Задачи школьной олимпиады по математике

5 класс

1. Имеются двое песочных часов: на 3 минуты и на 7 минут. Яйцо варится 11 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов? (2 балла)

2. Митя, Коля, Сеня, Юра и Костя пришли в музей и встали в очередь. Если бы Митя встал посередине очереди, то он оказался бы между Сеней и Костей, а если бы Митя встал в конце очереди, то рядом с ним мог быть Юра, но Митя встал впереди всех своих товарищей. Кто за кем стоит? (2 балла)

3. Дочери в настоящее время 8 лет, а матери 38 лет. Через сколько лет мать будет втрое старше дочери? (3 балла)

4. Как с помощью двух бидонов 5л и 8л отлить из молочной цистерны 7л молока? Молоко разрешается выливать обратно в цистерну. (5 баллов)

5. Катя и Юра купили лотерейные билеты с номерами: 625517 и 322324, и обнаружили, что в каждом из номеров можно расставить знаки арифметических действий и скобки так, что в каждом случае результат будет равняться 100. Как это можно сделать? (3 балла)

Ответы:

1. Перевернуть обои часы. Когда пройдет 3 минуты, в семиминутных часах останется 4 минуты. Поставить яйцо в данный момент вариться. Когда 4 минуты закончатся, перевернуть семиминутные часы обратно. Получим 4+7=11.

2. 1 решение: Митя, Толя, Сеня, Костя, Юра

2 решение: Митя, Толя, костя, Сеня, Юра.

1. 3. Через 7 лет.

   4. 1) Налить молоко в пятилитровый бидон и перелить в восьмилитровый.

2) Снова налить молоко в пятилитровый бидон и долить восьмилитровый бидон. Тогда в пятилитровом бидоне останется 2л молока.

3) Вылить молоко в цистерну из восьмилитрового бидона.

4) Перелить 2л молока из пятилитрового бидона в восьмилитровый бидон.

5) Налить молоко в пятилитровый бидон и перелить его в восьмилитровый.

В результате в восьмилитровом бидоне получим 2+5=7 (л) молока.

1. 3. 62+55-17 и (3+22) · (3-2)· 4

6 класс

1. Разместите восемь козлят и девять гусей в пяти хлевах так, чтобы в каждом хлеве были и козлята и гуси, а число их ног равнялось 10. (5 баллов)

2. Расшифруйте запись. Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами– разные цифры. (2 балла)

УДАР

+УДАР

[pic] ДРАМА

3. Разместите на трех грузовиках 7 полных бочек, 7 бочек, наполненных на половину, и 7 пустых бочек так, чтобы на грузовиках был одинаковый по массе груз. (2 балла)

4. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей? (3 балла)

5. В записи 52*2* замените звездочки цифрами так, чтобы полученное число делилось на 36. укажите все возможные варианты. (3 балла)

Ответы:

1. В двух хлевах по 1 козленку и 3 гусям, в трех хлевах – по 2 козленка и 1 гусю.

2. 8126

[pic] +8126

16252

3. На первый грузовик поместить 3 полных бочки, 1 наполненную наполовину и 3 пустых бочки; на второй грузовик– 3 полных, 1 наполненную наполовину и 3 пустых; на третий – 1 полную, 5 наполненных наполовину и 1 пустую.

4. Молоко в кувшине, лимонад в бутылке, квас в банке, вода в стакане.

5. 52524, 52128, 52020, 52920.

7 класс

1. 4 черные коровы и 3 рыжих дают за 5 дней столько молока, сколько 3 черные коровы и 3 рыжих за 4 дня. У каких коров удои больше: у черных или у рыжих? (3 балла)

2. Натуральное число умножили на каждую из его цифр. Получилось 1995. Найдите исходное число. (2 балла)

3. Число 56 разложите на два слагаемых так, чтобы [pic] первого слагаемого была равна

[pic] второго. (2 балла)

4. Из корзины яиц взяли половину всего количества яиц, потом еще половину остатка, затем половину нового остатка и, наконец, половину следующего остатка. В итоге в корзине осталось 10 яиц. Сколько яиц было в корзине первоначально? (3 балла)

5. Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут? (5 баллов)

Ответы:

1. Из условия следует, что 20 черных коров и 15 рыжих дают за 1 день столько же молока, что и 12 черных и 20 рыжих коров. Тогда 8 черных коров дают столько же молока, сколько 5 рыжих. Поэтому у рыжих коров удои больше.

2. Разложим 1995 на множители: 1995=3·5·7·19. Так как искомое число не может быть ни однозначным, ни трехзначным, то оно является двузначным. Рассматривая возможные варианты для двузначного числа, получаем ответ: 57·5·7=1995.

3. 24+32=56

4. 160 яиц.

5. В 12.00 стрелки сходятся вместе. После этого за 20 минут минутная стрелка проходит

[pic] окружности, то есть описывает угол в 120º. Часовая стрелка движется в 12 раз медленнее минутной (так как описывает круг за 12 часов). Поэтому она за 20 минут опишет угол в 120º : 12=10º и будет образовывать с минутной стрелкой угол в

120º -10º=110º

Задачи школьной олимпиады по математике 9 класс

1. Решите неравенство:

х ² – 5х + 6 < 0 .

х ² -7х + 12

2. Путь из села в город таков: сначала 15 км в гору, потом 6 км с горы. Велосипедист едет без остановок в гору с одной постоянной скоростью, с горы – с другой. В один конец он ехал 3,1 ч, обратно 2,5 ч. какова скорость велосипедиста в гору и с горы?

3. Уравнение х + 1__ = 30 имеет решение в целых числах ( 4;3;2 ).

у + 1 7

z

Найдите еще одно решение уравнения в целых числах.

Задачи школьной олимпиады по математике 8 класс

1. Решите уравнение

| х –1999| + | 1999 – х | = 2000.

2. В классе послушных девочек столько же, сколько непослушных мальчиков. Кого в классе больше: послушных детей или мальчиков? ( Объясните ваш ответ ).

3. На птицеферму привезли корм, которого хватило бы уткам на 30 дней, а гусям – на 45 дней. Рассчитайте, на сколько дней хватит привезенного корма и уткам, и гусям вместе?

8 класс

1. Поставьте знаки модуля так, чтобы равенство стало верным:

1-2-4-8-16=19. (2 балла)

2. Постройте график функции:

y= [pic] (3 балла)

3. В школе 30 классов и 1000 учащихся. Докажите, что есть класс, в котором не менее 34 учеников. (3 балла)

4. Найдите значения a и b, при которых равенство

[pic]

Выполняется при всех допустимых значениях переменной x. (4 балла)

5. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению x²-y²=69. (3 балла)

9 класс

1. Найдите значение выражения:

(1+ [pic] )(1+ [pic] )(1+ [pic] )(1+ [pic] )(1+ [pic] )(1- [pic] ) при а=2003 (3 балла)

2. При каких значениях a квадратные трехчлены x²+ax+1 и x²+x+a имеют общий корень?

(4 балла)

2. Сколько цифр содержит число [pic] ? (2 балла)

2. Четыре семьи, дружившие между собой, держат по 10 различных животных. Их питомцы – белки, кролики, хомяки и ежи. Каждая семья держит разное число животных разных видов – от одного до четырех, и в разных семьях разное количество зверушек одного вида. Определите, сколько и каких животных в каждой семье, если известно, что:

• у Ивановых, Сидоровых и Петровых ежей не по два;

• у Ивановых и Петровых кроликов, а у Кузнецовых кроликов и хомяков не по одному;

• в семьях Сидоровых, Петровых и Кузнецовых живут не по три белки;

• В семьях Ивановых и Петровых хомяков не по два и не по четыре. (4 балла)

2. Разрежьте квадрат на 5 прямоугольников так, чтобы у соседних прямоугольников стороны не совпадали. (2 балла)

10 класс

1. Решите систему уравнений:

[pic]

(x+y)(x+y+z)=72,

(y+z)(x+y+z)=120,

(x+z)(x+y+z)=96. (3 балла)

2. При каком целом k неравенство

х²+2(4k-1)х+15k²-2k-7>0 верно при любом действительном х? (4 балла)

3. Решите в целых числах уравнение x²-3xy+2y²=7. (3 балла)

4. Малыш и Карлсон разделили круглый торт двумя перпендикулярными разрезами на 4 части. Карлсон взял себе одну наименьшую часть и одну наибольшую часть, а остальные две отдал Малышу. Кому торта досталось не меньше половины?

(3 балла)

5. О [pic] тгадайте ребус:

[pic] - ******* **

[pic] *** **8**

-**

[pic] **

- ***

[pic] ***

0

[pic] [pic] (2 балла)

11 класс

1. Представьте числа от 1 до 10 с помощью числа π, используя скобки, знаки действий, извлечение квадратного корня, а также символ функции [x], где [x] – целая часть

числа x. Например, 11=[ [pic] + [pic] ]. (3 балла)

2. Постройте график функции: у = [pic] + [pic] (2балла)

2. Решите уравнение |x-1|-|x-2|=1. (4 балла)

2. Найти четырехзначное число, которое в 4 раза меньше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке. (3 балла)

2. Десять машин выпускают одинаковые резиновые мячи массой по 10 г каждый. Одна из машин испортилась и стала выпускать мячи массой по 5 г. Как найти испортившуюся машину с помощью одного взвешивания мячей? (3 балла)

Ответы и решения

8 класс

1. ||1-2|-|4-8|-16|=19.

2. Упрощая правую часть, имеем: y=x, где x≠±1. Таким образом, графиком указанной функции является прямая, заданная формулой y=x, без 2 точек: А(1;1) и В(-1; -1).

3. Пусть такого класса в школе нет, т.е. во всех классах будет 33 и менее учащихся. Тогда во всей школе будет не более 33·30=990 учащихся, что противоречит условию задачи (в школе 1000 учащихся). Значит, наше предположение неверно, поэтому в школе есть класс, в котором не менее 34 учеников.

4. Приводя в правой части равенства дроби к общему знаменателю и учитывая, что знаменатели у дробей в левой и правой частях равны, получим:

5х+31=ах+2а+вх-5х;

5х+31=(а+в)х+(2а-5в).

[pic] Откуда имеем: а+в=5,

2а-5в=31.

Решая полученную систему, получаем: а=8, в=-3.

Ответ: при а=8, в=-3.

5. х²-у²=69

(х-у)(х+у)=69

6 [pic] [pic] 9=1·69=69·1=3·23=23·3, учитывая, что х>у, имеем:

х-у=1, х-у=3,

х+у=69, или х+у=23.

Решая данные системы, находим два решения: (35,34) или (13,10).

Ответ: (35,34) или (13,10).

Ответы и решения

9 класс

1. Применяя формулу (х-у)(х+у)=х²-у² последовательно для последних двух множителей, в результате получим:

(1- [pic] )(1+ [pic] )=1-a.

При а=2003 получим 1-а=1-2003=-2002.

Ответ:-2002.

2. Пусть [pic] – общий корень данных трехчленов, тогда

[pic] +a [pic] +1=0 и [pic] + [pic] +а=0, т.е.

[pic] +a [pic] +1= [pic] + [pic] +а [pic] a [pic] +1= [pic] +а [pic] а( [pic] -1)= [pic] -1 [pic] ( [pic] -1)(а-1)=0.

Тогда а=1 или [pic] =1.

Если а=1, то трехчлены оба имеют вид х²+х+1 и не имеют действительных корней.

Если [pic] =1, то 1²+а·1+1=0 и 1²+1+а=0. В обоих случаях а=-2.

Ответ: а=-2.

3. [pic] =( [pic] ) [pic] = [pic] =1 250 000 000 000.

Ответ: 13 цифр.

4.

животные

итого

белки

кролики

хомяки

ежи

Ивановы

3

2

1

4

10

Сидоровы

4

1

2

3

10

Петровы

2

4

3

1

10

Кузнецовы

1

3

4

2

10

5.

[pic]

Ответы и решения

10 класс

1. Сложив все три уравнения системы, получим уравнение (х+у+z)(2x+2y+2z)=288, из которого найдем х+у+z=12 или х+у+z=-12. Подставляя вместо х+у+z числа 12 и -12, получим в первом случае: x=2,y=4,z=6, а во втором: x=-2,y=-4,z=-6.

Ответ: (2;4;6),(-2;-4;-6).

2. Неравенство будет верно, если D<0. Найдя дискриминант и учитывая, что он должен быть отрицательным, получим неравенство k²-6k+8<0, которое будет иметь решения при 2<k<4, то есть при k=3.

Ответ: при k=3.

2. Р [pic] [pic] [pic] [pic] азложим -3ху на два слагаемых –ху и -2ху. Тогда получим: х²-ху-2ху+2у²=7. Сгруппируем и вынесем за скобки (х-у) и получим: (х-у)(х-2у)=7. Учитывая, что 7=1·7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1), получим следующие четыре системы уравнений:

х-у=1, х-у=7, х-у=-1, х-у=-7,

х-2у=7, х-2у=1, х-2у=-7, х-2у=-1.

Решая данные системы, найдем решения уравнения: (-5;-6), (5;6), (13;6), (-13;-6).

Ответ: (-5;-6), (5;6), (13;6), (-13;-6).

2. Проведем два разреза, центрально симметричные уже сделанным. Куски 1, 2, 6, 9 достались Малышу, а симметричные им 7, 8, 4 и 3 – Карлсону, которому отошла еще и середина 5. поэтому Карлсону досталось не менее половины торта.

[pic]

2. [pic]

[pic] - 1089708 12

108 90809

[pic] - 97

[pic] 96

- 108

[pic] 108

0

Ответы и решения

11 класс

1. 1=[ [pic] ]; 2=[ [pic] + [pic] ]; 3=[π]; 4=[ π+ [pic] ]; 5=[ π [pic] ]; 6=[ π+ π]; 7=[ π+ [pic] ]+ [π];

8=[( π· π)- [pic] ]; 9=[( π· π)]; 10=[ [pic] ]+[( π· π)].

2. y= [pic] + [pic]

y= [pic] + [pic]

y= [pic] + [pic]

y= 2sin²x+1+2cos²x+1

y=4

Ответ: графиком функции является прямая, заданная уравнением у=4.

2. Ответ: х [pic] 2

4. Обозначим искомое число за 1000a+100b+10c+d. По условию задачи имеем:

4(1000a+100b+10c+d)=1000d+100c+10b+a.

Так как левая часть – число четное, то и правая часть – число четное, поэтому a– четная цифра. Тогда a=2, так как в других случаях получим в левой части пятизначное число. Так как 4d оканчивается на 2, то d=8. В итоге имеем:

4(1000·2+100b+10c+8)=1000·8+100c+10b+2.

Тогда 4(10b+c)+3=10c+b или 40b+4c+3=10c+b.

После упрощения получим: 13b+1=2c.

Решением данного уравнения будут: b=1,c=7. Тогда искомое число будет 2178.

Ответ: 2178

5. Возьмем от первой машины один мяч, от второй – два, от третьей – три и т.д., от десятой – десять. Найдем их общую массу. Это взвешивание будет единственным.

Если бы все мячи были массой по 10г, то весы показали бы

10(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)=550 (г).

Если первая машина допускает брак, то общая масса станет меньше на 5г, если вторая, то на 10г, и т.д., если десятая, то на 50г. Таким образом, по массе 55 мячей можно узнать, какая машина испортилась.

ОЛИМПИАДА

6 класс

1. Выразите число 16 с помощью четырех пятерок, соединяя их знаками действий.

(2 балла)

2. В летний лагерь приехали отдыхать три друга– Миша, Володя и Петя. Известно, что каждый из них имеет одну из следующих фамилий: Иванов, Семенов, Герасимов. Миша – не Герасимов. Отец Володи – инженер. Володя учится в 6 классе. Герасимов учится в 5 классе. Отец Иванова – учитель. Какая фамилия у каждого из трех друзей? (3 балла)

3. Школьник прочитал книгу за три дня. В первый день он прочитал 0,2 всей книги и еще 16 страниц, во второй день – 0,3 остатка и еще 20 страниц. В третий день – 0,75 остатка и последние 30 страниц книги. Сколько страниц в книге? (5 баллов)

4. Расшифруйте запись. Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами – разные цифры. (2 балла)

КОКА

+ КОКА

[pic]

ВОДА

5. Разрежьте клетчатый прямоугольник размером 5х8 клеток на фигурки из четырех клеток вида: (3 балла)

ОЛИМПИАДА 10 КЛАСС

1. Найдите значение выражения:

(1+ [pic] )(1+ [pic] )(1+ [pic] )(1+ [pic] )(1+ [pic] )(1- [pic] ) при а=2003 (3 балла)

2. Листок календаря частично закрыт предыдущим листком. Какая его часть больше -закрытая или открытая? (3 балла)

[pic]

3. Автомобиль проехал 600 км. Первую половину пути он двигался со скоростью 100 км/ч, а вторую – 60 км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомобиля. (2 балла)

4. Сколько цифр содержит число 4 [pic] *5 [pic] ? (3 балла)

5. При каком целом k неравенство

х²+2(4k-1)х+15k²-2k-7>0 верно при любом действительном х? (4 балла)

[pic]

[pic]