А-9
"Утверждаю"
Зам директора по УВР
_________ Уртаева В.В.
Линейные и квадратные и рациональные неравенства .
(повторение) (3 ч)
У р о к 1
Цели: повторить формулы сокращенного умножения, научить применять их при упрощении выражений и разложении на множители; повторить определение линейного неравенства с одной переменной; вспомнить определение равносильных неравенств и правила преобразования неравенств и закрепить их знание в ходе выполнения упражнений.
Ход урока
I. Повторение изученного материала.
1. Повторить формулы сокращенного умножения и записать эти формулы на доске и в тетрадях.
2. Решить письменно с комментированием на месте : а)(а – 3)(а + 4) – (а + 2)(а + 5)
. б) (с + 2)2 – (с + 4)(с – 4)
Р е ш е н и е
а) (а – 3)(а + 4) – (а + 2)(а + 5) = а2 + 4а – 3а – 12 – а2 – 5а – 2а – 10 = = – 6а – 22
При а = – [pic] имеем – 6 · (– [pic] ) – 22 = 1 – 22 = – 21.
б) (с + 2)2 – (с + 4)(с – 4) = с2 + 4с + 4 – с2 + 16 = 4с + 20
При с = – 0,25 имеем 4 · (– 0,25) + 20 = – 1 + 20 = 19.
II. Работа с учебником.
1. Вспомнить определение линейного неравенства с одной переменной; записать в тетради: ах + в > 0 или ах + в < 0, где а и в – действительные числа (а ≠ 0).
2. Что называют решением неравенства f(х) > 0?
3. Решить устно № 1.1 (а; б) из задачника.
4. Повторить определение равносильных неравенств: два неравенства f(х) < q(x) и r(х) < s(х) называют равносильными, если они имеют одинаковые решения или оба неравенства не имеют решений.
III. Выполнение упражнений.
1. Решить самостоятельно, а затем проверить решение.
а – 11 < а + 13 4а – а < 13 + 11
3а < 24
а < 24 : 3
а < 8
О т в е т: а < 8, или (–∞; +8).
в) 8b + 3 < 9 b – 2
8b – 9b < – 2 – 3
– b < – 5
b > – 5 : (–1)
b > 5
О т в е т: (5; ∞).
2. Решить на доске и в тетрадях.
15 [pic] < 0 · 15
5(5 – а) – 3(3 – 2а) < 0
25 – 5а – 9 + 6а < 0
а < – 16
О т в е т: а < – 16.
в) [pic]
[pic]
3(х + 7) > 4(5 + 4х)
3х + 21 > 20 + 16х
3х – 16х > 20 – 21
– 13х > – 1
х < [pic]
О т в е т: х < [pic] .
3. Двое учащихся самостоятельно решают на доске, остальные в тетрадях; затем проверяется решение.
х(3х – 1) – 9х2 ≤ 2х + 6 9х2– 3х – 9х2 ≤ 2х + 6
– 3х – 2х ≤ 6
– 5х ≤ 6
х ≥ [pic]
х ≥ – 1,2
О т в е т: х ≥ – 1,2 или [– 1,2; ∞).
г) 7с(с – 2) – с(7с + 1) < 3
7с2 – 14с – 7с2 – с < 3
– 15с < 3
с > – 3 : 15
с > [pic]
О т в е т: с > [pic] .
4. Повторение ранее изученного материала. Решить задачу № 42 на с. 10 задачника.
Пусть запланированная скорость пешехода равна х км/ч, тогда за 1,2 ч пешеход пройдет 1,2х км. Пешеход же шел со скоростью (х + 1) км/ч и за 1 ч прошел путь (х + 1) · 1 км. Длина пути пешехода одинакова. Составим и решим уравнение:
1,2х = (х + 1) · 1;
1,2х – х = 1;
0,2х = 1;
х = 1 : 0,2 = 5.
Длина пути равна 1,2 · 5 = 6 (км).
О т в е т: 6 км.
IV. Итог урока.
Домашнее задание: карточки.
Урок 2
Цели: повторить определение квадратного неравенства и его решения; напомнить еще один способ рассуждений, который можно применять при решении неравенств, – это метод интервалов; упражнять учащихся в решении квадратных неравенств; развивать логическое мышление учащихся.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Что называется квадратным неравенством с одной переменной х? Что называется решением неравенства f(х) > 0?
2. Разобрать решение примера 2 по учебнику на с. 9–10 (рис. 1).
3. Сформулировать два утверждения, применяемые при решении квадратных неравенств (при дискриминанте D < 0).
4. Записать в тетрадях теорему: квадратный трехчлен ах2 + bх + с с отрицательным дискриминантом при всех значениях х имеет знак старшего коэффициента а.
5. Разобрать решение примера 3 на с. 10 учебника и записать в тетради решение.
а) 2х2 – х + 4 > 0; D = – 31 < 0; а = 2, а > 0; значит, по теореме, при всех х выполняется неравенство 2х2 – х + 4 > 0.
О т в е т: (– ∞; + ∞).
б) – х2 + 3х – 8 ≥ 0; D = – 23 < 0; а = – 1, то есть а < 0. Тогда по теореме – х2 + 3х – 8 < 0. Значит, данное неравенство не имеет решений.
О т в е т: нет решений.
II. Выполнение упражнений.
1. Решить № 1.5 (а; б) на доске и в тетрадях.
х2 – 6х – 7 ≥ 0 х2 – 6х – 7 = 0
D = (– 6)2 – 4 · 1 · (– 7) = 64
х1 = [pic]
х2 = [pic]
[pic]
О т в е т: х ≤ – 1, х ≥ 7.
б) – х2 + 6х – 5 < 0
– х2 + 6х – 5 = 0
D = 62 – 4 · (– 1) · (– 5) =
= 36 – 20 = 16
х1 = [pic]
х2 = [pic]
[pic]
О т в е т: х < 1, х > 5.
2. Решить № 1.6 (в; г). Двое учащихся решают самостоятельно на доске, остальные – в тетрадях, затем проверяется решение.
х2 – 7х – 20 ≤ 0 6х2– 7х – 20 = 0
D = (– 7)2 – 4 · 6 · (– 20) = 529
х1 = [pic]
х2 = [pic]
[pic]
О т в е т: [pic] ≤ х ≤ [pic] .
г) 15х2 – 29х – 2 > 0
15х2 – 29х – 2 = 0
D = (– 29)2 – 4 · 15 · (– 2) = 961
х1 = [pic]
х2 = [pic]
[pic]
О т в е т: х < [pic] ; х > 2.
3. Решить № 1.7 (в; г) с комментированием на месте.
х2 – 2х + 1 < 0 5х2 – 2х + 1 = 0
D = (– 2)2 – 4 · 5 · 1 = – 16 < 0
а = 5 > 0;
по теореме не имеет решений.
О т в е т: нет решений.
г) – 7х2 + 5х – 2 ≤ 0
– 7х2 + 5х – 2 = 0
D = 52 – 4 · (– 5) · (– 2) =
= – 31 < 0
а = – 7 < 0, тогда по теореме
х – любое число.
О т в е т: (– ∞; + ∞).
III. Работа по учебнику.
1. Вспомним еще один способ рассуждений, который можно использовать при решении неравенств. Разберем решение неравенства х2 – 6х + + 8 > 0 по учебнику на с. 10 (пример 4) по рис. 2.
2. Метод рассуждений, который мы применили в примере 4, называют обычно методом интервалов (или методом промежутков). Он активно используется в математике для решения рациональных неравенств.
3. Решить № 1.14 (а) и 1.10 (б) методом интервалов. Решение объясняет учитель.
1.14 (а) [pic] . Выражение имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть (3 – х)(х + 7) ≥ 0. Отметим на числовой прямой числа 3 и – 7.
Если х < – 7, то 3 – х > 0 и х + 7 < 0.
Если – 7 ≤ х ≤ 3, то 3 – х > 0 и х + 7 > 0.
Если х > 3, то 3 – х < 0 и х + 7 > 0.
О т в е т: – 7 ≤ х ≤ 3, или [– 7; 3].
1.10 (б) [pic] Выражение имеет смысл, если 5х – х2 + 6 ≥ 0; – х2 + 5х + 6 = 0; D = 52 – 4 · (– 1) · 6 = 49; х1 = – 1; х2 = 6; тогда – (х + + 1)(х – 6) ≥ 0.
[pic]
О т в е т: – 1 ≤ х ≤ 6.
4. Повторение ранее изученного материала.
1) Решить № 8 (в; г) на с. 6 самостоятельно с проверкой.
в) [pic]
г) [pic]
2) Решить № 11 (в; г) на с. 6 на доске и в тетрадях.
в) 428 + 427 = 427 · (42 + 1) = 427 · 43 кратно 43;
г) 223 + 220 = 220 · (23 + 1) = 220 · 9 = 217 · (23 · 9) = 217 ·72 кратно 72.
IV. Итог урока. Выставление отметок.
Домашнее задание: решить № 8 (б) на с. 6 и № 1.15 на с. 14 задачника; решить № 1.5 (в; г), № 1.6 (а; б), № 1.7 (а; б).
У р о к 3.
Цели: ввести понятие системы неравенств, решения системы неравенств; повторить и закрепить знания решения неравенств.
Ход урока
I. Актуализация опорных знаний учащихся.
1. Собрать у учащихся домашние контрольные работы.
2. Вспомнить, как найти область определения выражения f(х) = [pic]
3. Рассмотреть нахождение области определения выражения
f(х) = [pic]
Сделать в ы в о д: задача сводится к решению системы неравенств
[pic]
II. Изучение нового материала.
1. Определение системы неравенств.
2. Определение решения системы неравенств.
3. Решить систему неравенств – значит найти все ее частные решения.
4. Устно решить № 4.1 (а; б).
5. Учитель объясняет решение № 4.3 (а–г) и показывает с помощью штриховки нахождение общего решения.
6. Повторить правила для решения неравенств и объяснить решение № 4.6 (в; г).
[pic]
[pic]
[pic]
О т в е т: (– ∞; – 2] или х ≤ – 2.
г) [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
О т в е т: [2; ∞) или х ≥ 2.
III. Закрепление изученного материала.
1. Решить № 4.5 (в; г) на доске и в тетрадях.
2. Решить № 4.7 (в; г) с комментированием на месте.
[pic]
[pic]
[pic]
О т в е т: нет решений.
г) [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
О т в е т: х ≤ [pic] или (–∞; [pic] ].
3. Решить № 4.8 (в; г). Двое учащихся самостоятельно решают на доске, остальные в тетрадях. Учитель при необходимости помогает в решении.
[pic]
[pic]
[pic]
О т в е т: нет решений.
г) [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
О т в е т: – 5 < х ≤ – 1 или (– 5; – 1].
4. Решить № 4.21 (б) на доске и в тетрадях.
б) [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
О т в е т: [pic]
5. Решить № 4.22 (в; г).
Сначала решение объясняет учитель, затем несложную систему неравенств решают учащиеся самостоятельно.
[pic]
[pic]
[pic]
г) [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
О т в е т: 1 < х < 15.
[pic]
[pic]
О т в е т: х ≥ [pic]
IV. Итоги урока.
1. Что называется системой неравенств? Решением системы неравенств?
2. Что значит решить систему неравенств?
Домашнее задание: изучить материал учебника на с. 28–33; решить № 4.6 (а; б); № 4.7 (а; б), № 4.8 (а; б), № 4.21 (а); № 4.22(а; б), № 16 (на с. 7).
