Тема факультативного занятия по алгебре:
«Решение алгебраических задач с помощью графиков».
Автор работы:
Мещерякова Елена Викторовна,
учитель математики первой категории, МБУ «Школа №90», г. Тольятти.
Тольятти
2016
Содержание
1.Введение………………………………………………………………………..3 стр.
2.Целесообразность применения графического метода решения задач…...…4 стр.
3.Задачи, решенные графическим способом………………………………...…5-10стр.
4.Выводы………………………………………………………………………….11стр.
5.Список используемой литературы…………………………………………….11 стр.
6.Графики к задачам………………………………………………………………12-17 стр.
1. Введение.
Всякая хорошо решенная задача доставляет умственное наслаждение. Г.Гессе.
В обучении математике особое место занимают задачи, ведь умение решать задачи – показатель развития ученика. Научиться решать математические задачи очень важно, потому что, зная подходы к решению математических задач, учащиеся обучаются взаимодействию с любой задачей, которые встречаются в других школьных предметах и в жизни. Тем самым формируется жизненная позиция ученика, как самостоятельной личности.
Цель:
Научиться решать алгебраические задачи с помощью графиков. Углубленное изучение математики на основе объединения аналитического и геометрического подходов к решению задач.
Задачи:
- изучить графический метод решения различных алгебраических задач;
- составить текст задач из различных сфер жизни и отобрать задачи из текста ОГЭ (Основного Государственного Экзамена) и ЕГЭ (Единого Государственного Экзамена), для которых применим графический способ решения;
- решить данные задачи аналитически и графически;
- проанализировать графический способ решения задач и отобрать типы задач, для которых целесообразно применение данного метода.
Материалом для исследования служат задачи, тексты которых я придумала сама, опираясь на задачи уже решенные в используемой литературе.
2. Целесообразность применения графического метода решения задач.
Выполняя чертежи, диаграммы и графики для какой-то задачи, мы получаем возможность «увидеть» задачу – установить и исследовать связи между величинами, входящими в задачу, выбрать кратчайший путь решения этой задачи. А так как научиться решать задачи – это важнейший навык в обучении математике, в частности алгебры, то геометрический метод решения задач расширяет наши возможности, даёт нам новый инструмент, владение которым помогает расширять круг задач, которые можно решить быстро и красиво.
В тексте контрольно-измерительных материалов ОГЭ (Основного Государственного Экзамена) и ЕГЭ (Единого Государственного Экзамена) в разделе «Реальной математики» содержатся задания, требующие навыков чтения графиков. Решение различных алгебраических задач с помощью графиков позволяет приобрести данные навыки работы с графиками, а также графический метод решения задач дает возможность сэкономить время, что немаловажно в рамках ограниченного времени экзамена. Вместо решения сложного алгебраического уравнения мы имеем удобный, легкий график и быстрое оригинальное решение задачи. Особенно целесообразно применение диаграммы и графиков при решении задач в тех случаях, когда требуется ответить не на один, а на несколько вопросов.
Графики дают возможность исчерпывающе проанализировать ход событий, что немаловажно, например в криминалистике.
Когда мы решаем алгебраические задачи, мы не задумываемся, что их можно решить геометрическим способом, который может даже более простой, рациональный и наглядный.
Актуальность темы состоит в необходимости связи алгебры и геометрии, как элементов, составляющих одно целое - науку математику, а также в применении знаний геометрии в жизни.
Эта тема интересна, потому что она позволяет находить новые неординарные подходы к решению задач. Некоторые алгебраические задачи очень трудно решить аналитическим путем, поэтому любое представление условия задачи в виде рисунка или чертежа облегчает решение задачи.
3. Задачи, решенные графическим способом.
Изучая данную тему, я разобрала некоторые алгебраические задачи, которые можно очень интересно решить геометрическим путем.
Для начала я разобрала наиболее простую задачу, которую можно решить с помощью линейной диаграммы.
Задача №1
БИБЛИОТЕКИ:
Условие: В одной библиотеке было книг в три раза больше, чем в другой. Из первой библиотеки передали 420 книг в сельскую библиотеку. А во вторую библиотеку привезли в дар 180 книг. После этого книг в библиотеках стало поровну.
Сколько было первоначально книг в каждой библиотеке?
Решение:
Для начала попробуем решить задачу аналитическим путем.
Обозначим за х-количество книг во второй библиотеке, тогда количество книг в первой библиотеке будет 3х. Теперь составим и решим уравнение:
3х-420 = х+180
3х-х = 420+180
2х = 600
х = 300
=> количество книг во второй библиотеке = 300, тогда количество книг в первой библиотеке = 300 * 3 = 900 книг.
Решим данную задачу с помощью линейной диаграммы (рисунок I; страница 12 ). Построенная линейная диаграмма превращает алгебраическую задачу в геометрическую, решение которой основано на использовании свойств длины отрезка, а именно: 1) равные отрезки имеют равные длины; меньший отрезок имеет меньшую длину; 2) если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих отрезков.
Решение:
АВ = 3 CD – первоначальное распределение книг между двумя библиотеками: ВК = 420, DF = 180, AK = CF – конечное распределение книг между библиотеками.
MВ = АВ = 180+420 = 600;
AM = CD = AB.
AB = 600 : = 900, тогда АМ = * 900 = 300.
Ответ: 900 книг; 300 книг.
Теперь разберем более сложную задачу. Эту задачу проблематично решить в курсе 8 класса, а с помощью графика можно легко прочесть ответ для любого набранного количества очков.
Задача №2
КОНКУРС:
Условие: На творческом конкурсе было предложено 10 заданий. За каждое правильно выполненное задание участнику засчитывалось по 5 очков, а за каждое невыполненное или неправильно выполненное задание списывалось по 3 очка.
Сколько заданий было правильно выполнено учащимся, который получил при окончательном подсчете 18 очков? 34 очка?
Решение:
Применим за аргумент число заданий: функцией будет соответствующее число полученных очков. (рисунок II; страница 13)
Тот, кто правильно выполнит все 10 заданий получит 5*10=50 очков; отмечаем точку А с координатой (10;50).
Тот, кто не сделает ни одного задания получит (-3)*10=-30 очков; отмечаем точку В с координатой (0;-30) .
Теперь достаточно провести через точки А и В прямую линию и отметить на ней точки, соответствующие всем промежуточным случаям, а именно: когда выполнено одно задание, два задания и так далее.
Ответ на оба вопроса задачи легко прочесть на графике.
По графику видно, что количество правильно выполненных заданий у учащегося, который набрал 18 очков равно 6; у учащегося, который набрал 34 очка равно 8.
Теперь, мы можем легко это проверить:
6*5-4*3=18;
8*5-2*3=34.
Ответ: 6; 8.
Разберем задачу на движение.
Задача № 3
Условие: Два велосипедиста выезжают навстречу друг другу одновременно, находясь на расстоянии 60 км друг от друга. Первый велосипедист может проехать весь за 5 часов, а второй велосипедист вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся?
Решение:
Аналитически:
V=
V1= 60:5 = 12 км/ч
t2 = 5 : 2 = 2,5 ч
V2 = 60 : 2,5 = 24 км/ч
t = 60 : (12+24) = 60 : 36= 1 ч = 1 ч 40 мин.
Графически:
Ответ мы видим на графике (рисунок. III; страница 14) : 1 или 1 ч. 40мин.
Ответ: 1 час 40 минут.
Теперь рассмотрим задачу на совершение работы.
Задача №4
Костюмы:
Условие: Для съемок исторического фильма нужно пошить 210 костюмов. Три швейных мастерских брались каждая самостоятельно выполнить заказ: первая в 10 дней, вторая за 6 дней и третья в 15 дней.
Чтобы закончить работу как можно скорее, решили передать заказ сразу всем трем мастерским. Во сколько дней закончат работу мастерские, работая одновременно?
Решение:
Аналитическим путем:
V=
V1=210:10=21 км/ч
V2=210:6=35 км/ч
V3=210:15=42 км/ч
t= ; t = 210 : ( V1 + V2 + V3 ) = 210 : ( 21+35+14) = 210:70 = 3 дня.
Теперь решим задачу геометрическим методом:
Приготовим прежде всего две оси абсцисс: ОХ и О’X’на произвольном расстоянии ОО’ друг от друга. Масштаб: 5 мм-1 день.(рисунок IV; страница 15) В соответствии с условием задачи, отрезок ОА(зеленым цветом) – график работы первой мастерской (отдельно), а отрезок О’В (красным цветом)- график работы второй мастерской. Эти графики пересекаются в точке С, и проекция С0 этой точки на ось времени указывает, во сколько дней была бы выполнена вся работа, изображаемая отрезком ОО’, если бы она выполнялась только первой и второй мастерскими. Отрезок О’С0 (синим цветом) можно считать графиком совместно работы первой и второй мастерских при условии, что третья мастерская не участвует в этой работе. Включим теперь в работу третью мастерскую. Отрезок ОD (серым цветом) – график ее деятельности (отдельно). Этот график пересекается с отрезком О’С0 в точке Е, и проекция Е0 этой точки на ось времени указывает искомый ответ: 3 дня.
Ответ: работая совместно три мастерские выполнят всю работу в 3 дня.
*Замечание: для решения задачи графическим способом совершенно не нужно знать, сколько всего костюмов нужно пошить. Число «210» (костюмов) является лишним данным в этой задаче.
Задача №5
Покупка цветов:
Условие: Если несколько человек внесут по 50 рублей на покупку цветов для именинника, то собранная сумма на 150 рублей будет меньше стоимости цветов.
Если каждый добавит еще по 10 рублей, то вся собранная сумма будет больше стоимости цветов на 70 рублей.
Сколько было учащихся, и сколько стоят цветы?
Решение:
Сумма денег, собранная на покупку цветов, пропорциональна числу учащихся, вносивших деньги; следовательно, график этой функции-прямая линия, проходящая через начало координат.
Построим систему координат ХОУ и из начала О проведем луч ОL (рисунок V; страница 16) под произвольным углом к оси ОХ. Не заботясь об установлении конкретных масштабов для координатных осей, примем этот луч ОL в качестве графика рассматриваемой зависимости для того случая, когда каждый взнос составлял 50 рублей. В том случае, когда взнос был увеличен на 10 рублей, график должен расположиться выше луча ОL. Пусть это будет луч ОN.
Если числу всех учащихся, сделавших взносы, соответствует отрезок ОК, то сумма, собранная в первом случае, изобразится отрезком КL, а во втором – отрезком КN. Действительную сумму цветов можно изобразить ординатой КМ, которая на отрезок LM(=150 руб.) больше ординаты КL и на отрезок МN (=70 руб.) меньше ординаты КN.
Значит, отрезок LN изображает 220 руб.
Пересечем оба графика произвольной прямой QP || KN и положим, что ординаты QR u QS изображают соответственно 50 и 60 руб. Известно, что если две параллельные прямые пересечены лучами, выходящими из одной точки, то прямые рассекаются на пропорциональные отрезки. В данном случае KL : LN = QR : RS uлu KL : 220 = 50 : 10. Отсюда КL = 5 * 220 = 1100 (руб.)
Стоимость цветов ( KM = KL + LM) 1100 руб. + 150 руб. = 1250 руб.
Учащихся было:
1100 руб. : 50 руб. = 22 (человека)
Ответ: 1250 рублей; 22 человека.
Рассмотрим задачу, которая может встретиться в фармацевтической области.
Задача №6
Условие: Имеются два раствора йода и спирта. В одном растворе количество этих элементов находится в отношении 1:2, в другом-в отношении 2:3. Сколько нужно взять каждого элемента, чтобы получит 44 миллилитра нового раствора, в котором йод и спирт были бы в отношении 17:27?
Решение:
Состав спирта в I растворе: 2:3
Состав спирта во II растворе: 3:5
Состав спирта в III (новом) растворе: 27:44
Приведем все дроби к общему знаменателю: ;.
Построим диаграмму задачи и выполним построение (рисунок VI; страница 17 ) В горизонтальном направлении будем откладывать вес раствора (в мл), а в вертикальном-число долей спирта в растворе.
Проведем горизонтальный отрезок АВ, изображающй 44 мл (вес искомого раствора) в масштабе 4 мл = 1 клетка (5мм). Для вертикального луча АС принимаем масштаб: 4 доли спирта = 1 клетка (5мм). Для уменьшения размера чертежа (по вертикали) наносим на луче АС деления, начиная не с нуля, а с 396 (396- наименьшее количество долей спирта в растворах). Соединяем прямолинейным отрезком точки В (44 мл) и С (440 долей спирта) и проводим через точку с отметкой 405 прямую до пересечения с BС в точке D, а через D – вертикальную прямую до пересечения с АВ в точке Е.
Отрезки АЕ и ЕВ указывает ответ:
надо взять 7 мл первого раствора (отрезок ЕВ) и 35 мл второго раствора (отрезок АЕ).
Ответ: 35 мл и 7 мл.
Выводы.
Итак, подведём итог нашего занятия: мы научились самостоятельно решать алгебраические задачи легким, неординарным геометрическим способом.
Анализируя решенные задачи, мы делаем вывод, что целесообразно применять данный метод для задач на прямолинейное движение, на совместную работу, на задачи со сплавами или смесями, растворами. В дальнейшем мы рассмотрим другие типы задач, для которых применим данный метод.
Мы убедились, что графический метод очень упрощает решение алгебраических задач, а значит, цель нашего занятия достигнута.
Список литературы.
1.(А.А.) – И. И. Александров, А. И. Александров, Методы решения арифметических задач, 1953г.
2.(Г.) – П. Ю. Германович, Вопросы и задачи на соображение, 1956 г.
3.(К.) – Б.А. Кордемский, Математическая смекалка, Изд. 3 –е, 1956 г.
Рисунок I
[pic]
Рисунок II.
[pic]
Рисунок III
[pic]
Рисунок IV. [pic]
Рисунок V.
[pic]
Рисунок VI
[pic]
