в развитии у обучаемых способности самостоятельно решать проблемы в различных сферах и видах деятельности на основе использования социального опыта, элементом которого является и собственный опыт учащихся.

2. Содержание образования представляет собой дидактически адаптированный социальный опыт решения познавательных, мировоззренческих, нравственных, политических и иных проблем.

3. Смысл организации образовательного процесса заключается в создании условий для формирования у обучаемых опыта самостоятельного решения познавательных, коммуникативных, организационных, нравственных и иных проблем, составляющих содержание образования.

4. Оценка образовательных результатов основывается на анализе уровней образованности, достигнутых учащимися на определённом этапе обучения.

Компетентность – совокупность личностных качеств ученика (ценностно-смысловых ориентаций, знаний, умений, навыков, способностей), обусловленных опытом его деятельности в определенной социально и личностно-значимой сфере [11, с.16].

Компетенции следует отличать от образовательных компетенций, т.е. от тех, которые моделируют деятельность ученика для его полноценной жизни в будущем. Например, до определенного возраста гражданин еще не может реализовать какую-либо компетенцию, но это не значит, что ее не следует у школьника формировать. В этом случае мы будем говорить об образовательной компетенции.

Образовательная компетенция – требование к образовательной подготовке, выраженное совокупностью взаимосвязанных смысловых ориентаций, знаний, умений, навыков и опыта деятельности ученика по отношению к определенному кругу объектов реальной действительности, необходимых для осуществления личностно и социально значимой продуктивной деятельности.

Компетенции для ученика – это образ его будущего, ориентир для освоения. Но в период обучения у него формируются те или иные составляющие этих «взрослых» компетенций, и чтобы не только готовиться к будущему, но и жить в настоящем, он осваивает эти компетенции с образовательной точки зрения. Образовательные компетенции относятся не ко всем видам деятельности, в которых участвует человек, например, взрослый специалист, а только к тем, которые включены в состав общеобразовательных областей и учебных предметов. Такие компетенции отражают предметно- деятельностную составляющую общего образования и призваны обеспечивать комплексное достижение его целей. Можно привести следующий пример. Ученик в школе осваивает компетенцию гражданина, но в полной мере использует ее компоненты уже после окончания школы, поэтому во время его учебы эта компетенция фигурирует в качестве образовательной.

В основе компетентностного подхода лежит федеральный компонент государственного образовательного стандарта основного (полного) общего образования по математике [27, с.13].

Математика и информатика

Изучение предметной области «Математика и информатика» должно обеспечить:

-осознание значения математики и информатики в повседневной жизни человека;

-формирование представлений о социальных, культурных и исторических факторах становления математической науки;

-понимание роли информационных процессов в современном мире;

-формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления.

В результате изучения предметной области «Математика и информатика» обучающиеся развивают логическое и математическое мышление, получают представление о математических моделях; овладевают математическими рассуждениями; учатся применять математические знания при решении различных задач и оценивать полученные результаты; овладевают умениями решения учебных задач; развивают математическую интуицию; получают представление об основных информационных процессах в реальных ситуациях.

Предметные результаты изучения предметной области «Математика и информатика» должны отражать:

Математика. Алгебра. Геометрия. Информатика:

1) формирование представлений о математике как о методе познания действительности, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления;

2) развитие умений работать с учебным математическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию), точно и грамотно выражать свои мысли с применением математической терминологии и символики, проводить классификации, логические обоснования, доказательства математических утверждений;

3) развитие представлений о числе и числовых системах от натуральных до действительных чисел; овладение навыками устных, письменных, инструментальных вычислений;

4) овладение символьным языком алгебры, приёмами выполнения тождественных преобразований выражений, решения уравнений, систем уравнений, неравенств и систем неравенств; умения моделировать реальные ситуации на языке алгебры, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры, интерпретировать полученный результат;

5) овладение системой функциональных понятий, развитие умения использовать функционально-графические представления для решения различных математических задач, для описания и анализа реальных зависимостей;

6) овладение геометрическим языком; развитие умения использовать его для описания предметов окружающего мира; развитие пространственных представлений, изобразительных умений, навыков геометрических построений;

7) формирование систематических знаний о плоских фигурах и их свойствах, представлений о простейших пространственных телах; развитие умений моделирования реальных ситуаций на языке геометрии, исследования построенной модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры, решения геометрических и практических задач;

8) овладение простейшими способами представления и анализа статистических данных; формирование представлений о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, о простейших вероятностных моделях; развитие умений извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках, описывать и анализировать массивы числовых данных с помощью подходящих статистических характеристик, использовать понимание вероятностных свойств окружающих явлений при принятии решений;

9) развитие умений применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин с использованием при необходимости справочных материалов, компьютера, пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчётах;

10) формирование информационной и алгоритмической культуры; формирование представления о компьютере как универсальном устройстве обработки информации; развитие основных навыков и умений использования компьютерных устройств;

11) формирование представления об основных изучаемых понятиях: информация, алгоритм, модель – и их свойствах;

12) развитие алгоритмического мышления, необходимого для профессиональной деятельности в современном обществе; развитие умений составить и записать алгоритм для конкретного исполнителя; формирование знаний об алгоритмических конструкциях, логических значениях и операциях; знакомство с одним из языков программирования и основными алгоритмическими структурами — линейной, условной и циклической;

13) формирование умений формализации и структурирования информации, умения выбирать способ представления данных в соответствии с поставленной задачей — таблицы, схемы, графики, диаграммы, с использованием соответствующих программных средств обработки данных;

14) формирование навыков и умений безопасного и целесообразного поведения при работе с компьютерными программами и в Интернете, умения соблюдать нормы информационной этики и права.

В стандартах – результаты обучения представлены в требованиях к уровню подготовки выпускников. Требования структурированы по 3-м компонентам:

1. знать (понимать);

2. уметь;

3. использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

При реализации компетентностного подхода особое внимание нужно уделять на последний компонент, который по нашему мнению направлен на компетентностный подход в математике в основной школе. Предмет математики разделен на 4 области: арифметика; алгебра; геометрия; элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятности. К каждой области математики к практическим умениям сформированы определенные требования, которые включают в себя по 3 компонента. Так в области арифметики:

1. решения несложных практических расчетных задач, в том числе с использованием справочной литературы, калькуляторов и компьютеров;

2. устной прикидки и оценки результата вычислений, проверки результата вычисления, с использованием различных приемов;

3. интерпретации результатов решения задач с учетом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и явлений.

Алгебре:

1. выполнения расчетов по формулам, составления формул, выражающих зависимость между реальными величинами; для нахождения нужной формулы в справочных материалах;

2. моделирование практических ситуаций и исследований построенных моделей с использованием аппарата алгебры;

3. описания зависимостей между физическими величинами, при исследовании несложных практических ситуаций.

Геометрии:

1. описания реальных ситуаций на языке геометрии;

2. расчетов, включающих простейшие тригонометрические формулы;

3. решение геометрических задач с использованием тригонометрии;

4. решение практических задач, связанных с нахождением геометрических величин (используя при необходимости справочники и технические средства);

5. построение геометрическими инструментами (линейка, угольник, циркуль, транспортир).

Математическую компетентность разделили на три уровня: «воспроизведение», «связи», «размышления».

«Воспроизведение»: Привычные формы представления информации, прямое применение известных фактов, стандартных приемов и методов.

«Связи»: Переход от одной формы информации к другой, создание математической модели, применение различных известных методов к решению задач, близких к известным, интерпретация полученного решения.

«Размышления»: Сложные проблемы, размышление и интуиция, творческий подход, разработка метода решения, обобщение, обоснование.

Эти три уровня сопоставимы с традиционными уровнями знаний: репродуктивным, конструктивным, творческим.

Для реализации компетентностного подхода в обучении математики учителя на уроках применяют различные педагогические технологии: проектную деятельность; применение ИКТ; мозговой штурм; игровые технологии; модульное обучение; и т.д.

Математическая грамотность учащихся определяется как «сочетание математических знаний, умений, опыта и способностей человека», обеспечивающих успешное решение различных проблем, требующих использование математики.

Компетентностный подход предполагает освоение учащимися различного рода умений, позволяющих им в будущем действовать эффективно в ситуациях профессиональной, личной и общественной жизни. Причем особое значение придается умениям, позволяющим действовать в новых, неопределенных, проблемных ситуациях, для которых заранее нельзя наработать соответствующих средств. Их нужно находить в процессе решения подобных ситуаций и достигать требуемых результатов.

Таким образом, компетентностный подход является усилением прикладного, практического характера (в том числе и предметного обучения).

ГЛАВА II. ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

ПО ТЕМЕ «РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ» НА ОСНОВЕ КОМПЕТЕНТНОСТНОГО ПОДХОДА

1. 1. Методика изучения основных классов уравнений и их систем

Рассмотрим закономерность формирования обобщенного приема решения уравнений с одним неизвестным алгебраическим способом. Она вытекает из следующего. Для того, чтобы решить любое уравнение с одной переменной, учащийся должен знать: во первых, правило, формулы или алгоритмы решения простейших уравнений данного вида и, во вторых, правила выполнения тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых данное уравнение можно привести к простейшим.

Таким образом, решение каждого уравнения складывается из двух основных частей: 1) преобразования данного уравнения к простейшим; 2) решения простейших уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам. При этом если вторая часть решения является алгоритмической, то первая – в значительной степени (и тем большей, чем сложнее уравнение) – эвристической. Именно правильный выбор необходимых тождественных и равносильных преобразований, как и всякий поиск решения задач, представляет наибольшую трудность для учащихся.

Обучение решению уравнений начинается с простейших их видов, и программа обусловливает постепенное накопление как их видов, так и «фонда» тождественных и равносильных преобразований, с помощью которых можно привести произвольное уравнение к простейшим. В этом направлении следует строить и процесс формирование обобщенных приемов решения уравнений в школьном курсе алгебры.

Обобщение приемов решения уравнений

Обобщение способов деятельности учащихся при решении уравнений происходит постепенно. Выделим следующие этапы процесса обобщения приемов решения уравнений:

- решение простейших уравнений данного вида;

- анализ действий, необходимых для их решения;

- вывод алгоритма (формулы, правила) решения и запоминания его;

- решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими;

- анализ действий, необходимых для решения;

- формулировка частного приема решения;

- применение полученного частного приема по образцу, в сходных ситуациях, в легко осознаваемых вариациях образца;

- работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно программе;

- сравнение получаемых частных приемов, выделение общих действий в их составе и формулировка обобщенного приема решений;

- применение обобщенного приема в различных ситуациях, перенос и создание на его основе новых частных приемов для других видов уравнений.

Учитель руководит всем процессом обобщения, его деятельность направлена на создание ситуаций (условий) для реализации этой схемы в процессе поэтапного формирования приемов: подбор упражнений и вопросов для диагностики контроля, помощь учащимся в осознании состава приема решения, его формулировки, отработки[20, c.138].

В V-VI классах при изучении числовых множеств в учебниках формулируется довольно много алгоритмов действий над числами и правил простейших тождественных преобразований выражений. Формулировка частных приемов решения различных простейших уравнений первой степени может естественно вписаться в этот процесс, не ограничиваясь, как это делают школьные учебники алгебры, объяснениями на примерах.

Проводя работу по этапам процесса обобщения, к концу изучения курса математики V-VI классов можно сформировать у учащихся, во- первых, обобщенный прием решения уравнений первой степени с одной переменной в следующем виде:

1. рассмотреть данное уравнение, отметить его особенности;

2. установить, какие из следующих упрощений уравнения можно сделать: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, приведение подобных слагаемых в левой и правой частях уравнения, раскрытие скобок, деление обеих частей на коэффициент при неизвестном;

3. упростить уравнение;

4. найти значение неизвестного;

5. записать ответ.

Во- вторых, можно сформулировать и обобщенный прием решения задач с помощью уравнений, например, так, как это сделано в учебнике «Алгебра 7» под редакцией С.А. Теляковского (М., 1989): «… поступают следующим образом: обозначают некоторое неизвестное число буквой и, используя условие задачи, составляют уравнение; решают это уравнение; истолковывают полученный результат в соответствии с условием задачи».

В таком виде оба приема следует повторить в начале систематического изучения курса алгебры в VII классе, затем уточнить их с учетом того, что здесь дают определения основным понятиям (уравнения, корня, равносильности, линейного уравнения).

Способы решения квадратных уравнений различных видов школьные учебники по алгебре объясняют также на примерах. Отработав частные приемы решения неполных квадратных уравнений и по дискриминанту, уместно сформулировать обобщенный прием решения квадратного уравнения (по аналогии с приемом решения уравнения первой степени):

1. определить, является ли уравнение простейшим (неполным или полным) квадратным уравнением; если «да», то п.4, если «нет»-п.2;

2. установить, какие из следующих тождественных и равносильных преобразований нужно выполнить, чтобы привести уравнение к простейшему: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов из одной части в другую, приведение подобных;

3. привести с помощью выбранных преобразований уравнение к квадратному уравнению , где ;

4. проверить равенство коэффициентов b и с нулю; если b=0 или c=0, то п.5, если , то п.6;

5. найти по правилам: при при при решений нет;

6. найти дискриминант уравнения ;

7. найти по формуле: при решений нет;

8. если нужно, сделать проверку;

9. записать ответ.

Формирование этого приема не только помогает учащимся овладеть способом решения квадратных уравнений, но и подсказывает им общие компоненты деятельности при алгебраическом решении уравнений. Та же идея подкрепляется решением задач с помощью квадратных уравнений, где уместно использовать перенос уже известного приема решения задач с помощью уравнений первой степени[8, c.23].

Сформулируем обобщенный прием решения уравнений первой степени с одной переменной.

1. определить, является ли уравнение (неравенство) линейным; если «да», то п.4, если «нет» - п.2;

2. установить, какие из следующих тождественных и равносильных преобразований нужно выполнить, чтобы привести уравнение к линейному: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов из одной части в другую, приведение подобных;

3. привести с помощью выбранных преобразований уравнение к линейному ;

4. найти ;

5. если нужно, сделать проверку, исследование;

6. записать ответ (если нужно, изобразив его на числовой оси).

Сформулировать аналогично обобщенный прием решения уравнений второй степени с одной переменной.

Изучение рациональных уравнений вносит в процесс решения уравнений существенно новый компонент , связанный с рассмотрением области определения выражения, входящее в уравнение, и возможных посторонних корней.

Учитывая это, сформулируем прием решения рационального уравнения:

1. определить, является ли данное дробное уравнение простейшим, т.е., уравнением вида , если «да», то п.4, если «нет» - п.2;

2) установить, какие из следующих тождественных и равносильных преобразовании нужно выполнить, чтобы привести уравнение к виду раскрытие скобок, перенесение членов из одной части в другую, приведение подобных, приведение к общему знаменателю;

= 0 рас-

4) заменить данное уравнение равносильной ему системой содержащей:

а) целое уравнение, полученное из данного, умножением на общий знаменатель Q(x);

б) неравенство, характеризующее область определения дроби;

5. решить полученную систему;

6. если нужно, сделать проверку;

7. записать ответ.

Программа по математике IX класса предусматривает знакомство и с некоторыми общими для всех видов уравнений приемами преобразования уравнений к простейшим (разложение левой части на множители и введение вспомогательной переменной), графическим способом решения уравнений, решения систем уравнений второй степени, решения задач с помощью систем уравнений на примерах [2, c.89].

Нетрудно заметить, что разложение левой части на множители и введение вспомогательной переменной служит очередным расширением «фонда» преобразований уравнений к простейшим. Тогда к концу изучения курса алгебры неполной средней школы обобщенный прием алгебраического решения уравнений может иметь следующий вид:

1. определить, является ли данное уравнение простейшим уравнением какого-нибудь вида; если «да», выполнять п. 4, если «нет» - п. 2;

2. установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение к простейшим данного вида: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов из одной части в другую, приведение подобных, разложение левой части на множители, введение вспомогательной переменной, возведение обеих частей в степень, замена уравнения равносильной ему системой уравнений;

3. с помощью выбранных преобразований привести уравнение к простейшим;

4. решить известным способом простейшее уравнение;

5. если нужно, сделать проверку, исследование;

6) записать ответ.

Последняя ступень в освоении школьной теории уравнений относится к организации имеющихся у учащихся знаний и опыта решения уравнений в единую, целостную систему. Для этой ступени характерны более сложные задания, в которых возрастает роль таких компонентов, как распознавание возможности сведения задания к одному из типовых классов, организация процесса решения.

Здесь существенно производить разбор решаемых заданий, выделять особенности различных классов заданий и их общие черты, отмечать ценность тех или иных применяемых средств.

По своему положению в курсе алгебры эта ступень может быть отнесена к прохождению последних тем курса и к итоговому повторению; в результате формируется общая картина связей изученных классов уравнений, неравенств и их систем.

В курсе математики старших классов учащиеся сталкиваются с новыми классами уравнений, систем или с углубленным изучением уже известных классов. Однако это мало влияет на уже сформированную систему; они дополняют ее новым фактическим содержанием, не меняя сложившиеся связи, соединяющие различные классы. На этом, более высоком уровне владения материалом связи становятся намного более освоенными, так что учащиеся в процессе выполнения заданий могут самостоятельно их восстанавливать [20, c.84].

1. Линейные уравнения с одним неизвестным.

Этот класс уравнений - первый в курсе алгебры, поэтому от характера его изучения в значительной мере зависят особенности организации всего последующего изучения линии уравнений. При изучении этого класса уравнений, помимо его непосредственного выделения и описания, приходится останавливаться на вопросах, относящихся к формированию общего понятия об уравнении, вводить терминологию.

Первая методическая задача, с которой учитель сталкивается, приступая к изложению этой темы, состоит в выделении формальной части понятия уравнений из той содержательной ситуации, в которой оно возникает. В качестве такой ситуации обычно выступает несложная текстовая задача, решение которой алгебраическим методом приводит к уравнению первой степени с одним неизвестным. Учителю следует обратить внимание учащихся на основной метод, примененный в решении задачи,— переход к ее алгебраической модели, общий вид которой f(x)=g(x), где f и g — некоторые выражения, содержащие неизвестное х. Далее, на основе анализа конкретно полученной формулы учитель приводит формулировку общего понятия уравнения, принятую в учебнике, и вводит (или напоминает) связанные с ним термины. Вслед за этим нужно обратить внимание на те формальные характеристики составленного уравнения, которые уже непосредственно приводят к описанию изучаемого конкретного класса уравнений.

В различных учебниках применяется разная терминология, относящаяся, по существу, к одному и тому же классу уравнений. В этом отношении необходимо быть чрезвычайно класса уравнений.

В учебнике для 6 класса средней школы Макарычева это линейные внимательным и употреблять только те термины, которые введены в учебнике, причем именно в том смысле, который им придается.

Опишем несколько подходов к выделению первого изучаемого в курсе алгебры уравнения с одной переменной, т. е. уравнения вида ах=b, где переменная, а и b — числа. Естественно, что это определение выделяет очень узкий класс уравнений, недостаточный для решения самых простых задач. Какую роль он выполняет? Это роль двоякая. Во-первых, уравнения этого класса просто решаются, причем так описанный класс допускает полное исследование (что и осуществляется в учебнике). Во-вторых, запись уравнений из этого класса играет роль образца, к которому могут быть сведены посредством простейших преобразований уравнения более широкого класса. Большая часть времени, отводимого на изучение линейных уравнений по этому учебнику, используется именно на то, чтобы сформировать навыки сведения к линейным других уравнений, не входящих в этот класс [20, c.88].

В вводится и рассматривается класс уравнений, названный по-иному — уравнения первой степени с одним неизвестным. К особенностям введения этого класса следует отнести то, что явного определения он не получает: определение заменяется описанием и иллюстрацией несколькими примерами. Предполагается, что в итоге их рассмотрения учащиеся получат достаточно ясное представление об объеме понятия. Основное внимание уделяется изложению правил последовательного преобразования уравнения к все более простому виду. Фактически при этом приходят к уравнению . Этот последний класс уравнений явно не выделяется, но на примерах рассматриваются все возможные случаи решения уравнений из него. Такой подход позволяет сконцентрировать внимание непосредственно на алгоритмах решения уравнений.

В также вводится понятие уравнения первой степени с одним неизвестным и объясняется алгоритм его решения. В отличие от [20] здесь дано явное определение: «Алгебраическое уравнение от одного неизвестного называется уравнением первой степени, если обе его части являются многочленами первой степени относительно неизвестного». По поводу этого определения следует сказать, что по смыслу понятия степени многочлена, введенного в этом учебнике, оно относится к конкретной записи многочлена без приведения подобных членов; например, многочлен - первой степени.

В системе изучения присутствуют оба понятия: и линейного уравнения с одним неизвестным, и уравнения первой степени. Первое из них описывает широкий класс уравнений (левая и правая части уравнения — нуль или многочлены не выше первой степени), а второе—более узкий (уравнение вида ).

Выделение подкласса уравнений первой степени в классе линейных уравнений в принципе может облегчить изложение этого класса. В частности, введение двух терминов (линейное уравнение, уравнение первой степени) позволяет четче описать сам процесс решения. Однако при этом возникает необходимость в усвоении двух, а не одного термина. Точно так же указание явного определения изучаемого понятия по сравнению с описанием имеет преимущество большей четкости, но предъявляет более высокие требования к развитию логического мышления учащихся.

Охарактеризованные четыре варианта изложения теории уравнений, имеющих вид , свидетельствуют о том, что эта теория допускает несколько различных по стилю и методике изучения развертывании. Можно (как это сделано в первом и четвертом случаях) сконцентрировать внимание на выделении более узкого класса, играющего роль «канонического вида», к которому приводятся данные уравнения; но можно (как во втором и третьем случаях) обойтись и без этого, а сразу изучать способы решения уравнений общего класса, используя изученные типы преобразований уравнений. Точно так же можно с разной степенью выявленности описывать вводимые термины: четким определением или же посредством описания.

Несмотря на наличие таких разных подходов к введению первого класса уравнений, значительная часть методики его изучения одинакова при любом из них. Это объясняется прежде всего тем, что основной целью изучения в данном случае всегда является освоение правил решения уравнений данного класса, образующих сравнительно компактную систему и относящихся исключительно к преобразованиям буквенно-числовых выражений. В последнем отношении рассматриваемый класс сильно отличается от большинства других классов, в изучении которых определенную, а иногда значительную роль играют логические, графические, вычислительные компоненты.

При изучении этого класса уравнений учащиеся подходят к осознанию того, что уравнения, с первого взгляда мало отличные друг от друга, могут резко различаться по количеству корней. Это ответственный момент, один из самых существенных в изучении всего курса алгебры, поскольку при этом учащиеся впервые сталкиваются с необходимостью теоретического осмысления именно класса уравнений, а не каждого уравнения в отдельности.

Конкретные способы изложения материала, относящегося к исследованию, могут быть различными. Зависят они в первую очередь от стиля выделения этого класса. Если он выделяется явным определением, то и результаты исследования формулируются в виде четкой системы условий, при выполнении которых имеет место один из трех возможных случаев. Если же этот класс уравнений выделяется посредством описания, то реализация каждого из этих случаев показывается на примерах, но общего обоснования не дается.

Отметим еще, что рассматриваемый класс является единственным, для которого в современной методике есть разные подходы к проведению исследований. Для каждого из остальных классов уравнений, неравенств, систем исследование проводится, по существу, одинаково при любом построении курса алгебры. Именно те классы уравнений, неравенств, систем, алгоритмы решения которых заучиваются при усвоении материала, исследуются аналогично первому способу; для тех классов, где результирующих формул для получения ответа не указывается, используется второй способ. В итоге тематического изучения первого класса уравнений учащиеся должны овладеть: алгоритмом решения уравнений данного класса; умением применять результаты исследования уравнений данного класса; основными понятиями общей теории уравнении; применением уравнений данного класса к решению текстовых задач.

2. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

С помощью линейных уравнений с одним неизвестным можно решать многочисленные задачи, в которых либо имеется только одно неизвестное, либо среди неизвестных можно указать одно «ведущее», через которое выражаются остальные. Но многие ситуации описываются несколькими параметрами, вообще говоря, равноправными друг другу; эти ситуации требуют разработки новых алгебраических средств их изучения. В качестве одного из таких средств в курсе алгебры выступает класс систем двух линейных уравнений, с двумя неизвестными [20, c.104].

Приведенное рассуждение может быть положено в основу методики изучения указанного класса. Такой способ введения подчеркивает прикладную значимость уравнений с двумя неизвестными, однако изучение этого класса требует введения обширной совокупности формальных понятий и методов, поэтому отмеченная схема изложения, в которой проводится содержательная мотивировка данного класса, не единственный способ изложения этого материала.

Изложение темы можно начать с рассмотрения понятий, входящих в качестве компонентов в понятие системы линейных уравнений с двумя неизвестными; их соединение формирует представление о данном классе. Эти компоненты таковы: представление о конъюнкции логических условий, которое формализуется в понятии системы уравнений; представление о решении уравнения с двумя неизвестными.

Рассмотрим эти компоненты подробнее. Полезность изучения понятия уравнения с двумя неизвестными перед введением понятия о системе уравнений заключается в том, что при этом могут быть рассмотрены два важных в дальнейшем вопроса: выражение одного из неизвестных через другое (это преобразование используется при изучении метода подстановки) и введение понятия графика уравнения с двумя неизвестными.

Существенно новым представлением, которое получают учащиеся при изучении этой темы, является представление о том, что служит не число, а упорядоченная пара чисел. Вторым представлением, резко расширяющим кругозор учащихся, служит то, что множество решений уравнения с двумя неизвестными, как правило, бесконечно и его изображение на координатной плоскости - некоторая линия.

Изучение этой темы может рассматриваться как определенный мостик связывающий понятие функции и понятие уравнения с двумя неизвестными: с одной стороны, уравнение с двумя неизвестными, в котором одно из них выражено через другое, по виду формулы совпадает с функцией; с другой - оказывается, что один и тот же геометрический образ является и графиком уравнения, и графиком функции. Эти первые представления в дальнейшем подвергаются неоднократному уточнению и переосмысливанию, но уже и в таком несовершенном виде они с успехом используются при изучении систем уравнений.

Тема «Уравнение с двумя неизвестными» в случае наличия ее в курсе изучается недолго. Цель ее изучения состоит скорее во введении новых представлений, чем в развитии навыков.

Непосредственно за ней или на ее месте рассматривается тема «Линейные уравнения с двумя неизвестными». Этот класс изучается детальнее. Здесь необходимо приобрести навыки перехода от линейного уравнения к уравнению y=kx+b или . Кроме того, требуется усвоить факт: график линейного уравнения , где , или , есть прямая линия, а также научиться строить график конкретных линейных уравнений с двумя неизвестными.

Непосредственно перед изучением систем линейных уравнений может быть введено понятие о системе уравнений с двумя неизвестными. Но здесь необходимы некоторые уточнения. Понятие системы уравнений в курсе школьной математики строго определено быть не может из-за отсутствия в нем понятия конъюнкции. Однако для развития теории уравнений, достаточно оказывается формировать представление о системе уравнений косвенным образом, посредством указания на цель — нахождение общих решений, двух данных уравнений. Заметим, что общее понятие о системе уравнений в этот момент и необязательно вводить. Общее понятие формируется постепенно на основе своего ведущего частного случая - системы линейных уравнений, - который и составляет непосредственный предмет изучения. Фактически получается так, что понятие о системе уравнений формируется у учащихся на основе осмысления «решение уравнения» и представления о том, что значит решить уравнение [20, c.130].

Переход к изучению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными целесообразно осуществить при помощи того же процесса выделения математических понятий из текстовой задачи, который был использован в изучении первого класса уравнений. Если реализуемая в учебнике методическая система не содержит пропедевтики этого понятия, такой подход является единственно возможным. Однако даже и при наличии подготовки он позволяет уточнить формальные характеристики вводимого класса систем уравнений и подчеркнуть некоторые существенные моменты: например, что решением системы является не одно число, а пара чисел.

Основное содержание рассматриваемой темы состоит в изучении двух алгебраических способов решения таких систем, графического способа решения и исследования систем этого класса.

Отметим наиболее важные отличия в изучении этого материала от изучения класса линейных уравнений с одним неизвестным.

Алгоритмы решения систем линейных уравнений намного сложнее алгоритма решения линейного уравнения с одним неизвестным. Поэтому при их изучении учитель должен четко указывать последовательность операций, используемых в этих алгоритмах, а также провести изучение каждого действия. Эти алгоритмы, по существу, являются первым нетривиальным примером алгоритма в линии уравнений и неравенств.

В развертывании содержания данной темы используются геометрические представления, которые не только в ряде мест могут пояснить изложение, но имеют важное самостоятельное значение. Наиболее принципиальным является их применение для проведения исследования данного класса систем. Возможны различные уровни развертывания этого материала — от иллюстраций, поясняющих смысл различных типов множеств решений, и до использования геометрических представлений для выведения аналитических условий, определяющих каждый случай уровень в современном школьном курсе алгебры обычно не достигается.

3. Квадратные уравнения. Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений и неравенств. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений. В значительной мере именно на материале этой темы осуществляется синтез материала, относящегося к уравнениям.

Во всех современных школьных учебниках алгебры и термин, и объем понятия квадратного уравнения одинаковы. Понятие вводится посредством явного определения, что обязывает организовать работу по усвоению его формальных признаков. Это тем более необходимо, что соответствующие признаки существенно используются при построении теории квадратных уравнений, в частности при выводе формулы корней и в теореме Виета.

Вывод формулы корней квадратного уравнения может быть осуществлен несколькими различными способами: сразу для общего или сначала для приведенного квадратного уравнения, сведением к уравнению или к уравнению . Но в любом случае приходится использовать выделение полного квадрата в трехчлене , сводящее уравнение к двучленному. Выделение последовательности шагов, приводящих к решению квадратных уравнений, проводится сначала на конкретных примерах.

Необходимым этапом при выводе формулы корней квадратного уравнения служит исследование, выявляющее три возможных случая: отсутствие корней, наличие одного или двух корней. При этом вводится дискриминант уравнения. В результате исследования формулируется вывод: «Если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то оно не имеет действительных корней; если дискриминант равен нулю, то имеется один корень, равный если дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня ».

Учитывая этот вывод, решение конкретных квадратных уравнений проводится следующим образом: сначала вычисляется дискриминант, сравнивается с нулем, и если он отрицателен, то применяются формулы для нахождения корней [20, c.160].

В ряде учебников, кроме основной формулы для корней квадратного уравнения ax²+bx+c=0, приводятся еще формулы корней уравнения x²+px+q=0 или +2px+q=0. Иногда использование этих формул упрощает вычисления, при наличии времени полезно их рассмотреть.

При изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются и неполные квадратные уравнения. Обычно они изучаются перед выводом корней общего квадратного уравнения. Хотя различные виды неполных квадратных уравнений имеют разные алгоритмы решения, при изучении данной темы необходимо показать, что общая формула корней применима и для этих случаев.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной - только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета. Например, при нахождении корней квадратного уравнения подбором, нужно ссылаться на обратную теорему Виета, а не на прямую, как часто делают учащиеся. Для того, чтобы распространить теорему Виета на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашения проявляется при разложении квадратного трехчлена на множители.

Владение теорией квадратных уравнений существенно расширяет возможности решения уравнений методами , изучаемыми в курсе алгебры. Так, прямо сводятся к квадратным дробно-рациональные уравнения вида и биквадратные уравнения. Еще один класс составляют алгебраические уравнения, которые разложением на множители могут быть сведены к линейному и квадратному уравнениям. Богатство и разнообразие приемов, имеющихся у учащихся, овладевших сведением различных уравнений к квадратным, служат необходимой предпосылкой перехода к завершающему этапу освоения методов решения уравнений. Особенно это сказывается на приложении к алгебраическому методу решения текстовых задач. Сюжеты их становятся более разнообразными, возрастает также сложность перевода на язык математики. В целом можно сказать, что освоение темы «Квадратные уравнения» поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики.

2.2. Самостоятельные работы по решению уравнений для 5-9 классов

Самостоятельные работы по теме «Решение уравнений» для 5 классов

Натуральные числа. Сложение и вычитание натуральных чисел

Самостоятельная работа №1

Вариант 1

1. Запишите в тетрадях образец записи решения уравнения

Образец.

Решите уравнение:

Решение:

ответ:

2. По указанному выше образцу решите уравнения:

а)

б)

в)

г) 2041

д)

Вариант 2

1. Запишите в тетрадях образец записи решения уравнения

Образец.

Решите уравнение:

Решение:

Ответ:

2. По указанному выше образцу решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

Вариант 3

1. Запишите в тетрадях образец записи решения уравнения

Образец.

Решите уравнение:

Решение:

Ответ:

2. По указанному выше образцу решите уравнения

а)

б)

в)

г)

д)

Вариант 4

1. Запишите в тетрадях образец записи решения уравнения

Образец.

Решите уравнение:

Решение:

Ответ:

2. По указанному выше образцу решите уравнения

а)

б)

в)

г)

д)

Вариант 5

1. Запишите в тетрадях образец записи решения уравнения

Образец.

Решите уравнение:

Решение:

Ответ:

2. По указанному выше образцу решите уравнения

а)

б)

в)

г)

д)

Самостоятельная работа №2

Вариант 1

1. Запишите в тетрадях образец записи решения уравнения

Образец.

Решите уравнение:

Решение:

Ответ:

2. По указанному выше образцу решите уравнения

а)

б)

в)

г)

д)

Вариант 2

1. Запишите в тетрадях образец записи решения уравнения

Образец.

Решите уравнение:

Решение:

Ответ:

2. По указанному выше образцу решите уравнения

а)

б)

в)

г)

д)

Вариант 3

1. Запишите в тетрадях образец записи решения уравнения

Образец.

Решите уравнение:

Решение:

Ответ:

2. По указанному выше образцу решите уравнения

а)

б)

в)

г)

д)

Вариант 4

1. Запишите в тетрадях образец записи решения уравнения

Образец.

Решите уравнение:

Решение:

Ответ:

2. По указанному выше образцу решите уравнения

а)

б)

в)

г)

д)

Вариант 5

1. Запишите в тетрадях образец записи решения уравнения

Образец.

Решите уравнение:

Решение:

Ответ:

2. По указанному выше образцу решите уравнения

а)

б)

в)

г)

д)

Самостоятельная работа №3

Вариант 1

Решите уравнение:

Вариант 2

Решите уравнение:

Вариант 3

Решите уравнение:

Вариант 4

Решите уравнение:

Вариант 5

Решите уравнение:

Самостоятельная работа №4

Вариант 1

Решите уравнение:

1.

2.

3.

4.

Вариант 2

Решите уравнение:

1.

2.

3.

4.

Вариант 3

Решите уравнение:

1.

2.

3.

4.

Вариант 4

Решите уравнение:

1.

2.

3.

4. 90

Вариант 5

Решите уравнение:

1.

2.

3.

4.

Умножение и деление натуральных чисел

Самостоятельная работа №5

Вариант 1

Решите уравнение:

Вариант 2

Решите уравнение:

Вариант 3

Решите уравнение:

Вариант 4

Решите уравнение:

Вариант 5

Решите уравнение:

Самостоятельная работа №6

Вариант 1

Решите уравнение:

3. )

Вариант 2

Решите уравнение:

3. )

Вариант 3

Решите уравнение:

3. )

Вариант 4

Решите уравнение:

3. )

Вариант 5

Решите уравнение:

3. )

Самостоятельная работа №7

Вариант 1

Решите уравнение:

Вариант 2

Решите уравнение:

Вариант 3

Решите уравнение:

Вариант 4

Решите уравнение:

Вариант 5

Решите уравнение:

Самостоятельная работа №8

Вариант 1

Решите уравнение:

Вариант 2

Решите уравнение:

Вариант 3

Решите уравнение:

Вариант 4

Решите уравнение:

Вариант 5

Решите уравнение:

Самостоятельная работа №9

Вариант 1

Решите уравнение:

Вариант 2

Решите уравнение:

Вариант 3

Решите уравнение:

Вариант 4

Решите уравнение:

Вариант 5

Решите уравнение:

Самостоятельная работа №10

Вариант 1

Решите уравнение:

Вариант 2

Решите уравнение:

Самостоятельная работа №11

Вариант 1

Решите уравнение:

Вариант 2

Решите уравнение:

Вариант 3

Решите уравнение:

Вариант 4

Решите уравнение:

Вариант 5

Решите уравнение:

Самостоятельная работа №12

Вариант 1

Решите уравнение:

Вариант 2

Решите уравнение:

Вариант 3

Решите уравнение:

Вариант 4

Решите уравнение:

Самостоятельная работа №13

Вариант 1

Решите уравнение:

Вариант 2

Решите уравнение:

Вариант 3

Решите уравнение:

Самостоятельная работа №14

Вариант 1

Решите уравнение:

Вариант 2

Решите уравнение:

Вариант 3

Решите уравнение:

Самостоятельная работа №15

Вариант 1

Решите уравнение:

Вариант 2

Решите уравнение:

Вариант 3

Решите уравнение:

Дробные числа. Сложение и вычитание десятичных дробей

Самостоятельная работа №16

Вариант 1

Решите уравнение:

Вариант 2

Решите уравнение:

Умножение и деление десятичных дробей

Самостоятельная работа №17

Вариант 1

Решите уравнение:

Вариант 2

Решите уравнение:

Вариант 3

Решите уравнение:

Самостоятельная работа №18

Вариант 1

Решите уравнение:

Вариант 2

Решите уравнение:

Вариант 3

Решите уравнение:

Самостоятельная работа №19

Вариант 1

Решите уравнение:

Вариант 2

Решите уравнение:

Вариант 3

Решите уравнение:

Самостоятельные работы по теме «Решение уравнений» для 6 классов

Самостоятельная работа №1

Решите уравнение:

Самостоятельная работа №2

Решите уравнение:

Самостоятельная работа №3

1. Решите уравнение:

2. Решите уравнение:

Самостоятельная работа №4

Реши уравнение, проверь его корень

Самостоятельная работа №5

Решите уравнение:

Самостоятельная работа №6

Решите уравнение:

1. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

II. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

Самостоятельная работа №7

Решите уравнение:

Самостоятельная работа №8

Решите уравнение:

Самостоятельная работа №9

1. Решите уравнение:

2. Решите уравнение:

3. Решите уравнение:

Самостоятельная работа №10

Решите уравнение:

Самостоятельная работа №11

Решите уравнение:

Самостоятельная работа №12

1в. Решите уравнение:

2в. Решите уравнение:

3в. Решите уравнение:

Самостоятельная работа №13

1. Решите уравнение:

2. Решите уравнение:

3. Решите уравнение:

2. 43,6-y=-5

Самостоятельная работа №14

Решите уравнение:

Самостоятельная работа №15

Решите уравнение:

Самостоятельная работа №16

1. Решите уравнение:

2. Решите уравнение:

Самостоятельная работа №17

Решите уравнение:

Самостоятельная работа №18

Решите уравнение:

Самостоятельная работа №19

1. Решите уравнение:

2. Решите уравнение:

Самостоятельная работа №20

Решите уравнение:

7. 7

Самостоятельная работа №21

Решите уравнение:

Самостоятельные работы по теме «Решение уравнений» для 7 классов

Уравнения с одним неизвестным

Самостоятельная работа №1

В1

1. На нижней полке в 4 раза больше книг, чем на верхней. Если с нижней полки переставить на верхнюю 15 книг, то книг на полках станет поровну. Сколько книг на верхней полке?

2. Является ли число 3 корнем уравнения:

3. Какие из чисел 3;2 являются корнями уравнения:

;

В2

1. Конверт с новогодней открыткой стоит 27 рб. Конверт дешевле открытки на 5 рб. Найти стоимость открытки.

2. Является ли число 3 корнем уравнения:

3. Какие из чисел 3;2 являются корнями уравнения:

;

Самостоятельная работа №2

В1

1. Составить уравнение, корнем которого является число: 1; 3

2. Найти значения x, при которых равенство верно

3. Равносильны ли уравнения:

В2

1. Составить уравнение, корнем которого является число: 2;5

2. Найти значения x, при которых равенство верно

3. Равносильны ли уравнения:

Самостоятельная работа №3

В1

1. Найдите корень уравнения:

2. Решите линейное уравнение:

В2

1. Найдите корень уравнения:

2. Решите линейное уравнение:

Самостоятельная работа №4

В1

Найдите корень уравнения

1. 5x-150=0

2. 48-3x=0

3. -1,5x-9=0

4. 2x+9=13-x

5. 0,5a+11=4-3a

6. 1,7-0,3c=2+1,7c

7. 3x-8=x+6

8. (y+4)-(y-1)=6y

9. 5x+(3x-3)=6+11

В2

Найдите корень уравнения

1. 12x-1=35

2. –x+4=47

3. 1,3x=54+x

4. 14-y=19-11y

5. 1,2n+1=1-n

6. 0,8+14=2-1,6x

7. 7z-10=2-4z

8. 3w-1-(w+3)=1

9. 3h-(10+5h)=54

Самостоятельная работа №5

1. При каком значении y:

1. Значения выражений 5y+3 и 36-y равны;

2. Значение выражения 7y-2 больше значения выражения 2y на 10

3. Значение выражения 1,7y+37 меньше значения выражения 9,3y-25 на 14?

2. Решите уравнение:

1. 2x+5=2(x+1)+11

2. 5(2y-4)=2(5y-10)

3. 3y-(y-19)=2y

4. 6x=1-(4-6x)

5. 15(x+2)-30=12x

6. 6(1+5x)=5(1+6x)

7. 3y+(y-2)=2(2y-1)

8. 6y-(y-1)=4+5y

Самостоятельная работа №6

1. Найдите корень уравнения

1. 5(3x+1.2)+x=6,8

2. 4(x+3,6)=3x-1,4

3. 13-4,5y=2(3,7-0,5y)

4. 5,6-7y=-4(2y-0,9)+2,4

2. Решите уравнение

1. 0,4x+3=0,2(3x+1)-x

2. 3,4-0,6x=2x-(0,4x+1)

3. 0,8x-(0,7x+0,36)=7,1

4. x-0,5=2(0,3x-2)

Самостоятельная работа №7

1. Найдите корень уравнения

1. 6(x-1)=9,4-1,7x

2. 3,5-9a=2(0,5a-4)

3. 3(2,4-1,1m)=2,7m+3,2

4. -3(y+2,5)=6,9-4,2y

5. 0,5y+7=5(0,2+1,5y)

6. 4(x-0,8)=3,8x-5,8

2. Решите уравнение

1. 7(x-8,2)=3x+19

2. 0,2(5x-6)+2x=0,8

3. -(7y+0,6)=3,6-y

4. 3(2,5-2x)=13,5-14x

5. 0,6y-1,5=0,3(y-4)

6. 0,5(4-2a)=a-1,8

Самостоятельная работа №8

Решите уравнение

1)

2)

3)

4)

5)0,3x=6

6) 1,3x=-1,69

7) 0,7x=49

8) -10x=0,5

Самостоятельная работа №9

Решите уравнение

1. 25x-1=9

2. 7x+8=11

3. 3x-5=10-x

4. 4x+4=x+5

5. 5x+3(3x+7)=35

6. 8x-(7x+8)=9

7. 8y-9-(4y-5)=12y-(4+5y)

8. 4+8y+8=2y-(10+7y)+9

Самостоятельная работа №10

Решите уравнение

1. 5(x-3)-2(x-7)+7(2x+6)=7

2. 11(y-4)+10(5-3y)-3(4-3y)=-6

3. 5(8z-1)-7(4z+1)+8(7-4z)=9

4. 10(3x-2)-3(5x+2)+5(11-4x)=25

5. 0,71x+1,98=0,37-1,76

6. 0,18y-7,4=0,05y-5,71

7. 5(5x-1)-2,7x+0,2x=6,5-0,5x

8. 0,36x-0,6=0.3(0,4x-1,2)

Самостоятельная работа №11

Решите уравнение

Решение задач с помощью уравнений

1. Ученик задумал число. Если умножить на 4, а к произведению прибавить 8 и полученную сумму разделить на 2, то получится 10. Какое число задумал ученик?

2. 1) поезд имеет в своем составе цистерны , платформы и товарные вагоны. Цистерн на 4 меньше, чем платформ, и в 2 раза меньше, чем товарных вагонов. Сколько в составе поезда отдельно цистерн, платформ и товарных вагонов, если их общее число равно 68?

3. Три цеха изготовили 869 деталей. Второй цех изготовил деталей в 3 раза больше, чем первый, а третий – на 139 меньше, чем второй. Сколько деталей изготовил каждый цех отдельно?

3. В кассе лежит 98 монет по 1, 2, 3 к. монет по 2 к. на 10 больше, чем монет по 1 к., а монет по 3 к. в 7 раз больше, чем монет по 2 к. Сколько в кассе монет по 1, 2, 3 к.?

4. Найти 3 последовательных нечетных числа, сумма которых равна 81

5. Имеются 4 последовательных числа. Если из удвоенной суммы крайних вычесть положительную разность средних чисел, то получится 34. Найти эти числа.

6. 1) бригада лесорубов ежедневно перевыполняла норму на , поэтому недельную норму (6 рабочих дней) она выполнила за 4 дня. Сколько кубометров леса заготовляла бригада в день?

2) в цехе поставили автомат, производительность которого была на 8 деталей в час выше производительности рабочего. После 2 ч работы автомат выполнил шестичасовую норму рабочего. Какова производительность автомата?

7.1)матери 50 лет, дочери 28. Сколько лет тому назад дочь была 2 раза моложе матери?

2)отцу 40 лет, сыну 16. Через сколько лет отец будет в 2 раза старше сына

8. 1)в первом мешке было 50 кг сахара, а во втором – 80 кг. Из второго мешка взяли сахара в 3 раза больше, чем из первого, и тогда в первом мешке сахара осталось вдвое больше, чем во втором. Сколько килограммов сахара взяли из каждого мешка?

2)в одном элеваторе было зерна в 2 раза больше, чем в другом. Из первого элеватора вывезли 750 т зерна, на второй элеватор привезли 350 т, после чего в обоих элеваторах зерна стало поровну. Сколько зерна было первоначально в каждом элеваторе?

9. 1)бригада должна была выполнить заказ за 10 дней. Ежедневно перевыполняя норму на 27 деталей, бригада за 7 дней работы не только выполнила задание, но еще изготовила дополнительно 54 детали. Сколько деталей в день изготовляла бригада?

2)заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 15 дней. Но уже за 2 дня до срока завод не только выполнил план, но и выпустил сверх плана еще 6 машин, так как ежедневно выпускал по 2 машины сверх плана. Сколько машин должен был выпускать завод по плану?

10. 1)лодка шла против течения реки 4,5 ч и по течению 2,1 ч. Найти скорость лодки в стоячей воде, если она прошла всего 52,2 км, а скорость течения реки равна 3 км/ч.

2)лодка шла по течению реки 2,4 ч против течения 3,2 ч. Путь, пройденный лодкой по течению, оказался на 13,2 км длиннее пути, пройденного против течения. Найти скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3,5 км/ч.

11. 1)на школьных соревнованиях по плаванию один ученик проплыл некоторое расстояние по течению реки за 24 с и то же расстояние против течения за 40 с. Определить собственную скорость пловца, считая ее постоянной от начала и до конца заплыва, если скорость течения реки равна 0,25 м/с

2)расстояние между двумя пунктами катер прошел по течению за 3 ч 30 мин, а против течения за 6 ч 18 мин. Определить расстояние между этими пунктами, если скорость течения реки равна 2,4 км/ч.

12. в одной кассе кинотеатра продали на 86 билетов больше, чем в другой. Сколько билетов продали в каждой кассе, если всего было продано 792 билета?

13. периметр треугольника равен 16 см. две его стороны равны между собой и каждая из них на 2,9 см больше третьей, каковы стороны треугольника?

14. двое рабочих изготовили 86 деталей, причем первый изготовил на 8 деталей меньше второго. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?

15. в трех цехах завода работают 1274 человека. Во втором цехе на 70 человек больше, чем в первом, а в третьем на 84 человека больше, чем во втором. Сколько человек работает в каждом цехе?

16. на свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?

17. можно ли расположить 158 книг на трех полках так, чтобы на первой полке было на 8 книг меньше, чем на второй, и на 5 книг больше, чем на третьей?

18. можно ли 59 банок консервов разложить в три ящика так, чтобы в третьем было на 9 банок больше, чем в первом, а во втором на 4 банки меньше, чем в третьем?

19. на одном садовом участке в 5 раз больше кустов малины, чем на другом. После того как с первого участка пересадили на второй 22 куста, на обоих участках кустов малины стало поровну. Сколько кустов малины было на каждом участке?

20. за 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

21. по шоссе идут две автомашины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 10 км/ч, а вторая уменьшит на 10 км/ч, то первая за 2 ч пройдет столько же, сколько вторая за 3 ч. С какой скоростью идут автомашины?

22. в первой бригаде 2 раза больше рабочих, чем во второй. В результате введения хозрасчета число рабочих первой бригады уменьшилось на 5 человек, а число рабочих второй бригады уменьшилось на 2 человека. Сколько рабочих стало в каждой бригаде, если известно, сто после введения хозрасчета в первой бригаде их оказалось на 7 больше, чем во второй?

23. в первой бригаде было в 4 раза меньше людей, чем во второй. После того как из второй бригады 6 человек ушло, а 12перевелив первую, людей в бригадах стало поровну. Сколько человек было в первой бригаде?

24.на доске записано некоторое число. Один ученик увеличил это число на 23, а другой уменьшил на 1. Результат первого оказался в 7 раз больше, чем результат второго. Какое число записано на доске?

25. в корзине было в 2 раза меньше винограда, чем в ящике. После того как в корзину добавили 2 кг, в ней стало винограда на 0,5 кг больше, чем в ящике. Сколько винограда было в корзине?

26. один арбуз на 2 кг легче, чем другой, и в 5 раз легче, чем третий. Первый и третий арбузы вместе в 3 раза тяжелее, чем второй. Найдите массу каждого арбуза.

27. рациональное использование техники в колхозе позволило высвободить 12 тракторов. Сколько тракторов осталось в колхозе, если известно, что их было в 1,5 раза больше?

28. в двух мешках было по 50 кг сахару. После того как из одного мешка взяли в 3 раза больше сахара, чем из другого, в нем осталось в 2 раза меньше сахара, чем в другом. Сколько сахара осталось в каждом мешке?

Самостоятельные работы по теме «Решение уравнений» для 8 классов

Квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения

Самостоятельная работа №1

В1

1. Решите уравнения:

a)

b)

c)

d)

2. Найдите корень уравнения:

В2

1. Решите уравнения:

2. Найдите корень уравнения:

Самостоятельная работа №2

В1

1. Решите уравнения:

2. Определите, при каком значении а один из корней данного уравнения равен 1:

В2

1. Решите уравнения:

a)

b)

c)

d)

2. Определите, при каком значении а один из корней данного уравнения равен 1:

Самостоятельная работа №3

В1

1. Решите уравнения:

2. Определите, при каком значении а корни данного уравнения являются противоположными числами:

В2

1. Решите уравнения:

2. Определите, при каком значении а корни данного уравнения являются противоположными числами:

Формула корней квадратного уравнения

Самостоятельная работа №4

В1

1. Решите уравнения:

2. При каких значениях х равны значения многочленов

?

В2

1. Решите уравнения:

2. При каких значениях х равны значения многочленов

Самостоятельная работа №5

В1

1. Решите уравнения:

2. При каких значениях х равны значения многочленов

В2

1. Решите уравнения:

2. При каких значениях х равны значения многочленов

Самостоятельная работа №6

В1

1. Решите уравнения:

2. При каких значениях х равны значения многочленов

В2

1. Решите уравнения:

2. 4

3. -3

4. 4

2. При каких значениях х равны значения многочленов

Самостоятельная работа №7

В1

1. Решите уравнения:

2. 2

2. При каких значениях х равны значения многочленов

В2

1. Решите уравнения:

2. 8

3. 10x=5()

2. При каких значениях х равны значения многочленов

Решение задач с помощью квадратных уравнений. Теорема Виета

Самостоятельная работа №8

В1

1. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

2. Одно из двух натуральных чисел больше другого на 5. Найдите эти числа, если их произведение равно 24.

3. Запишите обратную теорему Виета для данного уравнения и найдите подбором его корни:

В2

1. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

2. Одно из двух натуральных чисел меньше другого на 6. Найдите эти числа, если их произведение равно 27.

3. Запишите обратную теорему Виета для данного уравнения и найдите подбором его корни:

Самостоятельная работа №9

В1

1. Найдите подбором корни уравнения:

2. В прямоугольном треугольнике один из катетов на 7 см больше другого. Найдите периметр треугольника, если его гипотенуза равна 13 см.

3. Один из корней данного уравнения равен 2. Найдите второй корень и коэффициента:

В2

1. Найдите подбором корни уравнения:

2. В прямоугольном треугольнике сумма гипотенузы и одного из катетов равна 32 см, а второй катет равен 24 см. найдите неизвестные стороны треугольника.

3. Один из корней данного уравнения равен 2. Найдите второй корень и коэффициента:

Применение свойств квадратных уравнений

Самостоятельная работа №10

В1

1. Решите уравнение наиболее рациональным способом:

2. Найдите корни квадратного уравнения

3. Решите уравнение:

4. Не вычисляя корней уравнения

3. .

5. Сумма квадратов корней уравнения равна 5. Найдите

6. Найдите сумму квадратов всех корней уравнения:

7. Определите, при каких значениях а оба корня уравнения равны нулю:

8. Определите при каких значениях а уравнение имеет более двух корней:

В2

1. Решите уравнение наиболее рациональным способом:

2. Найдите корни квадратного уравнения

3. Решите уравнение:

4. Не вычисляя корней уравнения

5. Сумма квадратов корней уравнения равна 8. Найдите

6. Найдите сумму квадратов всех корней уравнения:

7. Определите, при каких значениях а оба корня уравнения равны нулю:

8. Определите при каких значениях а уравнение имеет более двух корней:

Квадратные уравнения

Самостоятельная работа №11

В1

1. Решите уравнения:

2. Найдите длины сторон прямоугольника, периметр которого равен 32 см, а площадь равна 55

3. Определите значения y, при которых верно равенство:

4. Один из корней уравнения

5. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны

В2

6. Решите уравнения:

7. Найдите длины сторон прямоугольника, площадь которого равна 51 , а периметр равен 40 см.

8. Определите значения y, при которых верно равенство:

9. Один из корней уравнения

10. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны

Дробные рациональные уравнения

Самостоятельная работа №12

В1

1. Решите уравнения

В2

1. Решите уравнения

b)

Применение дробных рациональных уравнений. Решение задач.

Самостоятельная работа №13

В1

1. При каком значении х значение функции

2. Числитель обыкновенной дроби на 2 меньше знаменателя. Если числитель увеличить на 3, то получится дробь, равная данной. Найдите данную дробь.

3. При каком значении y сумма дробей

В2

1. При каком значении х значение функции

2. Знаменатель обыкновенной дроби на 1 больше ее числителя. Если к числителю дроби прибавить 3, то получится дробь, равная данной. Найдите данную дробь.

3. При каком значении y разность дробей

Дробные рациональные уравнения

Самостоятельная работа №14

В1

1. Найдите корни уравнений

2. Катер прошел 80 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 9 часов.

Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч.

3. Функция задана формулой

Определите, при каком значении x значение данной функции равно нулю.

4. Решите уравнение

В1

1. Найдите корни уравнений

2. Катер прошел 80 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 9 часов.

Найдите скорость течения реки, если скорость катера в стоячей воде равна 18 км/ч.

3. Функция задана формулой

Определите, при каком значении x значение данной функции равно нулю.

4. Решите уравнение

Самостоятельные работы по теме «Решение уравнений» для 9 классов

Уравнения и системы уравнений

Решение целых уравнений

Самостоятельная работа №1

В1

1. Решите уравнения

2. Определите, при каких значениях x равны значения двухчленов

В2

1. Решите уравнения

2. Определите, при каких значениях x равны значения двухчленов

Самостоятельная работа №2

В1

1. Решите уравнения

2. Определите, при каких значениях y сумма дроби , равен 2,5.

В2

1. Решите уравнения

2. Определите, при каких значениях y разность дроби , равна

Самостоятельная работа №3

В1

1. Решите уравнения:

2. Найдите 4 последовательных целых числа , произведение которых равно 120.

В2

1. Решите уравнения:

2. Найдите 4 последовательных нечетных числа , произведение которых равно 105.

Решение систем уравнений второй степени

Самостоятельная работа №4

В1

Решите системы уравнений:

В2

Решите системы уравнений:

Самостоятельная работа №5

В1

Решите системы уравнений: