Муниципальное казённое образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 1 им. Г.С.Фатеева»
С. Красногвардейское
«Рассмотрено» Руководитель МО
___________ М.И.Польщикова
Протокол № ______________
От «___»____________20___г.
«Согласовано»
Заместитель руководителя по УВР
_____________ З.В.Полтаринова
«___»_________________20___г.
«Утверждаю»
Директор МКОУ СОШ № 1 им. Г.С.Фатеева
_____________ Г.Г.Пашков
От «___»___________20___г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
элективного курса по математике
«Математическая логика и теория множеств»
для 11 класса
учителя математики высшей квалификационной категории
Бажановой Валентины Ивановны
20___ - 20____ учебный год
Пояснительная записка.
Одним из важных этапов познания является понимание. Понимание предложения, в том числе и математического, предполагает оценку истинности не только самого предложения, но и его отрицания, его обращения и контрпозиции. Без осознания структуры предложения невозможно грамотно построить его отрицание, ни обращение, ни контрпозицию. Их формулировки получить не всегда просто: необходимо уметь отличать предложение без переменных от предложения с переменными, выделять переменные и устанавливать на них ограничения, «развешивать» кванторы и вычленять логические операции.
Для точности мышления и понимания необходима точность языка. Точность естественного языка не всегда достаточна, слова и фразы не всегда толкуются однозначно, огромную роль играет контекст. Математический текст излагается учащимся на обычном языке, и требуемая точность понимания математического текста не определена из-за неоднозначности толкования фраз естественного языка. Возникает необходимость в чёткой договорённости. Эта договорённость регламентируется только формальной или математической логикой.
Расхождение формального и содержательного особенно часто возникает при решении задач, условие которой противоречиво. Традиционно условия задач не имеют противоречий, однако при решении задач олимпиадного характера зачастую важно встретить противоречивость условия задачи.
Прежде чем говорить о толковании математических предложений, вспомним, что предложение с переменной превращается в предложение без переменной в результате «навешивания» квантора (всеобщности или существования), после чего уже можно говорить о его истинности или ложности.
Теория множестввключается вместе с элементами математической логики. Введение курса логика преследует следующие цели:
Способствовать росту логической культуры школьника.
Помогать точному языку там, где это необходимо: в документах, юридических ситуациях, в ответственном разговоре.
Помогать в усвоении математических предложений.
Усваивать основы информатики.
Эффективно работать в большом классе логических задач.
Демонстрировать удивительную способность интеллекта – применять знания, полученные математиком, в совершенно отвлечённой области, например в технике.
Естественно увязывать работу с предикатами с основными понятиями теории множеств, без которых нынешнее математическое образование выглядит странно.
Сводить умозаключения к формальным математическим выкладкам – вершина применения математической логики.
Характеристика спецкурса
«Элементы математической логики и теории множеств».
Одна из приоритетных ценностей образования – интеллектуальное развитие ребёнка, важной составляющей которого является развитие словесно - логического мышления. Логику можно рассматривать в трёх аспектах.
Практическая логика, используемая в повседневной жизни. В ней существенны так называемый здравый смысл, личный опыт, контекст. Даже эмоциональная окраска и интонация имеют существенное значение – они могут изменить смысл сказанного на противоположный.
Формальная логика – в которой изучают только формы мышления, полностью отвлекаясь от содержания.
Математическая логика – наука, традиционно – раздел математики. В ней достаточно силён момент формализации, но нет места бессодержательным предложениям.
А.А.Столяром было высказано мнение, что современных средств, используемых в школьной математике, недостаточно для обеспечения должной логической культуры учащихся и необходимо внедрение элементов математической логики. Теория множеств, несколько лет назад ушедшая из школьного курса математики (от неё остались лишь числовые множества и действия с промежутками на числовой прямой), теперь включаются вместе с элементами математической логики в спецкурс.
Содержание программы направлено на освоение учащимися знаний, умений и навыков на базовом и профильном уровне, что соответствует Образовательной программе школы. Она включает все темы, предусмотренные федеральным компонентом государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования по математике и авторской программой учебного курса.
Местоспецкурса
«Математическая логика и теория множеств»
в учебном плане.
Спецкурс «Элементы математической логики и теории множеств» рассчитан на учащихся 11 класса. Курс содержит 6 разделов и обобщающее занятие. В конце предполагается сдача зачёта или написание рефератов по предложенной учителем тематике. Общее количество уроков в неделю: 1 час в неделю, 34 часов в год. Составитель программы: Севрюков П.Ф. Элективные курсы по математике: учебно-методическое пособие / П.Ф.Севрюков. – Ставрополь: Сервисшкола, 2009 год.
Результаты освоения изучения спецкурса
«Элементы математической логики и теории множеств»
Личностными результатами обучающихся являются: готовность ученика целенаправленно использовать знания в учении и в повседневной жизни для исследования математической сущности предмета (явления, события, факта); способность характеризовать собственные знания по предмету, формулировать вопросы, устанавливать, какие из предложенных математических задач могут быть им успешно решены; познавательный интерес к математической науке.
Метапредметными результатами обучающихся являются: способность анализировать учебную ситуацию с точки зрения математических характеристик, устанавливать количественные и пространственные отношения объектов окружающего мира, строить алгоритм поиска необходимой информации, определять логику решения практической и учебной задачи; умение моделировать - решать учебные задачи с помощью знаков (символов), планировать, контролировать и корректировать ход решения учебной задачи.
Предметными результатами обучающихся являются: освоенные знания о числах и величинах, арифметических действиях, текстовых задачах, геометрических фигурах; умения выбирать и использовать в ходе решения изученные алгоритмы, свойства арифметических действий, способы нахождения величин, приемы решения задач, умения использовать знаково-символические средства, в том числе модели и схемы, таблицы, диаграммы для решения математических задач.
Содержание спецкурса
«Математическая логика и теория множеств».
Высказывания и логические операции над ними. Формулы алгебры высказываний. Законы логики.
Элементарные и сложные логические операции. Таблица истинности.
Отрицание (знак ¬). Конъюнкция (знак & или ^). Дизъюнкция (знак ˅). Импликация (знак →), анцедент и консеквент. Логическое следование (знак =>). Эквивалентность (знак <=>). Формулы алгебры высказываний.
Множества. Операции над множествами и их основные свойства..
Понятие множества. Числовые множества (N, Z, Q, R, C); их конечность и бесконечность. Пустое множество. Единственность и конечность пустого множества.
Координатная прямая, числовые промежутки и их изображение на координатной прямой.
Равенство множеств. Подмножества. Отношение включения. Собственное множество.
Операции, производимые над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна. Пересечение множеств и объединение множеств; их переместительные, сочетательные и распределительные свойства.
Разность множеств, вычитание множеств, дополнение множества Вв множестве А.
Универсальное множество J.
Прямое произведение двух множеств. Бинарные отношения. Функциональные отношения.
Прямое произведение двух множеств. Некоммуникативность операции образования прямого произведения двух множеств. Декартов квадрат множества А и его обозначение.
Аналитическая геометрия. Плоскости и взаимно однозначное соответствие между точками евклидовой плоскости и элементами множества R² - множества упорядоченных пар действительных чисел.
Всякое подмножество Ркак бинарное отношение от А к В.
Область определения отношения L и область значений отношения L.
Рефлексивность, симметричность, транзитивность бинарного отношения.
Функциональность бинарного отношения. Отображения как всюду определённые функции из А в В. Сюръективность, инъективность и биективность отображения.
Предикаты. Формулы с предикатами. Равносильность системы уравнений и неравенств. Кванторы общности и существования.
п-арный предикат на множестве М какотображение {и;л}, т.е. функция, определённая на множестве {и;л}. Область истинности п-арного предиката. Тождественно истинный и тождественно ложный предикаты.
Логические операции с предикатами: конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, эквивалентность, логическое следствие. Равносильность предикатов.
Рассмотрение в школьном курсе математики уравнений и неравенств как предикатов на некотором множестве. Равносильность систем уравнений. Равносильность совокупностей уравнений.
Кванторы общности и существования.
Отношение эквивалентности. Разбиение на классы. Отношение порядка.
Отношение эквивалентности как рефлексивное, симметричное и транзитивное бинарное отношение.
Отношение порядка как транзитивное и антисимметричное бинарное отношение. Рефлексивность отношения порядка как условие нестрогости, при антирефлексивности – строгость отношения порядка.
Необходимые и достаточные условия. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы. Доказательство от противного.
Условное высказывание. Всякая математическая теорема по своей логической структуре – условное высказывание: , истинность которого доказана для множества объектов, относительно которых эта теорема сформулирована. Условие и заключение теоремы как предикаты.
Всякое высказывание или предикат, из которого следует А как достаточное условие А. Всякое высказывание или предикат, который вытекает из А как необходимое условие для А.
Теоремы взаимно обратные и взаимно противоположные. Равносильность теорем прямой и противоположной обратной. Метод доказательства от противного.
Признак в математике как необходимое и достаточное условие.
Тематическое планирование спецкурса
«Математическая логика и теория множеств».
Высказывание и логические операции над ними. Формулы алгебры высказываний. Законы логики.
6
1
3
2
Множества.
Операции над множествами и их основные свойства.
5
1
2
3
Прямое произведение двух множеств.
Бинарные отношения. Функциональные отношения.
6
1
3
4
Предикаты. Формулы с предикатами. Равносильность системы уравнений и неравенств. Кванторы общности и существования.
7
1
3
5
Отношение эквивалентности. Разбиение на классы. Отношение порядка.
4
1
-
6
Необходимые и достаточные условия. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы. Доказательство от противного.
4
1
1
7
Обобщающее занятие
1
-
1
8
Зачет (реферат, презентация)
1
-
1
Планируемые результаты изучения спецкурса.
В результате изучения спецкурса учащиеся должны:
Правильно употреблять термины, связанные с различными видами чисел и способами их записи: цельное, дробное, десятичная дробь, переход от одной формы записи к другой
Сравнивать числа, упорядочивать наборы чисел, понимать связь отношений «больше», «меньше» с расположением точек на координатной прямой;
Выполнять действия с элементами множеств;
Владеть навыками вычисления по логическим формулам;
Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
решения несложных практических расчетных задач, в том числе c использованием при необходимости справочных материалов, калькулятора, компьютера;
устной прикидки и оценки результата вычислений; проверки результата вычисления с использованием различных приемов;
интерпретации результатов решения задач с учетом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и явлений;
Уметь:
извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы;
вычислять средние значения результатов измерений;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, таблиц;
решения практических задач в повседневной и профессиональной деятельности с использованием действий с числами, процентов, длин, площадей, объемов, времени, скорости.
Учебно-методическое и материально-техническое обеспечение образовательного процесса.
Пойа, Д. Как решать задачу. Математика и правдоподобные рассуждения \ Д.Пойа. – М,: Педагогика, 2000.
Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ для 10-11 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением курса математики \ Н.Я.Виленкин. – М.: Просвещение 2002.
Тимофеева И.Л. Математическая логика: курс лекций \ И.Л.Тимофеева. – М.: Прометей, 2003.
Брановский Ю.С. Элементы логики и теории множеств \ Ю.С.Брановский, И.А.Жигулин. – Ставрополь: СГПИ, 1980.
Севрюков П.Ф. Элементы математической логики и теории множеств \ П.Ф.Севрюков // Сборник программ элективных курсов по математике в предпрофильном и профильном обучении учащихся \ сост. Т.И.Черноусенко, П.Ф Севрюков, Л.Г.Коваленко. – Ставрополь: СКИПКРО, библиотека «Инновационный опыт», 2008.
