Рабочая программа спецкурса по математике в 10 классе по теме Параметры

1. Пояснительная записка.

Спецкурс «Параметры» разработан для классов физико-математического профиля в старших классах и предназначен для организации систематического изучения вопросов, связанных с параметрами. Он является предметно-ориентированным и рассчитан на учащихся, которые имеют базовую математическую подготовку.

Актуальность данного курса заключается в том, что задачи с параметром, как правило, относятся к наиболее трудным задачам и носят исследовательский характер. К сожалению, в школьных учебниках таких задач недостаточно. Решение задач с параметрами всегда вызывает большие трудности у учащихся, так как их решению в школе уделяется очень мало времени. При этом первое знакомство начинается с достаточно трудных задач. Разработанный мной курс позволяет постепенно формировать умения по решению задач с параметрами, сводящихся к исследованию линейных и квадратных уравнений, квадратного неравенства, дробно – рациональных уравнений, а также уравнений и неравенств, содержащих модули.

Новизна курса состоит в том, что в процессе изучения курса старшеклассники смогут познакомиться с различными приемами решения уравнений и неравенств с параметрами, приобретут навыки рационального поиска решения задач и построения алгоритмов, а в дальнейшем применят полученные знания и умения при подготовке к поступлению в вуз и продолжению образованию. Так как основу данного курса составляют решения разных по степени важности и трудности задач, которые носят исследовательский характер, то он способен повысить математическую культуру учащихся.

Спецкурс «Параметры» призван обеспечить углубленное изучение отдельного раздела математики, повысить уровень математического мышления и сформировать навыки исследовательской деятельности.

Содержание программы курса включает теоретический практический материал. Теоретическое содержание составляют основные понятия, способы решения задач и их обоснование. Практическое содержание - это практикум по решению задач различных типов, разного уровня сложности.

Спецкурс рассчитан на 64 часа и представлен в виде 12 блоков.

1. Первоначальные сведения.

2. Простейшие уравнения и неравенства, содержащие параметры.

3. Исследование квадратных уравнений, квадратных неравенств с параметрами.

4. Дробно – рациональные уравнения, содержащие параметры и уравнения степени выше второй.

5. Свойства функций в задачах с параметром.

6. Графические приемы.

7. Определение и свойства модуля.

8. Графики функции, содержащие знак модуля.

9. Уравнения, содержащие модуль.

10. Неравенства со знаком модуля.

11. Уравнения и неравенства, содержащие модуль и параметр.

12. Работа над проектами.

Цели курса

• прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений по теме «параметры», которые учащиеся могли бы применить в нестандартных ситуациях;

• развитие логического мышления и интуиции, алгоритмической культуры, творческих и научно-исследовательских способностей;

• формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования жизненных явлений и процессов;

• обеспечение самоопределения личности, создание условий для ее самореализации.

Задачи курса

• способствовать повышению как теоретической, так и технической подготовки учащихся;

• систематизировать теоретические знания учащихся, связанных с понятиями параметры и модуль;

• формировать практические навыки и умения у учащихся при построении графиков функций, решении уравнений и неравенств, содержащих параметры и модули, с использованием различных методов и приемов;

• подготовить учащихся к поступлению в вуз и продолжению образованию.

Ожидаемые результаты

Подготовить учащихся к самоопределению в сознательном решении таких вопросов как: успешная сдача выпускных экзаменов, выбор места дальнейшего обучения и поступления в вуз.

Знать, что умение решать уравнения и неравенства с параметрами позволит систематизировать полученные знания на более высоком уровне, что обеспечит высокие сертификационные баллы по математике на выпускных экзаменах, а значит успешно решить вопрос поступления в вуз.

2. Учебно-тематический план

Количество часов

Формы контроля

Всего

теория

прак

тика

1. Первоначальные сведения.

2

2

-

Вводная лекция. Что такое параметр? Что означает решить задачу с параметром? Типы задач с параметром.

1

1

-

Основные способы и методы решения задач с параметром.

1

1

-

2. Простейшие уравнения и неравенства, содержащие параметры.

3

1

2

Диагностика №1

Линейные уравнения.

1

1

-

Линейные неравенства.

1

-

1

Простейшие квадратные уравнения. Обработка результатов задач с параметром.

1

-

1

3. Исследование квадратных уравнений, квадратных неравенств с параметрами.

6

2

4

Исследование с помощью дискриминанта.

2

1

1

Диагностика №2

Применение теоремы Виета и ей обратной.

1

0,5

1

Расположение корней квадратного уравнения относительно заданных точек.

1

0,5

1

Диагностика №3

Комплексные задачи.

2

1

1

4. Дробно – рациональные уравнения, содержащие параметры и уравнения степени выше второй.

6

3

3

Диагностика №4

Контрольная работа №1

Дробно – рациональные уравнения.

1

1

1

Разложение на множители многочлена. Развертка вдоль оси параметра

2

1

1

Применение метода интервалов.

2

1

1

5. Свойства функций в задачах с параметром.

6

3

3

Область значений функции.

2

1

1

Экстремальные свойства функции. Монотонность.

2

1

1

Четность. Периодичность.

2

1

1

6. Графические приемы.

5

2

3

Диагностика №5

Семейство функций у=f(x; a), параллельный перенос.

2

1

1

Поворот. Касательная к кривой.

1

1

-

Построение графиков.

2

-

2

7. Семинар: решение задач с параметром, предлагаемых на экзаменах.

2

-

2

Контрольная

работа №2

8. Определение и свойства модуля

2

1

1

Аналитическое определение модуля

Геометрический смысл модуля

Преобразование выражений, содержащих неизвестное под знаком модуля.

График функции y=f(|x|)

1

График функции y=|f(x)|

1

График функции y=|f(|x|)|

2

1

1

Графики сложных функций

График функции y=|f(|x|)|

2

2

1

1

1

1

9. Уравнения, содержание модуль

12

5

7

Диагностика №6

Основные методы решения уравнений

1

1

-

Линейные уравнения, содержащие модуль

Квадратные уравнения, содержащие модуль

3

1

2

Показательные и логарифмические уравнения с модулем

10. Уравнения, содержащие модуль и параметр

5

2

3

11. Неравенства со знаком модуля

14

6

8

Диагностика №7

Неравенства вида |f(x)>|g(x)|

2

1

1

Неравенства вида |f(x)|<g(x)

2

1

1

Неравенства вида |f(x)|>g(x)

2

1

1

Тригонометрические неравенства, содержащие знак модуля

2

1

1

Показательные и логарифмические неравенства с модулем.

3

1

2

Неравенства, содержащие модуль и параметр.

3

1

2

12. Индивидуальная работа учащихся над проектами

1

1

-

Презентация проектов

Защита проектов

Итого:

64

29

35

3. Содержание программы.

1. Первоначальные сведения. (2ч)

Вводная лекция. Что такое параметр? Что означает решить задачу с параметром? Типы задач с параметром. Основные способы и методы решения задач с параметром.

Требования к знаниям и умениям:

• Знать типы задач, уметь их распознавать.

• Знать основные методы решения задач с параметром.

• Уметь решать простейшие задачи.

2. Простейшие уравнения и неравенства, содержащие параметры. (3ч)

1. Основные вопросы. Линейные уравнения. Линейные неравенства. Простейшие квадратные уравнения. Обработка результатов задач с параметром.

2. Требования к знаниям и умениям:

• знать алгоритм исследования линейного уравнения с параметрами, уметь применять при решении уравнений, приводимых к линейным;

• развивать навыки поиска одинаковой идеи решения в задачах с различными условиями.

3. Диагностика №1.

4. Контрольная №1..

3. Исследование квадратных уравнений, квадратных неравенств с параметрами. (6ч)

1. Основные вопросы. Исследование с помощью дискриминанта. Применение теоремы Виета и ей обратной. Расположение корней квадратного уравнения относительно заданных точек. Комплексные задачи.

2. Требования к знаниям и умениям:

• знать и уметь исследовать квадратное уравнение с параметрами, уметь применять знания при решении более сложных уравнений, приводимых к квадратным;

• развивать умение различать в задачи условие и заключение.

3. Диагностика №2 по теме: Исследование квадратных уравнений, квадратных неравенств с параметрами. Применение теоремы Виета.

4. Диагностика №3 по теме: Расположение корней квадратного уравнения относительно заданных точек.

4. Дробно – рациональные уравнения, содержащие параметры и уравнения степени выше второй. (6ч.)

1. Основные вопросы. Дробно – рациональные уравнения. Разложение на множители многочлена. Развертка вдоль оси параметра. Применение метода интервалов.

2. Требования к знаниям и умениям:

• уметь исследовать и решать дробно-рациональные уравнения;

• учить высказывать гипотезы, опровергать их или доказывать

5. Свойства функций в задачах с параметром. (6ч.)

1. Основные вопросы. Область значений функции. Экстремальные свойства функции. Монотонность. Четность. Периодичность.

2. Требования к знаниям и умениям:

• повторить метод интервалов решения неравенств;

• уметь исследовать функции, содержащие параметры.

3. Диагностика №4..

6. Графические приемы. (5ч.)

1. Основные вопросы. Семейство функций у=f(x; a), параллельный перенос. Поворот. Касательная к кривой. Построение графиков.

2. Требования к знаниям и умениям:

3. Диагностика №5 по теме: Графические приемы решения уравнений с параметром..

7. Семинар: решение задач с параметром, предлагаемых на экзаменах. (3ч.).

Контрольная работа №2.

8. Определение и свойства модуля.

1. Основные вопросы. Вводная лекция. Обобщение теоретических знаний, связанных с понятием модуля. Аналитическое определение и геометрический смысл модуля. Свойства модуля. Преобразования различных выражений, содержащих знак модуля на основе его определения. Использование математической символики. Знаки совокупности и системы.

2. Требования к знаниям и умениям:

• Повторить определение модуля; геометрический смысл модуля.

• Уметь с помощью определения раскрывать модуль.

3. Практическая работа: преобразование выражений, содержащих знак модуля, с использованием приема «разбиения на промежутки».

9. Построение графиков функций, содержащих модули.

1. Основные вопросы. Принципы построения графиков функций с модулем:

• построение графика функции y=׀ƒ(x)׀;

• построение графика функции y=ƒ(׀x׀);

• построение графика функции y=׀ƒ(׀x׀)׀

• построение графика функций, содержащих модуль от выражения с переменными;

• построение графика функции ׀y׀=׀f(x)׀;

• построение графика функции ׀y׀=f(׀x׀);

Индивидуальное задание: построение графика выбранной функции.

10. Уравнения, содержащие модули.

Систематизация различных видов уравнений и систем с модулем. Методы решения: раскрытие модуля исходя из определения; возведение обеих частей уравнения в квадрат; метод разбиения на промежутки; графический и аналитический способы решения уравнений и систем уравнений с модулем. Алгоритмы решения уравнений, содержащих модуль:

• решение линейных уравнений;

• решение квадратных уравнений;

• решение тригонометрических уравнений;

• решение показательных и логарифмических уравнений.

Требования к знаниям и умениям:

• повторить основные приемы решения показательных уравнений и неравенств;

• знакомство с некоторыми приемами решения показательных уравнений и неравенств с параметрами.

Диагностика №6 по теме: Решение уравнений с модулем с выбором рационального способа решения.

11. Неравенства, содержащие модуль.

1. Основные вопросы. Классификация различных типов неравенств с модулем и способы их решения. Алгоритмы решения неравенств, содержащих модуль.

Графический и аналитический способы решения линейных неравенств и неравенств второй степени с модулем:

• неравенства, содержащие выражения ׀x׀;

• неравенства вида ׀ƒ(x)׀ >g(x)

• неравенства вида ׀ƒ1(x)׀±׀ƒ2(x)׀±…± ׀ƒn(x)׀> g(x).

Системы неравенств, содержащие неизвестное под знаком модуля.

Тригонометрические неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля. Показательные и логарифмические неравенства с модулем.

2. Требования к знаниям и умениям:

• повторить основные приемы решения неравенств;

• знакомство с некоторыми приемами решения неравенств с параметрами, содержащими знак модуля.

• Самостоятельная работа (в разработке занятия)

3. Диагностика №7 по теме: решение неравенств с модулем с выбором рационального способа решения.

12. Модуль и параметр.

1. Основные вопросы. Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль и параметр. Аналитический и графический способы решения.

Исследование для всех значений параметра а. Зависимость количества решений от параметра а. Система уравнений, содержащих параметры и модуль.

2. Требования к знаниям и умениям:

• рассмотреть графический способ решения таких уравнений и неравенств.

3. Самостоятельная работа (в разработке занятия)

4. Тема реферата «Решение квадратного неравенства с параметром»

5. Контрольная работа №3 по теме: Уравнения и неравенства, содержащие параметры и модуль.

13. Защита проектов.

Итоговой контроль в виде защиты проекта или реферата.

Дидактические материалы к занятиям спецкурса.

Диагностика №1

Уровень А

1. Решить уравнение.

1. ах = 1

2. (а – 2)х = а² –4.

3. ( а² – 4)х = (а + 2)(а – 3).

4. ах – 2х + а = 0.

2. Сколько корней имеет уравнение (а² –5а + 6)х = а⁴ – 16 при указанных значениях параметра а: а = 0, а = 1, а = 2, а = 3, а = -1.

Уровень В

1. Найдите значения а, при каждом из которых уравнение а(3х – а) = 6х – 4 имеет положительный корень.

2. При каких значениях а среди корней уравнения х – ах + а² – 1 = 0 есть корни больше 1?

Уровень С

При каких значениях параметра корни уравнения = 2 будут не меньше –1.

Диагностика № 2

1. Исследуйте знаки корней: (а - 3) х² - 6х + а + 5 = 0

2. Найти все значения параметра, при которых разность корней уравнения

(а - 2) х² – (а – 4)х - 2 = 0 равна 3

3. Найти все значения параметра, при которых отношение корней уравнения

а х² – (а + 3)х + 3 = 0 равно 1,5

4. При каких значениях параметра сумма квадратов корней уравнения

х² + (а – 1)х + а² – 1,5 = 0 наибольшая

5. Нарисуйте различные случаи расположения параболы относительно осей координат и в каждом случае ответьте на вопросы о знаках a, b, c, D, f(0).

6. При каких значениях параметра оба корня уравнения х² – ах + 2 = 0 лежат в промежутке (1; 3)

7. При каких значениях параметра оба корня уравнения

х² – 6ах + 2 – 2а + 9а² = 0 больше 3?

8. При каких значениях параметра а 2 разделяет корни уравнения

а х² + х + 1 = 0 ?

9. При каких значениях параметра оба корня уравнения

(а - 2) х² – 2ах + 5а = 0 положительны?

10. При каких значениях параметра уравнение (2а – 5)х² – 2(а – 1)х + 3 = 0 имеет один корень?

11. Решить для всех значений параметра уравнение: ах² – х + 3 = 0

12. При каких значениях параметра оба корня уравнения

х² + (а + 1)х + а +4 = 0 отрицательны?

Диагностика №3

на 2 урока

Вариант I

1. При каких значениях параметра корни уравнения удовлетворяют условию ?

2. Найти все значения , при которых сумма квадратов корней уравнения равна 9.

3. Найти значения , при которых сумма корней и сумма квадратов корней уравнения равны между собой.

4. При каких значениях параметра один корень уравнения равен квадрату другого?

5. При каких значениях параметра сумма квадратов корней уравнения будет наибольшей?

6. При каких значениях параметра сумма множество решений неравенства будет интервал длины 5?

Вариант II

1. При каких значениях параметра корни уравнения удовлетворяют условию ?

2. При каких значениях параметра отношение корней уравнения равно 4?

3. При каких значениях параметра сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение?

4. При каких значениях параметра один корень уравнения в 2 раза больше другого?

5. При каком значении параметра сумма кубов корней уравнения равна числу 18?

6. Найти значения , при которых сумма четвертых степеней корней уравнения будет равна числу 17.

Уровень С

1. При каком наибольшем значении уравнение имеет 3 корня?

2. При каком целом наибольшем значении уравнение имеет 4 различных корня?

3. При каких уравнение не имеет решений?

4. При каких уравнение не имеет решений?

Диагностика № 4

1. При каких значениях параметра корни уравнения лежат по разные стороны от ?

2. Найти значения параметра , при которых число 0 принадлежит отрезку между корнями уравнения .

3. При каких значениях параметра корни уравнения лежат правее числа 0?

4. При каких значениях параметра число 3 лежит левее корней уравнения ?

5. При каких значениях параметра число 2 больше корней уравнения ?

6. При каких значениях параметра корни уравнения лежат левее числа 2?

7. При каких значениях параметра корни уравнения будут либо меньше1, либо больше 4?

8. При каких значениях параметра число 0 не принадлежит промежутку между корнями уравнения ?

9. Найти значения параметра , при которых неравенство выполняется хотя бы при одном ?

Коррекция.

1. При каких значениях параметра корни уравнения а) больше числа -3; б) меньше числа 0?

2. При каком значении параметра один корень уравнения 1больше числа 1, а другой, меньше числа 1?

3. При каких значениях параметра оба корня уравнения больше числа 1?

Диагностика №5.

Тема: Функционально-графические методы решения задач с параметрами

на 2 урока

Графический метод решения особенно эффективен, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра а.

Уровень А

1. Сколько корней имеет уравнение | | х| - 2| = а при различных значениях параметра .

2. Сколько корней имеет уравнение | х² - 2|х| - 3| = а при различных значениях а?

3. При каких значениях а уравнение имеет решение?

4. Решить уравнение |х - 1| + |х - 3| = а.

5. При каких значениях а уравнение имеет одно решение?

Уровень В

Сколько корней имеет уравнение (а – 1)х² – 4(а – 1)х + 3а – 4 = 0 при различных значениях параметра а?

Сколько корней имеет уравнение | х - 4| = ах + 2 при различных значениях а?

Сколько корней имеет уравнение = х – а при различных значениях параметра а.

Сколько корней имеет уравнение = -х + а при различных значениях параметра а?

При каких значениях параметра уравнение х² + а | х - 2| = 0 имеет три корня?

Сколько корней имеет уравнение х + 1 = а| х - 1| при различных значениях параметра а?

Сколько корней имеет уравнение – х² = х + а при различных значениях параметра а?

Уровень С

1. Сколько решений имеет система уравнений

2. При каких значениях а система уравнений имеет 4 решения?

3. При каких значениях а система уравнений имеет одно решение?

4. Решить систему уравнений

5. При каких значениях а неравенство выполняется при любых значениях х?

6. При каких значениях параметра а уравнение не имеет решения?

7. При каких значениях параметра а система уравнений

8. имеет 4 решения?

9. При каких значениях параметра а система уравнений

10. не имеет решения?

Контрольная работа №1

I вариант

1. При каких значениях параметра , уравнение имеет два различных корня?

2. Найти все значения , при которых уравнение имеет хотя бы один корень.

3. При каких значениях параметра , уравнение не имеет корней?

4. Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет более одного корня.

5. При каких значениях , уравнение имеет один корень?

6. Найти наибольшее целое отрицательное число , при котором уравнение имеет два различных действительных корня.

II вариант

1. При каких значениях параметра , уравнение имеет единственное решение?

2. Найти значения параметра , при которых уравнение не имеет корней.

3. При каких значениях уравнение имеет два равных корня?

4. Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет более двух корней.

5. Найти все значения параметра , при которых квадратное уравнение имеет действительные корни.

6. При каких значениях , уравнение не имеет корней?

Контрольная работа №2

I вариант

1) Найти больший корень уравнения ;

2) Найти все значения параметра , при которых квадратное уравнение имеет действительные корни.

3) Найти целое , при котором уравнение имеет ровно три корня.

4) Найти все значения параметра , при которых сумма квадратов корней уравнения равна 9.

5) При каких значениях параметра корни уравнения будут либо меньше 1, либо больше 4?

6) Найти все значения параметра , при которых корни уравнения действительны и хотя бы один корень удовлетворяет условию .

II вариант

1) Найти меньший корень уравнения ;

2) Найти все значения параметра , при которых квадратное уравнение имеет более двух корней.

3) Найти наибольшее целое , при котором уравнение имеет четыре корня.

4) При каком значении параметра сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение?

5) При каких значениях параметра число 0 не принадлежит промежутку между корнями уравнения ?

6) Найти все значения параметра , при которых корни уравнения принадлежат интервалу (-1;2).

Диагностика №6

Опр.

Правило 1. Для построения графика функции у = |f(x)| на области определения, надо отрицательную часть графика функции у =f(х) отразить симметрично относительно оси абсцисс.

Правило 2. Функция у = f(|x|) четная, поэтому для построения ее графика достаточно построить график функции у = f(х) и отразить симметрично относительно оси ординат.

Свойства. |a|² = a², , |x| ≤ a -a≤x≤a

Вариант 1

Решить уравнения:

1. | 5x+3| = 1 1б

2. | 2x-1| +x = 3 2б

3. |x-1| - |x-2| = 1 3б

4. 2|x+6| - |x| + |x-6| = 18 3б

5. 4б

6. |x²-6x+8| = 4-x 4б

Решить неравенства:

1. |3x-2| ≥ 1 1б

2. |x²-5x| ≤6 2б

3. x²-5|x| -6 ≤ 0 3б

4. |x²-x-8|≤x 4б

Построить графики функций:

1. у = |2x+2| 1б

2. y = |1-|x|| 2б

3. y = -|x²-4x| 4б

4. y = x²-4|x| 4б

5. у = 3б

Вариант 2

Решить уравнения:

1. | 2x-3| = 5 1б

2. | x-3| -x = -3 2б

3. |x| - |x+2| = 0 3б

4. 2|x+1| - |x| -3|x+2| = 0 3б

5. 4б

6. |x²-x-8| = x 4б

Решить неравенства:

1. |3x-2| ≤ 2 1б

2. |x²-4x| ≤5 2б

3. x²-4|x| -5 ≤ 0 3б

4. |x²-6x+8|≤4-х 4б

Построить графики функций:

1. у = |x+2|-2 1б

2. y = |2 - |x|| 2б

3. y = |x²-5x-6| 4б

4. y = x²-5|x| -6 4б

5. у = 3б

Диагностика №6

Опр.

Правило 1. Для построения графика функции у = |f(x)| на области определения, надо отрицательную часть графика функции у =f(х) отразить симметрично относительно оси абсцисс.

Правило 2. Функция у = f(|x|) четная, поэтому для построения ее графика достаточно построить график функции у = f(х) и отразить симметрично относительно оси ординат.

Свойства. |a|² = a², , |x| ≤ a -a ≤ x ≤ a

Вариант 3

Решить уравнения:

1. | x+1| = 3 1б

2. | x+2| -x = 0 2б

3. |x+1| - |3-2x| = 0 3б

4. |x-1| +|1-2x| = 2|x| 3б

5. 4б

6. |x²+4x+3| = x+3 4б

Решить неравенства:

1. |x-2| ≥ 3 1б

2. |x²+6x| ≤8 2б

3. x²-6|x| +8 ≤ 0 3б

4. |x²-2x|≤x²-4 4б

Построить графики функций:

1. у = - |x+2|+2 1б

2. y = ||x|-1| 2б

3. y = -|x²-2x-8| 4б

4. y = x²-2|x|-8 4б

5. у = 3б

Вариант 4

Решить уравнения:

1. | x-3| = 5 1б

2. -| 2x-1| -x = -3 2б

3. |1-x| +2 = |3-x| 3б

4. |2x+1| - |x-4| -|3-x| = 0 3б

5. 4б

6. |x²-6x+8| = 3 4б

Решить неравенства:

1. |x-2| ≤ 2 1б

2. |x²-4x+3| ≤3 2б

3. x²-4|x| +3 ≤ 0 3б

4. |x²+4x+3|≤4-х 4б

Построить графики функций:

1. у = |2x+2|-1 1б

2. y = | |x|-2| 2б

3. y = |x²-3x+2| 4б

4. y = x²-3|x| +2 4б

5. у = 3б

Методические рекомендации к теме 8.

Цель занятия: повторить геометрический смысл модуля, ввести аналитическое понятие модуля; изучить основные свойства модуля; научить преобразовывать выражения, содержащие знак модуля.

1. Задания на повторение определения модуля и его геометрического смысла:

Изобразите на координатной прямой решение уравнений:

;

и решение неравенств:

;

В процессе решения данных упражнений повторяется геометрический смысл понятия и в результате учащиеся делают вывод:

Модулем действительного числа а называется число а, если а положительно или равно нулю, и число –а, если а - отрицательно, т.е.

2. Изучение основных свойств модуля:

1. для любого значения а.

2. для любого значения а.

3. для любых значений а и b.

4. для любых значений a и для любых значений b отличных от нуля.

Доказать эти свойства можно предположить самостоятельно в качестве домашнего задания. Необходимо также обратить внимание на свойство арифметического квадратного корня:

. Обобщить его на примере , где . При преобразовании выражения, прежде всего надо раскрыть модуль – значит записать выражение содержащее модуль, не используя знак модуля.

3. При преобразовании выражений, содержащих неизвестное под знаком модуля, используется прием «разбиения на промежутки», основанный на раскрытии модуля по определению.

Пример1. Раскрыть модуль : 13-2.

Решение: Согласно определению модуля, выражение раскрывается по-разному в случае, когда и когда ё Поэтому выражение 13-2 также будет иметь разный вид в зависимости от значения неизвестного х6

, если ,

, если .

Ответ:

Пример 2. Раскрыть модуль: .

Решение. Под знаком модуля стоит выражение 3-2х. В таком случае модуль раскрывается в зависимости от знака выражения 3-2х. Поступим следующим образом:

1. найдем то значение х, при котором выражение, стоящее под знаком модуля, обращается в нуль:

3-2х=0, откуда х=1,5;

2. разобьем числовую прямую найденной точкой х=1,5 на два промежутка:

1. x<1,5 и (II) ;

3. на каждом из полученных промежутков определим знак выражения, стоящего под знаком модуля, и раскроем модуль:

1. Если х<1,5 , то 3-2х>0 и .

2. Если , то и .

Заметим, что граничную точку х=1,5 можно включить в любой из промежутков.

Ответ: =

Вывод: Чтобы преобразовать выражение вида , нужно использовать алгоритм:

1. найти нули функции y=f(x):

2. разбить область определения функции найденными точками на промежутки:

1. ,

3. ,

3. на каждом промежутке определить знак выражения f(x), соответственно чему и раскрыть модуль;

4. собрать результаты, полученные на каждом промежутке, и записать ответ.

Пример 3. Раскрыть модуль:

Решение. Если выражение содержит один модуль в другом, то сначала раскрывают внутренний модуль, затем - внешний.

1. Раскроем внутренний модуль выражения:

=.

2. Раскроем каждый из полученных внешних модулей на соответствующих промежутках:

   1. раскроем модуль

1. нули функции у= х = -1 и х=3, но только 3 принадлежит взятому промежутку;

2. промежуток разбивается точкой 3 на два промежутка и .

3. Спределим знак выражения на каждом из промежутков и раскроем модуль:

если , то <0 и =;

если , то и =.

раскроем модуль при х<0.

1. нули функции у=; х= -3, х=1; но только -3 принадлежит рассматриваемому промежутку.

2. Промежуток х<0 разбивается точкой -3 на два промежутка и .

3. Определим знак выражения на каждом из полученных промежутков и раскроем модуль:

Если , то и =;

Если , то и =.

Собрав воедино полученные на каждом промежутке результаты, запишем ответ:

=

Вывод: в общем случае получаем:

Для закрепления изученного материала для самостоятельного решения с последущим разбором на занятии, можно предложить следующие задания:

Раскройте модуль:

1. , ,, ,

.

2. .

3. , , .

4. , , .

План семинарского занятия по теме:

«Построение графиков сложных функций и уравнений, содержащих модули».

Цель занятия:

• обобщение знаний учащихся по теме «Построение графиков функций, содержащих модуль»,

• закрепление умений и навыков по теме;

• практическое применение знаний для построения графиков сложных функций и уравнений, содержащих модуль.

Оборудование:

• мультимедиа-проектор;

• компьютер;

• экран для проецирования;

• раздаточный материал.

1. Организационный момент.

Учитель ставит цель перед учащимися: научиться строить графики сложных функций и уравнений, содержащих модуль.

На каждой парте раздаточный материал.

Класс делится на 3 группы.

2. Актуализация знаний учащихся по теме.

Предлагается выслушать сообщения по темам:

1. Алгоритм построения графика функции y=׀ƒ(x)׀.

Пример. y=׀x²-2x-3׀;

2. Алгоритм построения графика функции y=ƒ(׀x׀).

Пример. y=x²-׀2x׀-3;

3. Алгоритм построения графика функции y=׀ƒ(׀x׀)׀.

Пример. y=׀x²-2׀x׀-3׀;

4. Построение графиков уравнений ׀y׀=x²-2x-3;

׀y׀=׀x²-2x-3׀.

Дополнительные вопросы к выступающим ученикам.

По построенным графикам перечислить свойства функций:

• назвать нули функции;

• промежутки знакопостоянства;

• промежутки монотонности;

• точки экстремума, экстремумы функции;

• наибольшее и наименьшее значения функции.

3. Практическое применение знаний.

1. Класс делится на 3группы. Каждая группа получает задание:

Как влияет знак модуля на свойства функции?

Работа учащихся в группах по полученным заданиям.

2. Заслушиваются ответы желающих учащихся от каждой группы.

Построить графики функций:

1. y=(׀x+1׀+1) (x-3)

2. y=х³·׀х^-3׀-х²

3. Работа в парах.

Задание: график какой функции или уравнения на рисунке?

Задания на распознавание графиков функций:

Прямая и обратная пропорциональность, линейная функция, квадратичная, степенная, показательная и логарифмическая, тригонометрическая и др. функции.

2