Свойства степени с целым показателем
Цель: изучение свойства степени с целым показателем и их использование при решении задач.
Ход урока
I. Сообщение темы и цели урока
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
III. Изучение нового материала (основные понятия)
Наводящими вопросами (путем фронтального опроса) подведите учащихся к изучению этой темы. Для этого:
1. Попросите сформулировать свойства степени с натуральным показателем (вспомнить материал 7-го класса).
[pic]
2. На примерах предложите проверить, выполняются ли эти свойства в случае отрицательных целых показателей степени (с очевидным ограничением а ≠ 0, b ≠ 0).
Пример 1
[pic] (свойство 1).
[pic] (свойство 4).
На основании этих примеров можно высказать гипотезу, что свойства 1-5 выполняются и в случае степени с целым отрицательным показателем.
3. Предложите учащимся доказать, например, свойства 1 и 4 в случае степени с целым отрицательным показателем.
Пример 2
Докажем свойство 1, т. е. [pic] (где m и n — целые отрицательные числа, а — любое число (а ≠ 0)).
По определению степени с целым отрицательным показателем запишем [pic] Числа (-m) и (-n) являются уже натуральными. Поэтому по свойству степеней с натуральными показателями получаем: [pic] На заключительном этапе вновь было использовано определение степени с целым отрицательным показателем.
Пример 3
Докажем свойство 4, т. е. [pic] (где n — целое отрицательное число, а и b — любые числа (а ≠ 0, b ≠ 0).
По определению степени с целым отрицательным показателем запишем [pic] Число (-n) будет уже натуральным. По свойству степеней с натуральными показателями имеем: [pic] [pic] В конце снова было использовано определение степени с целым отрицательным показателем.
Таким образом, свойства 1-5 (для натуральных показателей степени) можно обобщить и на случай целых отрицательных показателей степени.
Пример
Преобразуем выражения: [pic]
а) Учтем, что при умножении чисел с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются. Получаем: [pic]
б) При делении чисел с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются. Имеем: [pic]
в) При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают. При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают. Получаем: [pic]
г) При возведении в степень дроби возводят в эту степень ее числитель и знаменатель и результаты делят. При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают. Имеем: [pic]
Упомянутые свойства степеней используются и при решении более сложных задач.
V. Задание на уроке
№ 926 (а, г, д); 932 (а, в); 935 (д); 937; 939 (б); 940; 945 (а, г); 947 (а, в).
VI. Задание на дом
№ 926 (б, в, е); 932 (б, г); 935 (е); 936; 939 (д); 941; 945 (б, в); 947 (б, г).
VII. Подведение итогов урока
