Технология работы с понятием Равнобедренный треугольник

«Технология работы с определением понятия «равнобедренный треугольник»

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

(Геометрия: Учеб. для 7 – 9 кл. ср. шк. /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 1992. – 355 с.: ил., страница 34).

Логико-математический и дидактический анализ формулировки определения понятия «равнобедренный треугольник»

I. Логико-математический анализ.

1. Анализ формулировки.

а) вид определения: через род и видовые отличия;

б) родовое понятие – треугольник

видовые отличия: две стороны равны;

в) содержание понятия: две стороны равны; углы при основании равны; биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой; углы при основании острые

объём понятия: множество равнобедренных треугольников

г) таблица истинности

2. Доказательство существования: построение.

4. Отрицание определения.

Если в треугольнике нет пары равных сторон, то треугольник не является равнобедренным.

5. Связь между новым понятием и изученными ранее.

Равнобедренные треугольники тесно связаны с такими понятиями, как треугольник, сторона треугольника, равные отрезки, равные углы, высота, медиана, биссектриса и т.п.

6. Классификация системы понятия.

треугольники:

[pic]

II. Дидактический анализ.

7. Для учеников определение не является новым по структуре и формулировке.

8. Система упражнений для актуализации.

1. Сформулируйте определения следующих понятий:

а) треугольник;

б) вершины треугольника;

г) стороны треугольника;

д) периметр треугольника.

2. Можно ли назвать треугольниками фигуры, изображённые на рисунках? Почему?

[pic]

3. Начертите произвольный треугольник и назовите его MKP. Назовите его вершины и стороны.

9. Учитель вовлекает учеников в исследовательскую деятельность и ученики считают себя настоящими исследователями.

Вопросы:

1. В геометрии принято классифицировать или, разделять на группы фигуры по каким-либо признакам. Каждая группа изучается отдельно и выявляются свойства, которыми обладают фигуры этой группы. Например, треугольники можно на несколько групп в зависимости от количества равных между собой сторон треугольника. Сколько всего сторон имеет треугольник?

2. Тогда как вы думаете, на сколько групп можно разделить треугольники в зависимости от количества равных между собой сторон? (На три: в треугольнике могут быть все стороны разной длины, т.е. нет равных сторон; две стороны равной длины; все стороны равны между собой.)

3. Сегодня мы выделим группу «равнобедренных треугольников» и будем использовать их при решении задач. Но для того, чтобы использовать какое-либо понятие в практике, нам необходимо дать строгое математическое определение этого понятия.

4. Сформулируйте цель нашего урока.

(Выявить содержание понятия «равнобедренный треугольник» и дать строгое математическое определение этому понятию).

10. Определение вводится с помощью наглядно-конструктивного метода.

11.Упражнения на осознание логической структуры определения.

бедренный:

АВ = ВС.

(треугольник равнобедренный) [pic] (две стороны треугольника равны)

12. Упражнения на формирование умения подводить объект под понятие.

1. Какое из следующих предложений является определением равнобедренного треугольника?

а) треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным;

б) треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

2. Найдите все треугольники, изображённые на рисунке. Есть ли среди них те, которые можно назвать равнобедренными? Если да, то какие.

[pic]

3. Известно, что АВС = MKP. Можно ли назвать АВС равнобедренным, если MKP равнобедренный?

13. Частные эвристики, позволяющие подводить объект под понятие:

чтобы доказать, что треугольник равнобедренный достаточно найти в нём две равные стороны.

14. Упражнения на овладение действием отыскания следствий на этапе осознания и осмысления.

1. Назовите свойство равнобедренного треугольника, вытекающее из определения равнобедренного треугольника.

2. Известно, что треугольник АВС равнобедренный с основанием АВ. Назовите свойства, которыми обладает АВС.

3. АВЕ – равнобедренный с основанием ВЕ. Найдите:

а) АВ, если АЕ = 5 см;

б) ВЕ, если АВ = 2 ВЕ, а периметр АВЕ равен 50 см.

15. Частные эвристики, позволяющие выводить следствия из принадлежности объекта понятию:

из того, что треугольник равнобедренный следует, что две его стороны равны;

из того, что треугольник равнобедренный и длина одной из его боковых сторон равна а, следует, что длина другой боковой стороны так же равна а;

если известно: треугольник равнобедренный, длина одной из боковых сторон (или отношение длины боковой стороны к длине основания) и периметр треугольника, то можно найти длину основания;

если известно: треугольник равнобедренный, длина одной из боковых сторон (или отношение длины боковой стороны к длине основания) и длина основания (или боковой стороны), то можно найти периметр треугольника.

Выводы из логико-дидактического анализа понятия «равнобедренный треугольник»

Тема «Равнобедренные треугольники» является очень важной для учеников:

1. сравнительно простой материал для изучения при небольшом «геометрическом» опыте школьников;

2. на равнобедренных треугольниках школьники учатся исследованию свойств многоугольников, обладающих определёнными качествами, поскольку равнобедренный треугольник – это первый частный случай треугольников (и многоугольников), с которым сталкиваются ученики;

3. доказательства свойств равнобедренного треугольника не являются очень сложными для восприятия, поэтому на них можно обучать различным методам доказательства;

4. при доказательстве свойств равнобедренного треугольника используется первый признак равенства треугольников, пройденный несколько уроков назад. Тема «Признаки равенства треугольников» является сложной для учеников, поэтому её применение не в стандартных задачах, а при исследовании геометрических фигур способствует лучшему её усвоению;

5. после изучения свойств равнобедренного треугольника ученики, пользуясь тем, что любой равносторонний треугольник является также равнобедренным, устанавливают некоторые свойства равносторонних треугольников.

Так как из того, что треугольник является равнобедренным, следует равенство двух его сторон, то можно выделить первый тип задач – на выведение следствий. Известно, что треугольник равнобедренный.

1. Найти длину боковой стороны (или основания), если известен периметр треугольника и соотношение длины одной из боковых сторон к длине основания.

2. Найти периметр треугольника, если известна длина боковой стороны (или основания) и соотношение длины боковой стороны к длине основания.

Второй тип задач – на подведение объекта под понятие равнобедренного треугольника, т.е. нужно установить, является ли треугольник равнобедренным. Например:

1. Установить, какие из треугольников, изображённых на рисунке, равнобедренные?

2. Выбрать верное определение из нескольких предложенных высказываний.

3. Даны два равных треугольника и известно, что один из них равнобедренный. Будет ли второй треугольник равнобедренным?

Фрагмент урока по введению понятия «равнобедренный треугольник»

Эти три точки называются вершинами, а отрезки – сторонами треугольника.

Что такое периметр треугольника?

Периметром треугольника называется положительное число, равное сумме длин всех сторон треугольника.

Посмотрите на рисунок и скажите, можно ли назвать треугольниками фигуры, изображённые на нём? Почему?

[pic]

а) нельзя, т.к. точки А, В, С лежат на одной прямой;

б) нельзя, т.к. точки Р и К соединены кривой, а не отрезком прямой;

в) можно, т.к. точки E, F, G не лежат на одной прямой и каждая пара точек соединена отрезком прямой.

Верно.

мотивация

В геометрии принято классифицировать или, разделять на группы фигуры по каким-либо признакам. Каждая группа изучается отдельно и выявляются свойства, которыми обладают фигуры этой группы. Например, треугольники можно на несколько групп в зависимости от количества равных между собой сторон треугольника. Сколько всего сторон имеет треугольник?

Три стороны.

Тогда как вы думаете, на сколько групп можно разделить треугольники в зависимости от количества равных между собой сторон?

На три: в треугольнике могут быть все стороны разной длины, т.е. нет равных сторон; две стороны равной длины; все стороны равны между собой.

Сегодня мы выделим группу «равнобедренных треугольников» и будем использовать их при решении задач.

постановка учебной задачи и планирование решения УЗ

Но для того, чтобы использовать какое-либо понятие в практике, нам необходимо дать строгое математическое определение этого понятия. Сформулируйте цель нашего урока.

Выявить содержание понятия «равнобедренный треугольник» и дать строгое математическое определение этому понятию.

II. Операционно-познавательный этап

доказательство существования и выявление существенных свойств

Постройте произвольный отрезок и назовите его АВ.

[pic]

(Д)

Постройте прямую, проходящую через точку В, но не проходящую через точку А. Назовите прямую а.

[pic]

С помощью циркуля на прямой а от точки В отложите отрезок, равный АВ. Назовите его ВС.

Отметьте на рисунке равенство отрезков АВ и ВС.

[pic]

Соедините точки А и С.

[pic]

Какую получили фигуру?

Треугольник АВС.

Чем являются для треугольника АВС отрезки АВ, ВС и АС?

Сторонами.

Сравните стороны АВ и ВС.

Они равны.

Итак, мы получили треугольник, обладающий некоторым свойством. Каким?

Две стороны АВ и ВС равны.

термин

В этом случае АВС называют равнобедренным. Сформулируйте чётко определение равнобедренного треугольника.

формулировка определения

(Т)

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

При этом равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону – основанием.

Тогда стороны АВ и ВС – это …

боковые стороны АВС.

А сторона АС - …

основание АВС.

III. Рефлексивно-оценочный этап

осознание логической структуры определения

Построим новый равнобедренный треугольник АВС и выпишем то, что мы только что получили.

На доске и в тетрадях появляются записи:

АВС [pic] – равнобедренный:

АВ = ВС.

АВ, ВС – боковые стороны

АС - основание

( [pic] треугольник равнобедренный) [pic] (две стороны треугольника равны)

(Т)

Говорят, что АВС – равнобедренный с основанием АС.

подведение под понятие

Какое из следующих предложений является определением равнобедренного треугольника? Почему?

а) треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным;

б) треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

б). В обоих утверждениях сказано о равенстве двух сторон, но в предложении а) есть слово «является», чего не может быть в определении.

Как с помощью определения установить, что треугольник равнобедренный?

Нужно найти в этом треугольнике две равные стороны.

(Т)

Для того, чтобы установить, что треугольник равнобедренный достаточно найти в нём пару равных сторон.

Далее учитель вешает плакат:

[pic]

и продолжает

Найдите все треугольники, изображённые на рисунке. Если да, то какие.

АВС, MKN, EOF, ELF

Есть ли среди них те, которые можно назвать равнобедренными? Если да, то назовите их, указав основание и боковые стороны.

(Т)

Равнобедренные треугольники:

EOF: EF – основание, EO и OF – боковые стороны.

EFL: LF – основание, EL и EF – боковые стороны.

MKN: все стороны являются основаниями и боковыми сторонами. Всё зависит от конкретного выбора пары равных сторон.

Известно, что АВС = MKP. Можно ли назвать MKP равнобедренным, если MKPАВС равнобедренный?

[pic]

Можно. МК = (треугольники равны)= АВ =(АВС равнобедр.)= ВС =(треуг. равны)= КР, т.е. МК = КР. Тогда MKP равнобедренный по определению равнобедренного треугольника..

выведение следствий

Назовите свойство равнобедренного треугольника, вытекающее из определения равнобедренного треугольника.

Две стороны равны

Известно, что треугольник АВС равнобедренный с основанием АВ. Назовите свойства, которыми обладает АВС.

АС = ВС – боковые стороны.

Постройте АВЕ – равнобедренный с основанием ВЕ.

[pic]

Решим задачу. Найдите:

а) АВ, если АЕ = 5 см;

б) ВЕ, если АВ = 2 ВЕ, а периметр АВЕ равен 50 см.

Запишем, что дано и что следует найти для задачи а) и воспользуйтесь определением равнобедренного треугольника.

(Д) (Т)

а)Дано: АВЕ – равнобедр., ВЕ - основание, АЕ = 5 см.

Найти: АВ.

Решение.

АВЕ – равнобедр., тогда по определению равнобедр. треуг. АВ = АЕ = 5 см (по усл.), т.е АВ = 5 см .

Ответ: АВ = 5 см .

Теперь решим задачу б)

(Д) (Т)

б)Дано: АВЕ – равнобедр., ВЕ - основание, АВ = 2 ВЕ,

РАВЕ = 50 см.

Найти: ВЕ.

Воспользуйтесь определением равнобедренного треугольника.

(Д) (Т)

Решение.

АВЕ – равнобедр., тогда по определению равнобедр. треуг. АВ = АЕ.

Выразите боковые стороны через основание.

(Д) (Т)

АВ = 2 ВЕ (по усл)

АЕ = АВ = 2 ВЕ, тогда АЕ = 2 ВЕ

Выразите периметр треугольника через его основание.

(Д) (Т)

РАВЕ = АВ+ ВЕ +АЕ =2 ВЕ + ВЕ + 2 ВЕ = 5 ВЕ

РАВЕ = 50 см.

Тогда 5 ВЕ = 50 см

ВЕ = 10 см.

Ответ: ВЕ = 10 см .

Итак, какова же была цель нашего урока?

Выявить содержание понятия «равнобедренный треугольник» и дать строгое математическое определение этому понятию.

Достигли ли мы её?

Да.

Сформулируйте определение равнобедренного треугольника.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Какие специальные названия имеют стороны равнобедренного треугольника?

Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами, а третья – основанием.

Сегодня мы дали строгое определение равнобедренным треугольникам. Но настоящие исследователи обычно не останавливаются на этом и продолжают исследования и открывают новые факты. Какое у вас возникает предположение?

Нужно продолжить исследование равнобедренных треугольников.

Чем, по-вашему, мы будем заниматься на следующем уроке?

Будем пытаться открыть новые факты, касающиеся равнобедренных треугольников.