Урок по алгебре в 8 классе по теме:
« Десять способов решения квадратных уравнений ».
Цели урока: повторить известные способы решения квадратных уравнений, разобрать новые способы и уметь применять их на практике.
Оборудование: компьютер, проектор, экран.
Ход урока.
I.Орг. момент.
Сообщение темы урока, целей урока. (слайд1)
II. Повторение пройденного материала. ( слайд 2)
1. Дайте определение квадратного уравнения.
2. Виды квадратных уравнений.
3. Теорема Виета.
III. Рассмотрим способы решения квадратных уравнений. (слайд3,4)
Определить вид квадратного уравнения и назвать способ его решения:
х2 + 2х = 0
х2 – 81 = 0
1 способ: разложение левой части уравнения на множители.
Слайд 5.
Определить вид квадратного уравнения и назвать способ его решения:
х2 + 6х – 7 = 0
2 способ: метод выделения полного квадрата
3 способ: по формулам
4 способ: с использованием теоремы Виета (прямой и обратной)
IV. Изучение нового материала
Слайд 6.
5 способ: «переброска» коэффициентов.
Объяснение материала.
Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + вх + с =0, где коэффициент а не равен 0. Умножим обе части уравнения на коэффициент а, получаем уравнение а2х2 + авх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 +ву +ас = 0, равносильному данному. Его корни найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = у1/а, х2 = у2/а. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому способ и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета, и когда дискриминант есть точный квадрат.
Слайд 7
Решить уравнение: 2х2 -11х + 15 = 0.
Решение:
Коэффициент а=2 умножим на свободный член с=15 («перебросим» коэффициент). Получим уравнение: у2 – 11у + 30 = 0, где х = у/а, т.е х = у/2
По теореме Виета получаем: у1=5, у2=6.
х1=5/2=2,5 х2=6/2=3.
Ответ. х1 =2,5; х2 = 3.
Закрепление материала.
Самостоятельно решить уравнение:
I вариант: 4х2 + 12х + 5 = 0 ( у2 +12у + 20=0, х = у/4 )
IIвариант: 6х2 + 5х – 6 = 0 ( у2 + 5х - 36=0, х = у/6 )
Ответ. 1 вариант. х1= -0,5 ; х2= -2,5.
2 вариант. х1= 2/3 ; х2= -1,5.
Слайд 8.
6 способ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
Объяснение материала.
Теорема:
если сумма коэффициентов квадратного уравнения
ах2 + вх + с = 0 равна нулю (т.е. а+в+с=0), то
х1 =1,
х2 =с/а.
Слайд 9
Решить уравнение: 11х2 + 25х – 36 = 0.
Решение:
Применим теорему о коэффициентах квадратного уравнения:
11+25+(-36)=0, значит х1 =1, х2 =-36/11.
Ответ. х1 =1, х2 =-36/11.
Устно решить уравнения:
а) 5х2 -7х+2=0
б) 3х2 +5х-8=0
Ответ. а) х1 =1, х2 =2/5
б) х1 =1; х2 = -8/3
Слайд 10
7 способ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.( для приведенных квадратных уравнений)
Объяснение нового материала.
Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений с помощью четырехзначных математических таблиц В.М. Брадиса
( таблица XXII, способ описан на стр.83).
Номограмма для решения уравнения z2+pz+q=0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.
[pic]
Слайд 11.
Примеры.
1. Для уравнения
z2 – 9z + 8 = 0
номограмма дает корни
z1 = 8,0 и z2 = 1,0
( см рис. ).
2. Решим с помощью
номограммы уравнение
2z2 -9z + 2 = 0.
Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение
z2 -4,5z+1 = 0.
Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 =0,5.
С [pic] лайд 12.
Для уравнения
z2 + 5z - 6 = 0
номограмма дает положительный корень z1 = 1,0, а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из - р, т. е.
z2 = - р - 1 = = - 5 - 1 = - 6,0 .
С [pic] лайд 13.
Для уравнения
Z2 + 4z + 3 = 0,
оба корня которого отрицательные числа, берем z1 = — t1, z2= - t2 и находим по номограмме два положительных корня t1 и t2
уравнения t2 - 4t + 3 = 0,
это t1 = 1 и t2 = 3,
а затем z1 = - t1 = - 1 и
z2 = - t2 = - 3.
Если коэффициенты р и q выходят за пределы шкалы, то выполняют подстановку
z = kt и решают с помощью номограммы уравнение
t2 +(p/k)k+ q/k2 =0,
где k берут с таким расчетом, чтобы имели место неравенства
-12,6 < p/k < 12,6,
- 12,6 < q/k2 < 12,6.
Слайд 14
Решите с помощью номограммы уравнения:
I вариант
z2 - 4z + 4 = 0
z2 –z – 6 = 0
z2 + 5z + 4 = 0
Ответ. a) z1 =3,5; z2 =1,0
b) z1 =3; z2 = -2
c) z1 = -4; z2 = -1.
II вариант
z2 - 7z + 6 = 0
z2 + 4z - 5 = 0
z2 + 5z + 6 = 0
Ответ. a) z1 =6,5; z2 =1,5
b) z1 =1; z2 = -5
c) z1 = -3; z2 = -2.
Слайд 15.
8 способ: Графическое решение квадратного уравнения.
Объяснение материала.
Если в уравнении
х [pic] 2 + рх + q = 0
перенести второй и третий члены в правую часть, то получим
х2 = - рх - q.
Построим графики зависимостей
у = х2 и у= -рх- q
График первой зависимости – называется парабола. Она проходит через начало координат.
График второй зависимости – прямая.
Возможны следующие случаи:
п [pic] рямая и парабола
могут пересекаться в двух
точках, абсциссы точек пе-
ресечения являются кор-
нями квадратного уравне-
ния ( см рис. ).
прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т. е. уравнение имеет одно решение.
[pic]
прямая и парабола не
имеют общих точек, т. е.
квадратное уравнение не имеет корней.
Слайд 16.Определить по рисунку, сколько корней имеет квадратное уравнение (обосновать): [pic]
х2 – 3х – 4 = 0.
Назовите корни этого уравнения.
Ответ. 2 корня: х = 4; х = -1.
С [pic] лайд 17.
Определить, сколько корней имеет квадратное уравнение (обосновать):
х2 - 2х + 1 = 0.
Назовите корни этого уравнения.
Ответ. 1 корень: х=1.
Слайд 18.
Определить, сколько корней имеет квадратное уравнение (обосновать):
[pic]
х2 - 2х + 5 = 0.
Назовите корни этого уравнения.
Ответ. Нет корней
Слайд 19.
9 способ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
Объяснение материала.
Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.
Рассмотрим способ нахождения корней квадратного уравнения
ах2 + bх + с = 0 c помощью циркуля и линейки.
С [pic] лайд 20.
Схема построения:
1) Построим центр окружности S( -b 2a;а+с2а)
и А(0; 1);
2) проведем окружность с радиусом SA;
3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.
Слайд 21.
При этом возможны 3 случая:
1) Радиус окружности больше ординаты центра:
о [pic] кружность пересекает ось Ох в двух точках, т.е. уравнение имеет 2 различных корня.
2) Радиус окружности равен ординате центра
окружность касается оси Ох, т.е. уравнение имеет 2 равных корня
3) Радиус окружности меньше ординаты центра
окружность не имеет общих точек с осью Ох, т.е. уравнение не имеет корней.
С [pic] лайд 22.
Назовите корни уравнения 1) х2 – 2х – 3 = 0
по предложенному рисунку:
Слайд 23.
Н [pic] азовите корни уравнения 2) х2 + 4х + 4 = 0 по предложенному рисунку:
Слайд 24.
Н [pic] азовите корни уравнения 3) х2 – 2х + 3 = 0 по предложенному рисунку.
Слайд 25.
10 способ: Геометрический способ решения квадратных уравнений
Объяснение материала.
В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал-Хорезми.
[pic] Примеры.
1. Решим уравнение х2 + 10х = 39.
В оригинале эта задача формулируется следующим
образом:
«Квадрат и десять корней равны 39» (рис.).
Решение.
Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах
строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого
из них равна 21 /2, следовательно, площадь каждого
равна 21 / 2 х. Полученную фигуру дополняют затем до
нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных
квадрата, сторона каждого из них 21 / 2 , а площадь 61 /4 .
Слайд 26.
Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4*21/ 2х=10х)
и четырех пристроенных квадратов (61/4*4=25), т.е. S= х2 + 10х + 25.
Заменяя х2 + 10 числом 39, получим, что
S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т. е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим
Х = 8 – 21/2 – 21/2 = 3.
V. Рефлексия.
Перечислите способы решения квадратных уравнений.
VI. Домашнее задание.
Решить с помощью циркуля и линейки квадратные уравнения:
1) х2 – 2х – 3 = 0
2) х2 + 4х + 4 = 0
3) х2 – 2х + 3 = 0
4) х2 – 5х + 4 = 0
VII. Подведение итогов. Выставление оценок.
Всем большое спасибо за урок!
