Контрольная работа № 6 (1 час)
Цели: выявление знаний учащихся, проверка степени усвоения ими изученного материала; развитие навыков самостоятельной работы.
Вариант 1
1. Вычислите 1, 5 и 100-й члены последовательности, если ее п-й член задается формулой [pic]
2. Представьте бесконечную периодическую десятичную дробь 1,(18) в виде обыкновенной дроби.
3. Найдите производную функции.
а) [pic] б) [pic]
в) [pic] г) [pic]
4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции [pic] в точке с абсциссой [pic]
5. Докажите, что функция [pic] удовлетворяет соотношению [pic]
6. Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой каждый член в 6 раз больше суммы всех её последующих членов.
Вариант 2
1. Вычислите 1, 7 и 200-й члены последовательности, если ее п-й член задается формулой [pic]
2. Представьте бесконечную периодическую десятичную дробь 2,(27) в виде обыкновенной дроби.
3. Найдите производную функции.
а) [pic] б) [pic]
в) [pic] г) [pic]
4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции [pic] в точке с абсциссой [pic]
5. Докажите, что функция [pic] удовлетворяет соотношению [pic]
6. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма квадратов её членов равна 48. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
Вариант 3
1. Вычислите 1, 5 и 8-й члены последовательности, если ее п-й член задается формулой [pic]
2. Представьте бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(13) в виде обыкновенной дроби.
3. Найдите производную функции.
а) [pic] б) [pic]
в) [pic] г) [pic]
4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции [pic] в точке с абсциссой [pic]
5. Докажите, что функция [pic] удовлетворяет соотношению [pic]
6. Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой второй член в 8 раз больше суммы всех её последующих членов.
Вариант 4
1. Вычислите 1, 3 и 6-й члены последовательности, если ее п-й член задается формулой [pic]
2. Представьте бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(23) в виде обыкновенной дроби.
3. Найдите производную функции.
а) [pic] б) [pic]
в) [pic] г) [pic]
4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции [pic] в точке с абсциссой [pic]
5. Докажите, что функция [pic] удовлетворяет соотношению [pic]
6. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна 2, а сумма кубов её членов равна 24. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
Решение вариантов контрольной работы
Вариант 1
1. [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: [pic]
2. 1,(18) = 0,18 18 18 18… = [pic]
Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии, у которой [pic]
[pic]
Значит, 1(18) = [pic]
Ответ: [pic]
3. а) [pic]
[pic]
б) [pic]
[pic]
в) [pic]
[pic]
[pic]
г) [pic]
[pic]
4. [pic] , [pic]
[pic]
[pic]
Ответ: 21.
5. [pic]
Найдем у' и подставим во второе равенство:
[pic]
Имеем:
[pic]
[pic]
[pic] Доказано.
6. Пусть ап – произвольный член геометрической прогрессии, q – знаменатель этой прогрессии.
Тогда ап + 1, ап + 2, ап + 3,… – последующие члены этой прогрессии. Найдем их сумму:
[pic]
По условию ап в 6 раз больше этой суммы. Получим уравнение:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] .
Значит, знаменатель [pic]
Ответ: [pic]
Вариант 2
1. [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: 5, 23, –602.
2. 0,27 = 0,27 27 27 27… = [pic]
Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии, у которой [pic]
[pic]
Значит, 2(27) = [pic]
Ответ: [pic]
3. а) [pic]
[pic]
б) [pic]
[pic]
в) [pic]
[pic]
[pic]
г) [pic]
[pic] [pic]
4. [pic] , [pic]
[pic]
[pic]
Ответ: 5.
5. [pic] [pic]
Найдем у' и подставим во второе равенство:
[pic]
Имеем:
[pic]
[pic]
[pic]
0 = 0. Доказано.
6. Пусть дана геометрическая прогрессия [pic] и пусть q – знаменатель этой прогрессии. Найдем её сумму, которая по условию равна 4:
[pic]
Тогда получим, что b1 = 4(1 – q).
Последовательность, состоящая из квадратов членов данной геометрической прогрессии, в свою очередь также является геометрической прогрессией, у которой первый член равен b12, а знаменатель равен q2. Найдём сумму этой прогрессии:
[pic]
Тогда получим, что [pic]
Составим и решим уравнение:
[pic]
[pic]
Найдем [pic]
Ответ: [pic]
Вариант 3
1. [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: [pic]
2. 0,(13) = 0, 13 13 13 13… = [pic]
Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии, у которой [pic]
[pic]
Значит, [pic]
Ответ: [pic]
3. а) [pic]
[pic]
б) [pic]
[pic] [pic]
в) [pic]
[pic]
[pic]
г) [pic]
[pic]
[pic]
4. [pic] , [pic]
[pic]
[pic]
Ответ: [pic]
5. [pic] [pic]
Найдем у' и подставим во второе равенство:
[pic]
Имеем:
[pic]
[pic]
1 = 1 . Доказано.
6. Пусть дана геометрическая прогрессия [pic] и пусть q – знаменатель этой прогрессии. Найдем сумму всех её членов, начиная с третьего:
[pic]
По условию b2 в 8 раз больше этой суммы. Получим уравнение:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: [pic]
Вариант 4
1. [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: [pic]
2. 0,(23) = 0,23 23 23 23… = [pic]
Найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии, у которой [pic]
[pic]
Значит, [pic]
Ответ: [pic]
3. а) [pic]
[pic]
б) [pic]
[pic] [pic]
в) [pic]
[pic]
[pic]
г) [pic]
[pic]
[pic]
4. [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: [pic]
5. [pic] [pic]
Найдем у' и подставим во второе равенство:
[pic]
Имеем:
[pic]
[pic]
9 = 9 . Доказано.
6. Пусть дана геометрическая прогрессия [pic] и пусть q – знаменатель этой прогрессии. Найдем её сумму, которая по условию равна 2:
[pic]
Тогда получим, что [pic]
Последовательность, состоящая из кубов членов данной геометрической прогрессии, в свою очередь также является геометрической прогрессией, у которой первый член равен b13, а знаменатель равен q3. Найдем сумму этой прогрессии:
[pic]
Тогда получим, что [pic]
Составим и решим уравнение:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] (не подходит по смыслу задачи).
Найдем [pic]
Ответ: [pic]
