Урок: Уравнение касательной к графику функции
Цель урока: На уроке рассмотреть тему «Уравнение касательной к графику функции». Вывести уравнение касательной к графику функции. Затем, чтобы успешно решать задачи на касательную, рассмотреть смысл каждого его элемента.
1. Уравнение касательной к графику функции
На предыдущих занятиях были рассмотрены задачи на технику дифференцирования. Это очень важные задачи, и нахождение производных необходимо в разных задачах, в том числе и в составлении уравнения касательной.
Построим кривую [pic] (см. рис.1).
[pic]
Рис. 1. График функции . [pic]
Зафиксируем точку х=а. Если х=а, то значение функции равно [pic] . Значит, имеем точку с координатами ( [pic] .
Задача: составить уравнение касательной. Более строгая формулировка – написать уравнение касательной к функции [pic] в точке с абсциссой х=а, в которой [pic] - существует.
Уравнение касательной – это прямая, которая задается формулой [pic]
Любая прямая, в том числе и касательная, определяется двумя числами: [pic] и [pic] . Исходя из геометрического смысла производной [pic] (тангенс угла наклона касательной) – это есть угловой коэффициент [pic] .
Параметр [pic] найдем из условия, что касательная проходит через точку ( [pic] , то есть .
[pic]
[pic] .
Стало быть . [pic]
Запишем уравнение касательной
[pic] .
Или, [pic] .
Получили уравнение касательной к кривой [pic] в точке с абсциссой [pic] .
2. Смысл элементов уравнения касательной
Смысл каждого элемента, который входит в уравнение касательной.
1) ( [pic] – точка касания касательной и графика функции.
2) [pic] - угловой коэффициент касательной к графику функции.
3) [pic] – произвольная точка на касательной.
Очень много задач, когда задана точка, которая не лежит на графике функции, и через нее надо провести касательную к данной функции. Надо четко понимать, что [pic] – это произвольная точка на касательной.
Итак, получили уравнение касательной, проанализировали смысл каждого элемента этой касательной, и теперь приведем пример, и на нем изложим методику построения касательной.
3. Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции
Задача.
К кривой [pic] в точке с абсциссой [pic] провести касательную. Проиллюстрируем поиск касательной на рисунке (см. рис.2).
[pic]
Рис. 2. Касательная к графику функции [pic] .
Зафиксируем точку [pic] . Значение функции в этой точке равно 1.
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции:
1) Найти [pic] и точку касания.
[pic] - дано.Точка касания: ( [pic] ;.
2) Найти производную в любой точке . [pic]
[pic] .
3) Найти значение производной в точке с абсциссой [pic] .
[pic]
4) Выписать и проанализировать уравнение касательной.
[pic] .
Упрощаем и получаем: [pic] .
Ответ: [pic] .
4. Сопутствующие задачи
Задача 1.
Пусть дано уравнение касательной [pic] .
Найдите точки пересечения касательной с осями координат.
Если [pic] , то [pic] [pic] . – это первая точка.
Если [pic] , то [pic] . [pic] - вторая точка.
Итак, первая точка – это точка [pic] с координатами [pic] . Вторая точка – точка пересечения с осью [pic] , точка [pic] с координатами [pic] (см. рис.3).
[pic]
Рис.3. Точки пересечения касательной к графику функции [pic] с осями координат. Задача 2.
Найти длину отрезка касательной, которая отсекается осями координат, то есть надо найти длину отрезка [pic] .
Рассмотрим прямоугольный треугольник [pic] (Рис. 3). Длина катета [pic] равна 1. Длина катета [pic] . Длину отрезка [pic] из прямоугольного треугольника найдем по теореме Пифагора:
[pic]
Задача 3.
Найти площадь треугольника, образованного касательной и осями координат. Ясно, что это площадь треугольника [pic] (Рис. 3) - площадь треугольника, образованного касательной и осями координат.
[pic]
Следующая задача для самостоятельного решения.
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник . Радиус окружности, описанной около треугольника .
5. Касательная к графику тригонометрической функции
Рассмотрим пример.
Дана функция . [pic] Написать уравнение касательной к данной кривой в точке с данной абсциссой.
Рассмотрим графическую иллюстрацию (см. рис.4).
[pic]
Рис. 4. Касательная к графику функции [pic] .
Нахождение точки касания.
1. [pic] Точка касания имеет координаты .
2. Найти . [pic]
3. Найти [pic]
И, последнее действие, – написать уравнение касательной.
4. . [pic]
Упростим и получим . [pic]
Заметим в точке (0;0) синусоида и касательная соприкасаются. В районе точки х=0 синусоида и прямая почти не различаются.
6. Итог урока
Итак, мы вывели уравнение касательной. Рассмотрели все элементы этой касательной. Выяснили их смысл. Сформулировали одну из методик нахождения касательных в конкретных функциях, в конкретных точках и решили некоторые сопутствующие задачи.
Список рекомендованной литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.
8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983
