Урок-лекция по математике Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения

Основной моделью, позволяющей наглядно проиллюстрировать понятие тригонометрических функций, является тригонометрический круг.

Числовая ось представляет собой не прямую, как обычно, а числовую окружность, которая получается в результате наматывания прямой на тригонометрический круг, подобно тому, как нитка наматывается на катушку.

Каждое число однозначно изображается на окружности, по своему изображению оно восстанавливается уже неоднозначно. При обходе по окружности на целое число оборотов мы попадаем в исходную точку, а следовательно каждой точке окружности наравне с некоторым числом х0 соответствует любое число вида х0+2πn, где n Z.

Пример1: указать все числа, соответствующие точкам на окружности

Ответ: , : , : , (-1)ⁿ, , , ,

Пример 2: Найти соотношения между числами х и у, если соответствующие им точки тригонометрической окружности:

а) совпадают х – у=;

б) диаметрально противоположные х – у=;

в) симметричны относительно оси абсцисс х + у=;

г) симметричны относительно оси ординат х + у=.

I. Частный случай решения тригонометрических уравнений

sin x = 1, cos 3x = 0, sin = -1 с помощью тригонометрического круга.

II. Вывод формул для решения простейших тригонометрических уравнений

sin x = а, |а| 1

III. Методы решения тригонометрических уравнений

а) Уравнения приводимые к квадратному или линейному:

А cos²x + В sin x + С = 0

А cos²x + В cos 2x + С sin x = 0

Шаги алгоритма:

1) свести к уравнению с одной функцией;

2) замена;

3) решение квадратного уравнения;

4) решение простейших тригонометрических уравнений.

б) Однородные тригонометрические уравнения:

А sin ²x + В sin x cos x + С cos²x = 0

А sin x + В cos x = 0

В sin x cos x + С cos²x = 0

5 sin ²x – 3sin x cos x – 2cos²x = 0

в) Решение уравнений вида:

а sin x + b cos x = с

г) Симметрические тригонометрические уравнения:

1) 2 sin x – 3 sin x cos x + 2 cos x – 1=0

sin x + cos x = u + v sin x + cos x = z

sin x cos x = u v sin²x +2 sin x cos x + cos²x = z²

sin x cos x = ; 2z – – 1=0

2) (tgx - ctgx) = tg²x+ ctg²x – 2

(tgx + (- ctgx)) – (tg²x)+ (- ctg²x)+ 2=0

tgx - ctgx = z

tg²x – 2 tgx ctgx + ctg²x = z²

z = z²+2

д) путем разложения на множители

1) 3 sin ²x + 2sin x cos x – 5cos²x = 0

3 sin ²x – 3cos²x + 2sin x cos x – 2 cos²x = 0

3(sin x – cos x)( sin x + cos x) + 2 cos x (sin x – cos x) = 0

sin x – cos x = 0 3sin x + 5cos x – 2 = 0

2) 4 sin ³x + 3sin x – 7 = 0

4 sin ³x – 4 + 3sin x – 3 = 0

(sin x – 1)(4 sin ²x + 4sin x + 4 + 3) = 0

3) sin ²x – sin x cos x + 2sin x – 2cos²x – cos x + 1= 0

(sin x – 2cos x + 1)( sin x + cos x + 1) = 0

(а1 sin x + b1 cos x + c1)( а2 sin x + b2 cos x + c2) = 0

а1 а2 sin²x + а2b1 sin x cos x + а2c1 sin x + а1b2 sin x cos x + b1 b2cos²x + c1 b2cos x +

+ а1c2 sin x + c2 b1cos x + c1 c2 = sin²x – sin x cos x + 2sin x – 2cos²x – cos x + 1

Если при этих предположениях удается найти коэффициенты таким образом, что будет выполняться все шесть равенств, то и будет получено требуемое разложение. Если же этого сделать не удается, то придется признать, что наш выбор неудачен, а для поиска разложения требуется иное предположение или поиск метода решения системы.

е) Метод оценки левой и правой частей уравнения

sin + 2 cos = 3

; х = , n Z . Подставим во второй

n=3к

х = , к Z .

Могут допустить ошибку: 2cos x + sin x = 2

Здесь потеряны еще корни.

ж) Понижение степени, применение тригонометрические тождества суммы, произведения

Объединение семейств

Исключение из семейства х1 значение х, принадлежащие семейству х2.

1. Объединить семейства: (к и х = n) х = к и х = n

I сп х=к х=n

II сп х=к х=n, х=

2. Из семейства х= исключить значения х, принадлежащий семейству х=n

х=n

3. Объединить х=к, х=n

х=

4. Решить уравнение:

tgx sin 2x = 0

tgx=0 или sin 2x = 0

х=к х= n

хm

Ответ: х=к, к Z.

5. cos 15x = sin 5x

sin (x) – sin 5x = 0

2 sin (x) cos(x)=0

х=, х=; , к=1,25 + 2n.

Значит найденные семейства повторяющих значений не имеют.

cos³ + 2 sin cos - cos = 0

cos(cos² + 2 sin - )=0

cos = 0 или cos² + 2 sin - = 0

к 4cos² + 8 sin - 7= 0

х=к 4 – 4 sin ² + 8 sin - 7= 0

4 sin ² - 8 sin + 3= 0

=16 – 12=4

sin = = - посторонний корень

sin =

=( - 1)^кк

х=( - 1)^кк

т.е. ;…

;…

Нет повторяющихся корней

6. Объединить: х=к и х=

х=n

Проверка найденных решений необходима:

1. Если в процессе решения произошло расширение области определения(освобождения от знаменателя, сокращение дроби, приведение подобных членов);

2. Если использовалось возведение обеих частей в одну и ту же четную степень;

3. Если применяли тригонометрические тождества, левая и правая части которых имеют неодинаковые области определения.

з) Условие равенства одноименных тригонометрических функций

sinα = sinβ

cos α = cos β

tg α = tg β

Уравнения:

1. sin5х = sin3х

2. cos x² + sin²x = 1; cos²x=1 – 2 sin²x cos²x= cos2х

(n=0; 1; 2;…)

3. tg 5х = tg 3х Z.

Метод введения вспомогательного аргумента

а sin x + b cos x = с |:

|c|

–равно табличному значению тригонометрической функции

Применяя формулы

sin x = ; cos x =

Может привести к потере корней вида х . Удовлетворяют ли эти значения к исходному уравнению, выясняется проверкой.

Существует различные точки зрения по вопросу о том, к какому виду необходимо приводить ответ. Единственным требованием к ответу является его математическая правильность.

Характерные ошибки:

1. х = 4arccos + 2, .

2. 4arccos

Вообще, преобразовывая выражение, содержащее знаки «аркфункций» нужно проявлять предельную осторожность, а еще лучше их не трогать без надобности. Особенно вида

Недостатки:

3. Наличие в ответе табличных значений под знаками обратных тригонометрических функций, т.е. запись вида arcsin.

4. Явное дублирование каких-либо значений, т.е. включение в ответ нескольких серий решений, одна из которых фактически полностью содержится в остальных, например: n, m, =n

Тригонометрические уравнения:

Прежде чем приступить к решению приведенных уравнений, следует иметь в виду, что иногда целесообразно предварительно исследовать входящие в него функции.

Решение желательно сопровождать графической иллюстрацией.

№ 1. Logcosxsinx + Logsinx cos x = 2 ОДЗ: х(0; )

Logsinx cos x = ; =0

+ :

1 + ;

t² – 2t + 1=0

t = 1;

|: cos x

tg x=1

x= Z.

№ 2.

Ответ: .

№ 3.

Л. Ч.

П. Ч. Следовательно :

Ответ:.

№ 4.

х =

№ 5. Корни должны удовлетворить одновременно трем условием

cos²x; cos²x=1; 1; х =

№ 6. cos²x cos²5х = sес²10х Корни уравнения удовлетворяют одновременно

cos²x =1

cos²5х = 1; х =

sес²10х = 1; х =

Ответ: .

№ 7. cos²2х = 2 sес²3х

Л. Ч. не больше, чем 2

П. Ч. не больше, чем 2

Должны одновременно иметь место:

cos²2х = 1

sес²3х = 1

№ 8. | tg х + ctg х| =

cos²2х =

;

;

Ответ: х =

№ 9.

Л. Ч. не меньше чем один

П. Ч. не больше чем один

х = .

№ 10. arc

Область существования Л. Ч.

х = 1

Уравнения с параметрами

№ 1. Найти tg х, зная, что а sin x + b cos x = (2a+b) + b

+ = + b

– () , если

х = 2

tg = х = 2 arctg + 2

, то х = tgх = 0, tgх =

№ 2. sес х + sес х + sес х sес х = а

=

;

х = 2 arcсtg

4.

а) n – четное, n=2m , то и

х =

б) n=2m+1, m

при х

| | и || , тогда |+|

Ответ: х = , где n – четное;

х = , х = -, если n – нечетное.

№ 1.

х = + , Z.

т.к. и , то

Ответ: + , n Z.

№ 2. tg +

tg + ,

Ответ: х = (-1)ⁿ⁺¹ х = +

№ 3. tg(120⁰+3х) – tg(140⁰ – х) = 2(80⁰+2х)

tg(120⁰+3х) + tg(40⁰ + х) = 2(80⁰+2х)

40⁰ + х = t tg 3t+ tg t=2

;

Ответ: х= - 40⁰+60⁰к

№ 4.

Ответ: х=25^о+90^ок

№ 5. Решить и исследовать уравнение

1. х=

Чтобы значения были вещественными, m

- 1

Ответ: а) при х =

и х=

б) при других значениях m х=

№ 6. Показ, что уравнение не имеет корней при а

у=, тогда , откуда

Следовательно, если введем обозначение z = , то

3z² –

z= из которой и вытекает, что при а не имеет решений.

№ 7. m – данное действительное число

а) и х = l

6 l – 8к=5 Это невозможно, т.к. л.ч. – четная, а п.ч. – нечетная.

б) х = к х = l

4к=3 l+1, к-1=3(l – к) к=3 l+1, х = l, и m