Предмет: «Элементы высшей математики»
Практическая работа
Тема: Операции над комплексными числами.
Цели занятия:
сформировать навыки изображения и записи комплексного числа в алгебраической и тригонометрической форме;
сформировать навыки проведения простых действий (сложений, вычитания, умножения и деления) с комплексными числами.
Теоретические сведения к практической работе
Комплексное число – это выражение вида
[pic] , (1.1)
где x, y – вещественные числа, а [pic] – мнимая единица.
x - вещественная (действительная) часть комплексного числа (используется обозначение [pic] );
y - мнимая часть ( [pic] ).
Выражение (1.1) называют алгебраической формой записи комплексного числа.
Числом, сопряженным к [pic] , называют число вида [pic] . Используя формулу разности квадратов, получаем, что [pic] . Можно доказать, что корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом являются два сопряженных комплексных числа.
Пример 1. Решить уравнение [pic] .
Решение. Дискриминант данного уравнения: [pic] меньше нуля, но теперь мы можем воспользоваться мнимой единицей:
[pic] , т.е. [pic] ; [pic] .
Арифметические действия над комплексными числами
1) Сложение (вычитание) комплексных чисел:
[pic] ;
2) Умножение комплексных чисел:
[pic] (осуществляется с учетом того, что [pic] );
3) Деление комплексных чисел:
[pic] (эта операция возможна только в случае, когда [pic] ).
Пример 2. Вычислить [pic] и указать вещественную и мнимую части полученного комплексного числа.
Решение. Действуя в соответствии с правилами получаем:
[pic] ;
поэтому [pic] , [pic] .
Тригонометрическая форма комплексного числа. Каждому комплексному числу вида (1.1) можно поставить в соответствие точку M(x;y) на декартовой плоскости (при этом на оси OX располагаются вещественные числа [pic] , а на оси OY – чисто мнимые числа [pic] ). Вектор OM считают изображением комплексного числа.
[pic]
Модулем комплексного числа назовем длину отрезка [pic] (или расстояние от начала координат до точки M), т.е. [pic] . Аргументом комплексного числа ( [pic] ) назовем угол, который вектор [pic] образует с положительным направлением оси OX. Главное значение аргумента, которое, как правило, используется при осуществлении действий с комплексными числами, удовлетворяет условию [pic] . При этом выражение вида
[pic] (1.2)
называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
Преобразуем (1.1)
[pic]
и, сравнивая с (1.2), получаем, что аргумент z можно найти, решив систему
[pic] или [pic] (1.3.)
Пример 3. Записать комплексное число в тригонометрической форме [pic] , указать модуль и аргумент комплексного числа.
Решение. По определению [pic] . Для определения аргумента воспользуемся формулой: [pic] . Получаем, что [pic] . Тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид: [pic] .
Возведение в степень и извлечение корней. Если комплексное число задано тригонометрической формой [pic] , то справедлива формула Муавра
[pic] . (1.4)
Для извлечения корня n-й степени (n – целое число, большее 1) из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, применяется формула, дающая n значений этого корня:
[pic] , k=0,1,…,n-1. (1.5)
Пример 4. Вычислить: a) [pic] ; b) [pic] .
Решение. В задании a), чтобы воспользоваться формулой Муавра, необходимо представить комплексное число в тригонометрической форме. Имеем: [pic] ; [pic] и [pic] , т.е. [pic] (так как соответствующая точка лежит во второй четверти). Следовательно, [pic] и [pic] (в силу (1.4)). Учитывая что [pic] и используя свойства тригонометрических функций, получаем:
[pic] .
В задании b) тригонометрическая форма заданного числа имеет вид [pic] (|z|=1), поэтому в силу (1.5)
[pic] , k=0,1,2.
Выписываем три искомых корня:
[pic] ;
[pic] ;
[pic] .
Практическая часть:
1 часть занятия: совместное решение задач (работа у доски).
Задание 1. Вычислить, выписать вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел.
1) [pic] 2) [pic] 3) [pic]
4) [pic] 5) [pic] 6) [pic]
7) [pic]
Задание 2. Запишите предложенные комплексные числа в тригонометрической форме: 1) [pic] ; 2) [pic] ; 3) [pic] ; 4) [pic] 5) [pic] 6) [pic] 7) [pic] .
Задание 3. Найти все корни уравнений:
1) [pic] ; 2) [pic] ; 4) [pic] ; 5) [pic] ; 6) [pic] 7) [pic]
Примечание:
2 часть занятия: Самостоятельная работа.
[pic]
[pic]
Представьте комплексное число в тригонометрической форме:
а) [pic]
б) [pic]
а) [pic]
б) [pic]
а) [pic]
б) [pic]
Рекомендуемая литература:
Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. – М.: Наука, 1990.
Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С. Сборник задач по математике. – М.; Высшая школа, 1998.
ГАПОУ Учалинский колледж горной промышленности Преподаватель: Гайнутдинова Д.Р.
