Технологическая карта урока Неравенства, связывающие средние величины

Автор публикации:

Дата публикации:

Краткое описание: ...

Технологическая карта урока


Предмет: Алгебра и начала анализа Класс: 10

Учебник (УМК): М.И.Шабунин. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: учебник для 10 класса.

Тема урока: Неравенства, связывающих средние величины.

Тип урока:

  • по ведущей дидактической цели: изучение нового материала;

  • по способу организации: синтетический;

  • по ведущему методу обучения: проблемный.

Цели урока:

  1. Деятельностная: формирование универсальных учебных действий на примере рассмотрения средних величин.

  2. Предметно-дидактическая: формирование знаний о средних величинах и установление связи между ними.

Планируемые результаты обучения, планируемый уровень достижения целей:

Методы обучения:

  • основной: проблемный;

  • дополнительные: диалог, объяснение.

Основные вопросы:

    1. Определение средних величин.

    2. Сравнение четырёх средних, доказательство неравенств.

    3. Геометрическая интерпретация средних величин

Учебные проблемы урока:

Длины каких отрезков трапеции равны среднему геометрическому, среднему гармоническому и среднему квадратическому оснований трапеции?

Средства обучения:

  • М.И.Шабунин. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: учебник для 10 класса.

  • М.И.Шабунин. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: задачник для 10-11 класса.


Ход урока:

Постановка учебной проблемы:

Что такое

-среднее арифметическое двух величин

-среднее геометрическое двух величин

-среднее гармоническое двух величин

Опр. Средним гармоническим двух величин называется .

-среднее квадратическое двух величин

Опр. Средним квадратическим двух величин называется .

Связь между ними.

при а>0 и b>0

Надо доказать, что это так.


Варианты ответов и условия существования данных величин



?




?




Варианты связи величин между собой.

Выдвижение гипотез доказательства

Ориентировочный этап

Актуализация опорных знаний и умений учащихся

Устные упражнения

1. Сравните числа а и b, если:

1) а – b = -5;

2) а – b = 4,5;

3) b – a = 0,5;

4) b – а = -0,1;

5) а – b = 0.

2. Представьте в виде квадрата двучлена выражение:

1) х2 – 2х + 1;

2) m2 + 10m + 25;

3) х2 – 6m + 9;

4) m2 – mn + n2 – mn;

5) х – 2 √ху + у (х > 0; у > 0).

3. Сравните с нулем значение выражения:

1) m2;

2) m2 + 1;

3) (m + 1)2;

4) m2 + 2mn + n2 + 1.

Ответы:

Устные

  1. а меньше b

  2. a больше b

  3. b больше а

  4. b меньше а

  5. а равно b

Записывают на доске (по одному)


  1. (х-1)2

  2. (m+5)2

  3. (x-3)2

  4. (m-n)2

  5. (√х-√у)2

Устные ответы:

  1. больше или равно 0

  2. больше 0

  3. больше или равно 0

  4. больше 0

Поисково-исследовательский этап

Мозговой штурм, объяснение, демонстрация


Способы доказательства исходного неравенства?

Шаги доказательства?


Предлагают последовательность доказательства, далее один ученик у доски доказывает, остальные предлагают алгоритм доказательства.

  1. Докажем, что среднее геометрическое меньше, чем среднее арифметическое.

Сравним с нулем разность:

==≥ 0 =>

  1. Докажем, что среднее гармоническое меньше среднего геометрического, используя сравнение разности этих величин с нулем:

- √ab =…= - .

  1. Докажем, что среднее арифметическое меньше среднего квадратического:


Возведем обе части неравенства в квадрат и сравним разность с нулем, получим

Практический этап

Доказательство геометрических интерпретаций средних величин

Диалог:

Рассмотрим произвольную трапецию ABCD

  1. Почему среднее арифметическое равно средней линии трапеции?








Оказывается, что и остальные средние имеют для трапеции определенный геометрический смысл.

  1. Среднее гармоническое равно длине отрезка, параллельного основаниям трапеции и проходящего через точку пересечения её диагоналей. (EF)



  1. Среднее геометрическое равно длине отрезка, параллельного основаниям трапеции и разбивающего трапецию на две подобные. (MN)









  1. Среднее квадратическое равно длине отрезка, параллельного основаниям трапеции и разбивающего её на две равновеликие. (PQ)

Один человек у доски доказывает, остальные выстраивают алгоритм доказательства.

  1. По определению средняя линия трапеции равна полусумме оснований, что и есть среднее арифметическое.

B а C

O h1

Е K F

M N

P Q


L h2

А b D

  1. Рассмотрим ΔАЕО и ΔАВС: подобны по 1 признаку, тогда или , но и (из подобия ΔОВС и ΔАОD) => EO=, EF= = чтд.

  2. В трапециях AMND и MBCN углы соответственно равны, значит, они подобны. ВС=а, AD=b и MN=, тогда . Докажем, что . Для этого проведем ВК||ML||CD, тогда MК=-a, AL=b-. Треугольники AEL и EBK подобны, поэтому == => стороны пропорциональны. Аналогично доказывается пропорциональность других сторон. Чтд.

  3. Отрезок PQ разбивает трапецию на две равновеликие, пусть площадь верхней трапеции равна S1=(a+PQ)h1:2, а площадь нижней S2=(b+PQ)h2:2, и площадь всей трапеции S=(a+b)(h1+h2):2, тогда из определения равновеликости трапеций получаем S1=S2 и S=2S1. Умножив оба уравнения на 2 и разделив на h1, заменим h2:h1=у, PQ=x, тогда получим систему двух уравнений:


Решив систему, находим PQ= чтд.

Рефлексивно-оценочный этап

Диалог

Организует деятельность по анализу работы на уроке:

- Где вы испытывали затруднения?

- Понятен ли алгоритм доказательства и геометрическая интерпретация?

- Для чего же нужны знания средних величин?

Ответ:

Среднее арифметическое – статистическая характеристика, показывающая средний доход, возраст, балл и тд.

Среднее геометрическое – оценка доходности вклада под сложный процент.

Среднее гармоническое – средние затраты времени на производство единицы продукции

Среднее квадратическое – оценка риска производства продукции. Чем меньше величина, тем меньше отклонение от плана производства.

Домашнее задание: стр. 106 № 6

Отвечают на вопросы, участвуют в обсуждении, анализируют, делают выводы.
Читать полностью »