Открытый урок алгебры по теме Квадратные уравнения

Тема: Квадратные уравнения.

Эпиграф к уроку: "Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая делать его немного занимательным".

Паскаль

Цели:

1. Показать уровень усвоения программного материала по теме «Квадратные уравнения», навыки решения квадратных уравнений с помощью применения формул корней квадратных уравнений, изучить новый способ решения квадратных уравнений.

2. Развитие вычислительных навыков: навыков решения квадратных уравнений с помощью формул, навыки нахождения дискриминанта квадратного уравнения, развитие логического мышления,

3. Способствовать рациональной организации труда, внимательность, активное участие в учебно-познавательном процессе, самостоятельность, самокритичность.

Оборудование к уроку: тест "Квадратные уравнения", интерактивная доска, таблицы, карточки. 

План урока

1. Организационный момент "Настроимся на урок!"

2. Проверка домашнего задания

3. Тест "Квадратные уравнения".

4. Работа в парах: математика и биология.

5. Немного истории.

6. Продвинутые способы решения квадратных уравнений

7. Викторина "Дальше, дальше..."

8. Итог.

Ход урока

1. Организационный момент "Настроимся на урок!"

Здравствуйте, ребята и гости нашего урока! Математику не зря называют "царицей наук", ей больше, чем какой-либо другой науке, свойственны красота, изящность и точность. Эпиграфом к уроку я взяла слова великого математика Паскаля "Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая делать его немного занимательным". В течение урока мы еще вернемся к этим словам.

Мы с вами начали изучать новый большой раздел «Квадратные уравнения». И вы уже достаточно знаете и умеете по этой теме, и сегодня наша с вами задача обобщить все те знания и умения, которые у вас есть. Но знания надо не только иметь, их надо еще и уметь показать, что вы и сделаете на сегодняшнем уроке, а я вам в этом помогу.

 Каждый из вас имеет возможность получить оценку за урок по результатам работы на различных его этапах. Для этого у вас на партах лежат карты результативности, в которые вы будете фиксировать свой успех в баллах. Но, есть один не- обсуждаемый закон: для ответа на поставленный вопрос вы поднимаете руку и ни в коем случае не перебиваете друг друга. Желаю всем удачи.

Карта результативности.

2. Проверка домашнего задания

Начнем урок с проверки теоретического материала, который понадобится нам на протяжении всего урока.

1. Какой вид имеет квадратное уравнение? Что такое a, b, c, x?

2. Какие именно квадратные уравнения бывают? (полные и неполные, приведеные).

3. Какие уравнения называются приведенными?

4. Сколько решений имеет полное квадратное уравнение? От чего это зависит?

5. Назовите формулу дискриминанта- напишите на доске.

6. Напишите формулу корней квадратного уравнения.

7. Расскажите теорему Виета. Запишите ее на доске.

3. Тест "Квадратные уравнения".

Замечательно, теорию мы повторили, но важно не только знать ее, важно уметь правильно ее применять. Поэтому сейчас я хотела бы проверить, как вы научились справляться непосредственно с решением квадратных уравнений. У вас на столах лежат карточки с заданиями, в течении 5 минут вам необходимо вписать в них пропущенные слова, формулы, найденные корни уравнений. Приступаем к работе.

Ученики получают карточки с заданиями. Заполняют пропущенные слова в карточках.

I ВАРИАНТ

1. Уравнение вида [pic] , где a, b, c - заданные числа, a [pic] 0, x - переменная, называется...

2. Полное квадратное уравнение не имеет корней, если D ...

3. Уравнение вида [pic] называется...

4. Квадратное уравнение имеет два корня, если [pic] ...

5. Дано уравнение [pic] . D =...

 6. Найдите корни уравнения: 3x² - 5x +2 = 0

II ВАРИАНТ

1. Если [pic] квадратное уравнение, то a... коэффициент, с...

2. Уравнение x² = a, где a < 0, не имеет...

3. Полное квадратное уравнение имеет единственный корень, если [pic] ...

4. Уравнение вида ax² + c = 0, где a [pic] 0, c [pic] 0, называют ... квадратным уравнением.

5. Дано уравнение x²- 6x + 8 = 0. D =...

6. Найдите корни уравнения: 2x² - 5x +3 = 0

Проводится взаимопроверка. Ответы показываем через интерактивную доску.

Результат заносят в “Карту результативности”.

Нет ошибок – 6 б.

1 – 1 ош. – 5б.

3 - 2 ош. - 4б.

5 - 3 ош. – 3б.

Более 4 ош. – 0 б.

4. Работа

 Вернемся к эпиграфу нашего урока. Попытаемся сделать математику хотя бы сегодня на уроке немного более занимательной.

Вам необходимо угадать, что же находится в черном ящике.

Математика и биология

Учитель: Даю три определения этому предмету:

1. Непроизводная основа слова.

2. Число, которое после постановки его в уравнение обращает уравнение в тождество.

3. Один из основных органов растений.

/Корень/

 Учитель: Видите, ребята, все в этом мире взаимосвязано: математика, русский язык и литература, биология. Слово корень встречается вам на разных уроках. А теперь вы должны определить, какого растения это корень, сыграв со мной в «математическое лото».

У вас на партах лежит листок с уравнениями, которые необходимо решить в парах, по истечении 10 минут на экране появятся карточки лото с различными вариантами ответов, вам нужно будет найти правильный карточку.

1. x²- 8x + 15 = 0 4. x² - 11x + 18 = 0

2. x² - 5x - 6 = 0 5. x² - 4x + 4 = 0

3. 3x² + 4x + 20 = 0 6. 5x²- 3x - 2 = 0

Если ученики получают правильный ответ, то получат изображение розы, иначе – слайд с текстом «Проверьте решение».

Учитель: Что это за растение?

Ответ: Роза. 

Учитель: Значит, в черном ящике лежал корень розы, о которой в народе говорят: "Цветы ангельские, а когти дьявольские".

4. Немного истории.

Уравнения как таковы в целом волновали умы человечества еще с давних времен. Великий математик Лейбница, считал, что тот "кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, никогда его не поймет", т.е невозможно понять настоящее не зная его прошлого. А вы знаете, когда появились первые квадратные уравнения?

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г. в работе индийского математика и астронома Ариабхатты.

Другой индийский ученый Брахмагупта (VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в стихотворную форму. К таким задачам мы еще вернемся сегодня.

5. Продвинутые способы решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения – считаются фундаментом, на котором покоится величественное здание алгебры. Они очень важны не только для математики, но и для других наук. По этому поводу у английского поэта средних веков Чосера есть прекрасные строки:

Посредством уравнений, теорем

Я уйму всяких разрешил проблем.

В школьном курсе математики мы изучаем разные способы решения квадратных уравнений. Какие это способы? (5 сп.) Но имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Всего в математической науке есть десять способов решения квадратных уравнений.

Способы решения квадратных уравнений, изучаемые в школе:

• Разложение левой части на множители

• Метод выделения полного квадрата

• С применением формул корней квадратного уравнения

• С применением теоремы Виета

• Графический способ

Продвинутые способы решения квадратных уравнений:

• Способ переброски

• По свойству коэффициентов

• С помощью циркуля и линейки

• С помощью номограммы

• Геометрический

А как вы думаете зачем они все нам нужны? Не проще было бы выучить один способ и решать все по шаблону? Я отвечу словами великого математика У. Сойера: «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт».

Сегодня на уроке мы познакомимся с одним из способв решения квадратных уравнений, который не изучается в школе. Но он очень интересный и вовсе не сложный.

Решение квадратных уравнений по свойству коэффициентов.

С Формулами, выражающими зависимость корней уравнения от его коэффициентов,мы уже встречались при решении уравнений по теореме Виета. А что Вы знаете об этом ученом? На вопросы отвечает наиболее подготовленный ученик, демонстрируя презентацию «Франсуа Виет».

французский  [link] . По образованию и основной профессии — юрист. В 1591 вывел формулы, выражающие зависимость корней от его коэффициентов, он же и ввел в математике термин коэффициент, т.е Сопутсвующий.

Пусть дано квадратное уравнение

ах² + bх + с = 0, где а ≠0.

Свойство 1.

Если а + b + с = 0 (т е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 = с/а

Свойство 2.

Если b = а + с, то

х1 = – 1, х2 = – с/а

Давайте переведем эти свойства с математического языка.

Пример:

[pic]

Хорошо. Вместе мы поработали. Теперь посмотрим, как вы умеете работать самостоятельно

Решите самостоятельно:

1 вариант: [pic] 2 вариант: [pic]

За правильно решенное уравнение вы получаете 1 балл.

7. Викторина. "Дальше, дальше..."

Для того чтобы все подъитожить, предлагаю вам небольшую устную викторину. Но вопросы будут не только по теме урока, проверяем ваше внимание и умение переключаться. За каждый правильный ответ в колонку “Викторина” вы ставите 1 балл.

В течение одной минуты ребята отвечают на вопросы, приведенные ниже:

1. Уравнение второй степени.

2. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D больше 0?

3. Равенство с переменной?

4. Сколько раз в году встает солнце?

5. От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

6. Как называется квадратное уравнение, у которого первый коэффициент - 1?

7. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант меньше 0?

8. Что значит решить уравнение?

9. Когда начался двадцать первый век?

10. Есть у любого слова, у растения и может быть у уравнения?

7. Итог урока.

Учитель:

Итак, мы проделали большую работу. Что нового мы узнали на уроке?

Также мы не только узнали новое но и повторили старое,повторили всю теорию, касающуюся полных и неполных квадратных уравнений. Решали различные их виды как вместе, так и вы сами. Вы старательно зарабатывали баллы, настало время подвести итог.

Подсчитайте сумму баллов, заработанных в течение урока.

Критерии оценивания:

14 и более баллов – “5”.

11-13- баллов – “4”.

8-10 баллов – “3”.

Итог урока: выставление оценок

И закончить сегодняшний урок хотелось словами басни:

Мартышка – апельсинов продавщица,

Приехав как-то раз к себе на дачу,

Нашла там интересную задачу.

Но сосчитать не в силах стройный ряд,

Разбрасывать вдруг стала все подряд

И молвила: «Что толку в той задаче,

Коль из нее не слепишь новой дачи».

Я верю все же, что мартышки мненье –

Не истинно для тех, кто знает толк в ученье.

И я прошу девчонки и мальчишки,

Решить « старинную задачу дома про мартышек».

Задача Бхаскары:

Обезьянок резвых стая, всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая на полянке забавлялась.

А двенадцать по лианам стали прыгать, повисая.

Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?

Оценивание учащихся. Сообщение домашнего задание.

Карта результативности:

Карта результативности:

Карта результативности:

Карта результативности:

 I ВАРИАНТ

1. Уравнение вида [pic] , где a, b, c - заданные числа, a [pic] 0, x - переменная, называется...

2. Полное квадратное уравнение не имеет корней, если D ...

3. Уравнение вида [pic] называется ...... квадратным уравнением

4. Квадратное уравнение имеет два корня, если [pic] ...

5. Дано уравнение [pic] . D =...

6. Найдите корни уравнения: 3x² - 5x +2 = 0

Карточки с заданиями, где нужно заполнить пропущенные слова. Ф.И.___________________

 II ВАРИАНТ

1. Если [pic] квадратное уравнение, то a... коэффициент, с...

2. Уравнение x² = a, где a < 0, не имеет...

3. Полное квадратное уравнение имеет единственный корень, если [pic] ...

4. Уравнение вида ax² + c = 0, где a [pic] 0, c [pic] 0, называют ….. квадратным уравнением.

5. Дано уравнение x²- 6x + 8 = 0. D =...

6. Найдите корни уравнения: 2x² - 5x +3 = 0

Карточки с заданиями, где нужно заполнить пропущенные слова. Ф.И.___________________

 I ВАРИАНТ

1. Уравнение вида [pic] , где a, b, c - заданные числа, a [pic] 0, x - переменная, называется...

2. Полное квадратное уравнение не имеет корней, если D ...

3. Уравнение вида [pic] называется ...... квадратным уравнением

4. Квадратное уравнение имеет два корня, если [pic] ...

5. Дано уравнение [pic] . D =...

6. Найдите корни уравнения: 3x² - 5x +2 = 0

Карточки с заданиями, где нужно заполнить пропущенные слова. Ф.И.___________________

 II ВАРИАНТ

1. Если [pic] квадратное уравнение, то a... коэффициент, с...

2. Уравнение x² = a, где a < 0, не имеет...

3. Полное квадратное уравнение имеет единственный корень, если [pic] ...

4. Уравнение вида ax² + c = 0, где a [pic] 0, c [pic] 0, называют ..... квадратным уравнением.

5. Дано уравнение x²- 6x + 8 = 0. D =...

6. Найдите корни уравнения: 2x² - 5x +3 = 0

Карточки с заданиями, где нужно заполнить пропущенные слова. Ф.И.___________________

 I ВАРИАНТ

1. Уравнение вида [pic] , где a, b, c - заданные числа, a [pic] 0, x - переменная, называется...

2. Полное квадратное уравнение не имеет корней, если D ...

3. Уравнение вида [pic] называется ...... квадратным уравнением

4. Квадратное уравнение имеет два корня, если [pic] ...

5. Дано уравнение [pic] . D =...

6. Найдите корни уравнения: 3x² - 5x +2 = 0

Карточки с заданиями, где нужно заполнить пропущенные слова. Ф.И.___________________

 II ВАРИАНТ

1. Если [pic] квадратное уравнение, то a... коэффициент, с...

2. Уравнение x² = a, где a < 0, не имеет...

3. Полное квадратное уравнение имеет единственный корень, если [pic] ...

4. Уравнение вида ax² + c = 0, где a [pic] 0, c [pic] 0, называют ….. квадратным уравнением.

5. Дано уравнение x²- 6x + 8 = 0. D =...

6. Найдите корни уравнения: 2x² - 5x +3 = 0

Решите уравнения в парах:

1. x²- 8x + 15 = 0 4. x² - 11x + 18 = 0

2. x² - 5x - 6 = 0 5. x² - 4x + 4 = 0

3. 3x² + 4x + 20 = 0 6. 5x² - 3x - 2 = 0

Решите уравнения в парах:

1. x²- 8x + 15 = 0 4. x² - 11x + 18 = 0

2. x² - 5x - 6 = 0 5. x² - 4x + 4 = 0

3. 3x² + 4x + 20 = 0 6. 5x² - 3x - 2 = 0

Решите уравнения в парах:

1. x²- 8x + 15 = 0 4. x² - 11x + 18 = 0

2. x² - 5x - 6 = 0 5. x² - 4x + 4 = 0

3. 3x² + 4x + 20 = 0 6. 5x² - 3x - 2 = 0

Решите уравнения в парах:

1. x²- 8x + 15 = 0 4. x² - 11x + 18 = 0

2. x² - 5x - 6 = 0 5. x² - 4x + 4 = 0

3. 3x² + 4x + 20 = 0 6. 5x² - 3x - 2 = 0

Решите уравнения в парах:

1. x²- 8x + 15 = 0 4. x² - 11x + 18 = 0

2. x² - 5x - 6 = 0 5. x² - 4x + 4 = 0

3. 3x² + 4x + 20 = 0 6. 5x² - 3x - 2 = 0

Решите уравнения в парах:

1. x²- 8x + 15 = 0 4. x² - 11x + 18 = 0

2. x² - 5x - 6 = 0 5. x² - 4x + 4 = 0

3. 3x² + 4x + 20 = 0 6. 5x² - 3x - 2 = 0

Решите уравнения в парах:

1. x²- 8x + 15 = 0 4. x² - 11x + 18 = 0

2. x² - 5x - 6 = 0 5. x² - 4x + 4 = 0

3. 3x² + 4x + 20 = 0 6. 5x² - 3x - 2 = 0