«КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ»
Киселева Людмила Алексеевна, ОГБПОУ «Кожевниковский техникум агробизнеса»,учитель математики,
Томская область, с. Кожевниково.
Предмет: математика.
Цель урока: познакомить учащихся с понятием комплексного числа; рассмотреть основные действия над комплексными числами.
Образовательные задачи:
Ввести понятие комплексного числа.
Рассмотреть геометрическую интерпретацию комплексных чисел.
Познакомить с действиями над комплексными числами.
Развивающие задачи:
Развивать мышление в процессе выполнения практических заданий.
Развивать пространственные представления.
Воспитывающие задачи:
Воспитывать культуру записей в тетради.
Воспитывать аккуратность, усидчивость, внимательность в процессе прослушивания лекции.
План урока.
Организационный момент.
Изложение материала.
Домашнее задание.
Подведение итогов урока.
Ход урока
I. Организационный момент: приветствие класса, проверка готовности
учащихся к уроку.
II. Изложение материала.
1. Мотивация.
Расширение множества вещественных чисел состоит в том, что к действительным числам присоединяются новые числа (мнимые). Введение этих чисел связано с невозможностью во множестве действительных чисел извлечения корня из отрицательного числа.
2.История создания комплексных чисел.
Комплексные числа, как, впрочем, и отрицательные, возникли из внутренней потребности самой математики, конкретнее – из практики и теории решения алгебраических уравнений. С комплексными числами впервые математики встретились при решении квадратных уравнений. Вплоть до 16 века математики всего мира, не находя приемлемого толкования для комплексных корней, возникавших при решении квадратных уравнений, объявляли их ложными и не принимали во внимание. Лишь в 18 веке многие задачи математического анализа, геометрии, механики требовали широкого применения операций над комплексными числами, что создало условия для разработки их геометрического истолкования.
Выдающаяся роль в развитии теории комплексных чисел, разработке методов их применения в различных областях математики принадлежит ряду известных математиков, в прикладных работах Даламбера и Эйлера в середине 18 века авторы представляют произвольные мнимые величины в виде a + bi , что позволяет изображать такие величины точками координатной плоскости. Именно эта интерпретация была использована Гауссом в работе, посвященной исследованию решений алгебраического уравнения. Позднее, в начале 19 века, в работах К. Весселя и Ж. Аргана содержится полное геометрическое построение комплексных чисел. В частности, Весселем комплексные числа рассматривались как векторы. Благодаря Коши в математике активно стали использоваться такие понятия как модуль комплексного числа, сопряженные комплексные числа.
И только в начале 19 века, когда уже была выяснена роль комплексных чисел в различных областях математики, была разработана очень простая и естественная их геометрическая интерпретация, позволившая уяснить геометрический смысл операций над комплексными числами. Этому математика обязана Гауссу, опубликовавшему в 1831 году свою работу по теории чисел. Тем самым был положен конец сомнениям в законном и полезном применении комплексного числа.
3. Введение понятия комплексного числа.
Мы никогда не стали разумными, если бы исключили число из
человеческой природы. Платон.
1) Что такое число?
Число — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов.
2) Когда возникли числа?
Числа возникли еще в первобытном обществе в связи с потребностью людей считать предметы. С течением времени по мере развития науки число превратилось в важнейшее математическое понятие.
3) Какие виды чисел вам известны?
[pic]
Что вы слышали о комплексных числах?
Рассмотрим квадратное уравнение x2 = – 1. Оно на множестве действительных чисел решений не имеет, так как среди действительных чисел нет такого числа, квадрат которого отрицателен.
Таким образом, действительных чисел явно недостаточно, чтобы построить такую теорию квадратных уравнений, в рамках которой каждое квадратное уравнение было бы разрешимо. Это приводит к необходимости расширять множество действительных чисел до множества, в котором было бы разрешимо любое квадратное уравнение. Такое множество называется множеством комплексных чисел и обозначается С.
Мы пришли к введению понятия мнимой единицы i =. . Т.е. множество действительных чисел расширяется до множества комплексных чисел за счет мнимой единицы.
Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi, где i – мнимая единица, причем i2 = - 1.
Степени мнимой единицы.
Пользуясь равенством i2 = -1, легко определить любую целую положительную степень мнимой единицы. Имеем:
i3 = i2 i = -i,
i4 = i3i1 = 1,
i5 = i4 i = i,
i6 = i5 i1 = -1,
i7 = i6 i1 = -i,
i8 = i7i1= 1 и т. д.
Это показывает, что значения степени in, где n – целое положительное число, периодически повторяется при увеличении показателя на 4 .
Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени n разделить на 4.
Если остаток равен 0, то значение степени равно 1.
Если остаток равен 1, то значение степени равно i.
Если остаток равен 2, то значение степени равно -1.
Если остаток равен 3, то значение степени равно –i.
Пример: найти i28 , i 33 ,i 135 .
Имеем 28=4 * 7 (нет остатка), 33 = 4 * 8 + 1, 135 = 4 * 33 + 3.
Соответственно получаем i28 = 1, i 33 = i , i 135 = - I .
Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.
Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b - действительные числа, i –мнимая единица.
При этом выполняются условия:
а) Два комплексных числа a1 + b1i и a2 + b2i равны тогда и только тогда, когда a1=a2, b1=b2.
б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:
(a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.
в) Вычитание комплексных чисел определяется правилом:
(a1 + b1i) - (a2 + b2i) = (a1 - a2) + (b1 - b2) i.
г) Умножение комплексных чисел определяется правилом:
(a1 + b1i) (a2 + b2i) = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 - a2b1) i.
4. Алгебраическая форма комплексного числа.
Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.
Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0
Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом a: a + 0i =a.
Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi:
0 + bi = bi.
Два комплексных числа z = a + bi и [pic] = a – bi, отличающиеся лишь знаком перед мнимой частью, называются сопряженными.
5. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.
1) Сложение.
Определение. Суммой комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z1 и z2, а мнимая часть - сумме мнимых частей чисел z1 и z2, то есть
z = (a1 + a2) + (b1 + b2)i.
Числа z1 и z2 называются слагаемыми.
Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:
1º. Коммутативность: z1 + z2 = z2 + z1.
2º. Ассоциативность: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3).
3º. Комплексное число –a –bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi. Комплексное число, противоположное комплексному числу z, обозначается -z. Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0
Пример1 . Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Вычитание.
Определение. Вычесть из комплексного числа z1 комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z + z2 = z1.
Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственна.
Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) - (-3 + 2i).
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.
3) Умножение.
Определение. Произведением комплексных чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i называется комплексное число z, определяемое равенством: z = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i.
Числа z1 и z2 называются сомножителями.
Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:
1º. Коммутативность: z1z2 = z2z1.
2º. Ассоциативность: (z1z2)z3 = z1(z2z3)
3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:
(z1 + z2) z3 = z1z3 + z2z3.
4º. z · [pic] = (a + bi)(a – bi) = a2 + b2 - действительное число.
На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.
В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.
Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i).
1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2 5 – 3 (- 7)) + (2 (- 7) + 3 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i.
2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2 5 + 2 (- 7i) + 3i 5 + 3i (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Деление.
Определение. Разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z · z2 = z1.
Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z2 ≠ 0 + 0i.
На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.
Пусть z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i, тогда
[pic] [pic] [pic] [pic] .
В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.
Пример 4. Найти частное [pic] .
1 способ.
[pic] .
2 способ.
[pic] .
6. Геометрическое изображение комплексных чисел.
Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему правилу: a + bi = А (a; b) (рис.1).
[pic] Рисунок 1
III. Домашнее задание.
Дома учащимся предлагается выполнить задание на повторение и закрепление пройденного материала.
1. Выполните действия.
а)
б)
в)
IV. Подведение итогов урока.
Учитель спрашивает учащихся, есть ли у них вопросы, при их наличии отвечает, отмечает отсутствующих и берет заключительное слово, в котором говорит о том, что на уроке была рассмотрена тема комплексных чисел. Может быть, конечно, сложная, но очень интересная. Рекомендует найти презентацию на сайте Инфоурок (Киселева Людмила Алексеевна - презентация «Комплексные числа»). В конце своей речи учитель благодарит учащихся за проведенный урок.
