Урок №1
Тема . Простейшие тригонометрические уравнения .
Цель . Усвоение учащимися вывода и использование формул для определения корней уравнения sin x = a , cos x = a , tg x = a , ctg x = a .
Тип урока. Урок – лекция
Мотивация обучения .
Решая квадратные уравнения , мы пользовались выведенными формулами корней , что значительно упрощало работу . Выведем формулы корней тригонометрических уравнений для упрощения их решения .
Объявляется тема и дидактическая цель урока .
Изучение нового материала .
I. Определение . Равенство тригонометрических выражений , содержащих неизвестное только под знаком тригонометрических функций называется тригонометрическим уравнением .
sin x = a
[pic]
Если а > 1 , то уравнение sin x = a не имеет решений , так как sin x 1 для любого х . Отложим на оси ординат а – значение синуса. Этому значению на единичной окружности соответствуют точки [pic] и [pic] , причём [pic] [pic] . На этом отрезке функция синус возрастает и уравнение sin x = a имеет единственный корень
х1 = arcsin a.
На отрезке [pic] функция синус убывает и принимает все значения от – 1 до 1 . По теореме о корне уравнение имеет один корень x2 = - arcsin a /
Итак , с учётом периодичности уравнение sin x = a имеет два решения
х1 = arcsin a + 2n, n Z
x2 = - arcsin a + 2n , n Z .
Удобно записывать эти оба решения одной формулой :
х =(-1)k arcsin a + k, k Z .
Если k = 2n , то х1 = arcsin a + 2pn, n Î Z .
Если k = 2n + 1 ,то x2 = - arcsin a + 2n , n Z .
При изучении свойств функции у = sin x мы находили путём логических рассуждений нули функции из условия sin x = 0 , экстремальные точки из условия sin x = 1 и sin x = - 1 . Фактически мы находили корни особых случаев решения уравнения sin x = а .
Они имели вид :
sin x = 0 х = n, n Z .
sin x = 1 х = [pic] + 2pn, n Î Z .
sin x = -1 х = - [pic] + 2pn, n Î Z .
Примеры
1. sin x = [pic]
х =(-1)k arcsin [pic] + k, k Z .
так как arcsin [pic] = [pic] , то
х =(-1)k [pic] + k, k Z .
2. sin 2x = – [pic]
2х =(-1)k arcsin [pic] + k, k Z .
так как arcsin [pic] = - arcsin [pic] = - [pic] , то
2х =(-1)k+1 [pic] + k, k Z .
х =(-1)k+1 [pic] + [pic] , k Z .
II. cos x = a
Если а > 1 , то уравнение cos x = a не имеет решений , так как cos x 1 для любого х . Пусть а 1 . Надо найти все такие числа х , для которых cos x = a . На отрезке [pic] существует одно такое решение – это арккосинус числа а.
Косинус чётная функция , и , значит , на отрезке [pic] уравнение имеет в точности одно решение , это число - arccos a.
Итак, уравнение cos x = a на отрезке [pic] длиной 2 имеет два решения :
х1 = arccos a ,
х2= - arccos a.
Вследствие периодичности функции косинус все остальные решения отличаются от этих на 2n , n Z и объединяются в одну формулу :
х = arccos a + 2n , n Z .
Решение уравнения можно проиллюстрировать на единичной окружности .
[pic]
По определению cos x – это абсцисса точки Рх единичной окружности . Если а < 1 , то таких точек две ; если же а = 1 или а = - 1 , то одна .
При а = 1 числа arccos a и - arccos a совпадают ( они равны нулю ) , поэтому решением уравнения cos x=1 будет х = 2 n , n Z .
При а = - 1 имеем : cos x= -1 х = + 2 n , n Z .
При а = 0 имеем : cos x= 0 х = [pic] + n , n Z .
Примеры :
cos x= [pic]
х = arccos [pic] + 2p n , nÎ Z .
так как arccos [pic] = [pic] , то
х = [pic] + 2p n , nÎ Z .
Ответ : [pic] + 2p n , nÎ Z .
tg x = a
При любом а на интервале [pic] имеется только одно значение х , такое число х , что tg x = a - это arctg a.
Поэтому уравнение tg x = a на интервале [pic] имеет единственный корень . Функция у = tg x периодическая , её наименьший период . Следовательно , остальные корни отличаются от найденного на n ,
х = arctg a + n , nÎ Z .
Решение уравнения tg x = a проиллюстрируем на единичной окружности .
[pic]
Для любого числа а на линии тангенсов есть лишь одна точка с ординатой а , это точка
Т ( 1 ; а ). Прямая ОТ пересекается с единичной окружностью ; при этом интервалу
[pic] соответствует точка х1 правой полуокружности , такая , что х = arctg a .
Для уравнения сtg x = a корень х = arсctg a + n , nÎ Z .
Примеры :
tg x = [pic]
х = arctg [pic] + pn , nÎ Z .
х = [pic] + pn , nÎ Z .
Ответ : х = [pic] + pn , nÎ Z .
сtg x = [pic]
Это уравнение можно решить двумя способами .
I . tg x = [pic] II . сtg x = [pic]
х = arctg [pic] + pn , nÎ Z ; х = arcctg [pic] + pn , nÎ Z;
х = [pic] + pn , nÎ Z ; х = [pic] + pn , nÎ Z ;
Ответ : х = [pic] + pn , nÎ Z .
Домашнее задание : уч. Никольский С.М. п 11.1 . № 11.2 ( а-в) , 11.3(а-в) .
Итог урока : 1. С какими новыми уравнениями познакомились ?
2. Каковы формулы корней простейших
тригонометрических уравнений ?
