Самостоятельная работа по теме «Многочлены» 10 класс
Цель: проверка степени усвоения материала курса, умения применить свои знания при решении задач.
В многочлене f (х) = x3 – 5x2 + аx + 6 один из корней равен 3. Найдите f (х).
Найдите остаток от деления f (х) = х4 + 7x3 + 2x2 – 3x –5 на х + 1.
Вычислите f (4), если f (х) = х4 – 3x3 + 6x2 – 10x + 16.
С помощью схемы Горнера найдите частное и остаток при делении многочлена х4 + 2x2 – 10x + 1 на двучлен х – 2.
Найдите многочлен f(x) второй степени, удовлетворяющий условиям:
f (1) = 6, f (- 2) = 21, f (3) = 16.
Подбирая целые корни, разложите многочлен на множители с помощью схемы Горнера многочлен x4 – 2x3 – х2 – 4х + 12.
Найдите НОД и НОК многочленов:
x3 + 4х2 + 7х + 4 и x3 + 5х2 + 10х + 8.
Определить кратность корня х0 многочлена
f(x) = х5 + 4x4 - 7x3 - 11х2 + 4, х0 = 2.
Ответы к заданиям самостоятельной работы:
Так как х0 = 3 является корнем многочлена f (х) = x3 – 5x2 + аx + 6, то f (х0) = 0. Т.е. 33 – 5 ∙ 32 + 3а + 6 = 0,
27 – 45 + 3а + 6 = 0,
3а = 12, а = 4.
Ответ: Искомый многочлен f (х) = x3 – 5x2 + 4x + 6.
(х4 + 7x3 + 2x2 – 3x – 5) : (х + 1) = (x3 + 6x2 – 4x + 1) + (-6).
Ответ: r = - 6.
Вычислим значение многочлена х4 – 3x3 + 6x2 – 10x + 16 при х = 4 с помощью схемы Горнера:
-
Значит, f (4) = 136.
Ответ: f (4) = 136.
Составим таблицу по схеме Горнера:
-
Получили неполное частное q(x) = x3 + 2x2 + 6x + 2 и остаток r = 5.
Ответ: частное x3 + 2x2 + 6x + 2 и остаток r = 5.
Многочлен f (х) будем искать в виде ax2 + bx + c. Для определения неизвестных коэффициентов посчитаем значения многочлена в заданных точках:
f (1) = a + b + c = 6,
f (- 2) = 4a –2b + c = 21,
f (3) = 9a + 3b + c = 16.
Решение этой системы a = 2, b = - 3, c = 7. Искомый многочлен
f (х) = 2x2 – 3x + 7.
Ответ: f (х) = 2x2 – 3x + 7.
Корни многочлена x4 – 2x3 – х2 – 4х + 12 будем искать среди чисел 1, 2, 3, 4, 6.
Число 2 является корнем многочлена. Проверим его кратность: делим многочлен x3 - x – 6 на х – 2. Затем разделим многочлен x2 + 2x + 3 на х – 2: Значит х = 2 – корень кратности 2. Разделим многочлен x4 – 2x3 – х2 – 4х + 12 на (х – 2)2:
x4 – 2x3 – х2 – 4х + 12 х2 – 4х + 4
x4 – 4x3 + 4х2 х2 + 2х + 3
2x3 – 5х2 – 4х
2x3 – 8х2 + 8х
3х2 – 12х + 12
3х2 – 12х + 12
0
Тогда получаем x4 – 2x3 – х2 – 4х + 12 = (х – 2)2(х2 + 2х + 3).
Ответ: x4 – 2x3 – х2 – 4х + 12 = (х – 2)2(х2 + 2х + 3).
Ответ: НОД = х2 + 3х + 4;
НОК = (х2 + 3х + 4)(х + 1)(х + 2).
Решение:
Ответ: k = 1.
