Билеты для промежуточной аттестации по геометрии в 8 классе

Билет № 1

Определение многоугольника, виды многоугольников, элементы. Сумма углов многоугольника
Решить задачи:

В треугольнике OAB угол B равен 90°, AB = 6, sin O = 0,3. Найдите OA.

Найдите ∠KOM, если известно, что градусная мера дуги MN равна 124°, а градусная мера дуги KN равна 180°.

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 и 100. [pic] [pic]

4. Укажите номера верных утверждений.

1) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части.

2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

3) Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.

Билет № 2

Параллелограмм: определение, элементы, свойства (одно из них с доказательством)
Решить задачи

У треугольника со сторонами 16 и 2 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

Найдите ∠KOM, если градусные меры дуг KO и OM равны 112° и 170° соответственно.

В треугольнике [pic] угол [pic] прямой, [pic] . Найдите [pic]

[pic]

Какое из следующих утверждений верно? [pic]

1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2) Диагонали ромба равны.

3) Тангенс любого острого угла меньше единицы.

Билет № 3 [pic]

Признаки параллелограмма (один из них с доказательством).
Решить задачи

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 136°, угол CAD равен 82°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
В треугольнике [pic] угол [pic] равен 90°, [pic] Найдите [pic]

Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Какие из следующих утверждений верны? [pic]

1) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

2) В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

3) Средняя линия треугольника равна половине одной из его сторон.

Билет № 4

Трапеция (определение, виды, свойства равнобокой трапеции). Теорема Фалеса.

Решить задачи

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 71°, угол CAD равен 61°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. [pic]
В треугольнике одна из сторон равна 10, а опущенная на нее высота — 5. Найдите площадь треугольника.
В равнобедренном треугольнике [pic] . Найдите [pic] , если высота [pic] .
Какие из следующих утверждений верны?

1) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

2) Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.

3) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре его описанной окружности.

Билет № 5

Определение и свойства прямоугольника. [pic]
Решить задачи:

Площадь прямоугольного треугольника равна [pic] Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.
Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и ∠ABC = 66°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1см x 1см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС. Ответ выразите в сантиметрах.

Какие из следующих утверждений верны?

1) Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°.

2) Если один из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°.

3) Диагонали квадрата делят его углы пополам. [pic]

4) Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. [pic]

Билет № 6 [pic]

Ромб и квадрат (определение, свойства)
Решить задачи:

На рисунке изображена трапеция [pic] . Используя рисунок, найдите [pic] .
В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 25°. Найдите величину угла OCD. [pic]
Площадь одной клетки равна 1. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке.
Укажите номера верных утверждений. [pic]

1) Смежные углы равны.

2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.

3) Если угол равен 108°, то вертикальный с ним равен 108°.

Билет № 7 [pic]

Понятие площади многоугольника.

Решить задачи

Один угол параллелограмма в два раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
Точка О — центр окружности, ∠ACB = 24° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB (в градусах). [pic]
Найдите тангенс угла С треугольника ABC , изображённого на рисунке.
Укажите номера верных утверждений.

1) Площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на разность оснований.

2) Через любые две точки можно провести прямую.

3) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой.

Билет № 8

Площадь прямоугольника (теорема с доказательством) [pic]

Решить задачи:

Найдите угол АDС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 40° соответственно.
Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27. Найдите диаметр окружности.
Найдите тангенс угла [pic] треугольника [pic] , изображённого на рисунке. [pic]
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

2) Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.

3) Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. [pic]

Билет № 9 [pic]

Площадь параллелограмма (теорема с доказательством). Площадь трапеции.

Решить задачи:

В трапеции ABCD AB = CD, ∠BDA = 49° и ∠BDC = 13°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и ∠ABC = 177°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах. [pic]

В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей — 12. Найдите длину второй диагонали.

Какое из следующих утверждений верно?

1) Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

2) Все углы ромба равны.

3) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

Билет № 10

Площадь треугольника (теорема с доказательством) Следствия из теоремы о площади треугольника, теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.
Решить задачи: [pic]

В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание.
Центральный угол AOB опирается на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60° . Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 8. [pic]
Найдите тангенс угла AOB, изображенного на рисунке.
Какие из следующих утверждений верны? [pic]

1) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.

2) Средняя линия треугольника равна сумме сторон треугольника.

3) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Билет № 11

Теорема Пифагора (с доказательством), теорема, обратная теореме Пифагора.
Решить задачи:

В треугольнике ABC угол C прямой, BC = 9 , sinA = 0,3 . Найдите AB.
Радиус окружности с центром в точке O равен 65, длина хорды AB равна 126 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k. [pic]
В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.
Какое из следующих утверждений верно?

1) Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360 градусам.

2) Средняя линия треугольника соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. [pic]

3) Любой параллелограмм можно вписать в окружность. [pic]

Билет № 12

Пропорциональные отрезки. Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных треугольников. [pic]
Решить задачи: [pic]

Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные 25° и 40° соответственно.
Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8.
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 14 и 6.
Какие из следующих утверждений верны? [pic]

1) Через любые три точки проходит не более одной окружности.

2) Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.

3) Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются.

4) Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40°.

Билет № 13

Признаки подобия треугольников. [pic]
Решить задачи: [pic]

Тангенс острого угла прямоугольной трапеции равен . Найдите её большее основание, если меньшее основание равно высоте и равно 15.
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 34, а основание равно 60. Найдите площадь этого треугольника.
Укажите номера верных утверждений.

1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

3) Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.

4) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника

Билет № 14 [pic]

Средняя линия треугольника. Задача о свойстве медиан треугольника.
Решить задачи:

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, а основание равно 12. Найдите площадь этого треугольника.
Найдите градусную меру ∠ACB, если известно, что BC является диаметром окружности, а градусная мера ∠AOC равна 96°.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС. Ответ выразите в сантиметрах.
Какие из следующих утверждений верны? [pic] [pic]

1) Правильный треугольник имеет центр симметрии.

2) Прямая не имеет осей симметрии.

3) Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.

4) Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии.

Билет № 15 [pic] [pic]

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Решить задачи:

Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, а основание равно 12. Найдите площадь этого треугольника. [pic]
Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 27°.

Какое из следующих утверждений верно?

1) Внешний угол треугольника равен сумме его внутренних углов.

2) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

3) Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.

Билет № 16 [pic]

Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, основное тригонометрическое тождество.
Решить задачи:

В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH . Известно, что AC = 15 и BC = BM. Найдите AH.
Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 72°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах. [pic]
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке. .
Какое из следующих утверждений верно?

1) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

2) Средняя линия треугольника равна его основанию.

3) В любой четырёхугольник можно вписать окружность.

[pic]

Билет № 17 [pic]

Основное тригонометрическое тождество. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60 градусов.
Решить задачи:

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 1 и 5. Найдите длину основания BC. [pic]
Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 115°.
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
Укажите номера верных утверждений. [pic]

1) Каждая точка плоскости, равноудаленная от сторон неразвернутого угла лежит на серединном перпендикуляре к сторонам угла.

2) Существует квадрат, который не является ромбом.

3) Сумма углов любого треугольника равна 180° .

Билет № 18

Взаимное расположение прямой и окружности.
Решить задачи:

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 140°. Найдите больший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.
Одна из сторон параллелограмма равна 12, а опущенная на нее высота равна 10. Найдите площадь параллелограмма.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображена фигура. Найдите её площадь.
Какие из следующих утверждений верны?

1) Около всякого четырехугольника можно описать окружность.

2) В любой четырехугольник можно вписать окружность.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис треугольника.

Билет № 19 [pic]

Теорема о вписанном угле и следствия из неё.
Решить задачи

В треугольнике ABC угол C прямой, BC = 3 , cosB = 0,6. Найдите AB.
Площадь одной клетки равна 1. Найдите площадь закрашенной фигуры.
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 1 и 5. Найдите длину основания BC.
Укажите номера верных утверждений.

1) В любую равнобедренную трапецию можно вписать окружность. [pic] [pic]

2) Диагональ параллелограмма делит его углы пополам.

3) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Билет № 20

Градусная мера дуги. Определение центрального и вписанного угла.
Решить задачи:

Площадь равнобедренного треугольника равна Угол, лежащий напротив основания равен 120°. Найдите длину боковой стороны.
Сторона ромба равна 65, а одна из диагоналей равна 104. Найдите другую диагональ ромба. [pic]
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой BC. Ответ выразите в сантиметрах.
Какие из следующих утверждений верны? [pic]

1) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

2) Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.

3) Если один из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50°.

4) Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.

Билет № 21

Касательная к окружности. Теорема о свойстве касательной к окружности, свойства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, признак касательной
Решить задачи:

Найдите угол АDС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 40° соответственно.
Площадь ромба равна 27, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба. [pic]
Найдите тангенс угла А треугольника ABC, изображённого на рисунке.
Какие из следующих утверждений верны?

1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны. [pic]

2) Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.

3) Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.

4) Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.

Билет № 22

Свойства биссектрисы угла (теорема о биссектрисе угла с доказательством)
Решить задачи:

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Угол DAC равен 47°, а угол CAB равен 11°. Найдите больший угол параллелограмма ABCD.
Основания трапеции равны 1 и 11. Найдите бóльший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Найдите тангенс угла AOB, в треугольнике, изображённом на рисунке.
Укажите номера верных утверждений.

1) Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым.

2) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

3) В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности. [pic] [pic]

Билет № 23 [pic] [pic]

Свойства серединного перпендикуляра к отрезку (теорема о серединном перпендикуляре с доказательством)
Решить задачи:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 19°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABC.
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
На рисунке изображен ромб [pic] . Используя рисунок, найдите [pic] .
Укажите номера верных утверждений.

1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

3) Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.

4) В любом параллелограмме диагонали равны.

Билет № 24 [pic]

Теорема о пересечении высот треугольника
Решить задачи: [pic]

Найдите угол АВС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 20° и 100° соответственно.
Сторона равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь.
Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.
Какие из следующих утверждений верны?

1) Окружность имеет бесконечно много осей симметрии.

2) Прямая не имеет осей симметрии.

3) Правильный треугольник имеет три оси симметрии.

4) Квадрат не имеет центра симметрии.

Билет № 25

Вписанная окружность (с помощью циркуля и линейки описать около треугольника окружность).
Решить задачи:

Катеты прямоугольного треугольника равны и 1. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника. [pic]
В равнобедренном треугольнике основание равно 12 см, боковая сторона – 10 см, угол при основании равен 30°. Найдите площадь треугольника.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1см x 1см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС. Ответ выразите в сантиметрах.
Укажите номера верных утверждений.

1) Если угол равен 47°, то смежный с ним равен 153°.

2) Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

3) Через любую точку проходит ровно одна прямая.

Билет № 26 [pic]

Описанная окружность (уметь с помощью циркуля и линейки описать около треугольника окружность)
Решить задачи: [pic] [pic]

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 8 и 15. Найдите длину основания BC.
Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.
На рисунке изображена трапеция [pic] . Используя рисунок, найдите [pic] .
Какое из следующих утверждений верно?

1) Диагонали параллелограмма равны.

2) Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

3) Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Билет № 27 [pic]

Осевая и центральная симметрии (построение треугольника, симметричного данному, вид симметрии выбирается самостоятельно)
Решить задачи:

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 12 , tgA = 1,5. Найдите BC.
Площадь одной клетки равна 1. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке.
Точка О — центр окружности, ∠AOB = 84° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB (в градусах).
Какое из следующих утверждений верно?

1) Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат. [pic]

2) Смежные углы равны.

3) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.